河北容城博奥学校2023-2024学年数学高二上期末统考模拟试题含解析

河北容城博奥学校2023-2024学年数学高二上期末统考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）A. B.13C.45 D.1172．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（）A. B.2C.3 D.3．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C对任意， D.对任意，4．经过点的直线的倾斜角为，则A. B.C. D.5．椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（）A. B.C. D.6．已知双曲线离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（）A. B.C. D.7．在等比数列{an}中，a1=8，a4=64，则a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-328．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）A. B.C. D.9．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（）A.在区间上，函数增函数 B.在区间上，函数是减函数C.为函数的极小值点 D.2为函数的极大值点10．已知点的坐标为(5，2)，F为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是A.(1，) B.C. D.11．下列关于命题的说法错误的是A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C.命题“，使得”的否定是“，均有”D.“若为的极值点，则”的逆命题为真命题12．抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知空间向量，，且，则值为______14．，若2是与的等比中项，则的最小值为___________.15．已知圆关于直线对称，则________16．已知平面，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面，所成的角都是30°，则这样的直线l有______条三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，（1）求椭圆C的方程；（2）不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标18．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值19．（12分）已知命题p：，命题q：.（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；20．（12分）如图所示，在正方体中，点，，分别是，，的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的大小21．（12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程22．（10分）已知抛物线的焦点为F，倾斜角为45°的直线m过点F，若此抛物线上存在3个不同的点到m的距离为，求此抛物线的准线方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中，因，所以.故选：C2、D【解析】由求出，从而可以求，再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.【详解】若n=1，则，故；若，则由得，故，所以，，又因为对恒成立，当时，则恒成立，当时，，所以，，，若n为奇数，则；若n为偶数，则，所以所以，对恒成立，必须满足.故选：D3、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.4、A【解析】由题意，得，解得；故选A考点：直线的倾斜角与斜率5、B【解析】利用椭圆的定义可得结果.【详解】在椭圆中，，由椭圆的定义可知，到另一个焦点的距离是.故选：B.6、C【解析】运用点差法即可求解【详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.经检验满足题意故选：C7、C【解析】首先根据a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【详解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故选：C8、C【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.【详解】，，因为点到的准线的距离为，所以，得故选：C9、D【解析】根据导函数与原函数的关系可求解.【详解】对于A，在区间，，故A不正确；对于B，在区间，，故B不正确；对于C、D，由图可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以为函数的极大值点，故C不正确，D正确.故选：D10、D【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时，故，所以，选D11、D【解析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可得答案.【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若为的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，需牢记并灵活运用相关知识.12、A【解析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；【详解】抛物线的方程化成标准形式，准线方程为，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用向量的坐标运算及向量数量积的坐标表示即求.【详解】由题意，空间向量，可得，所以，解得.故答案为：.14、3【解析】根据等比中项列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】由题可得，则，当且仅当时等号成立.故答案为：15、1【解析】根据题意，圆心在直线上，进而求得答案.【详解】由题意，圆心在直线上，则.故答案为：1.16、4【解析】设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，设OM是的角平分线，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，由此可得答案.【详解】解：设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，因为平面，所以，设OM是的角平分线，则，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，此时直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，同理，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，所以这样的直线l有4条，故答案为：4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析，(－5,0).【解析】(1)写出A、B、F的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得a、b、c和椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得k和m的关系，即可证明直线过定点并求出该定点.【小问1详解】由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)∵，∴解得从而b2＝a2－c2＝3∴椭圆C的方程；【小问2详解】设直线l的方程为y＝kx＋m，，∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0由得时，，，∴由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).18、（1）；（2）.【解析】（1）由短轴长得，由离心率处也的关系，从而可求得，得椭圆方程；（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，求出原点到直线的距离，得出三角形面积为的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得值【详解】解：（1）由题意得，，所以，，椭圆的方程为（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得由题意，，设，则，弦长，点到直线的距离，所以的面积，令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意19、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；（2）由p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，从而可求实数m的取值范围.【详解】（1）由p：为真，解得.（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集所以.即.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，可得，从而可证四边形是平行四边形，从而证明结论.（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角.【小问1详解】如图，连接在正方体中，且因为，分别是，的中点，所以且又因为是的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以【小问2详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，，，，，，设为平面的法向量因为，，，所以令，得设直线与平面所成角为，则因为，所以直线与平面所成角的大小为21、（1）（2）【解析】（1）由离心率公式以及椭圆的性质列出方程组得出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得出点坐标，最后由距离