辽宁省丹东市第十九中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

2023-2024学年辽宁省丹东十九中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题2分，共18分）1．（2分）下列各式是一元二次方程的是（）A．3﹣5x2＝x B．+x2﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．4x﹣1＝02．（2分）已知a：b：c＝2：3：4，则的值（）A． B．1 C．﹣1 D．或﹣13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则EC＝（）A． B． C． D．4．（2分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，根据下列表格中的对应值：x…3.093.103.113.12…ax2+bx+c…﹣0.17﹣0.08﹣0.010.11…可判断方程的一个解x的范围是（）A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10 C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.125．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形6．（2分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA C． D．7．（2分）某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（）A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝4408．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，DE∥AC，若AD＝2（）A．4 B．8 C．10 D．129．（2分）如图，在平行四边形ABCD中E为AB的中点，F为AD上一点，FH＝3cm，EH＝6cm，则HC的长为（）A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm二、填空题（每题2分，共18分）10．（2分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，d＝6cm，则c＝．11．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为．12．（2分）在一个不透明的盒子里，装有5个红球和若干个绿球，这些球除颜色外都相同，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，其中20次摸到红球，请估计盒子中所有球的个数是．13．（2分）若一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根是x1，x2，则的值是．14．（2分）边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则菱形的面积是cm2．15．（2分）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示2，那么小道的宽度应是m．16．（2分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为．17．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，BC中点，连接DE，则△AGE面积为．18．（2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，有下列结论：①∠EBC＝45°；②2S△BFG＝5S△FGB；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是.（填写所有正确结论的序号）三、解答题（19题8分，20题6分，21题6分，共20分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣8＝0（用公式法）．（2）（x﹣2）2＝2x﹣4（用因式分解法）．20．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．21．（6分）某学校开展“垃圾分类，从我做起”的宣讲活动，该活动的宣讲员从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽选．（1）若只抽选一名学生，乙被选中的概率为，（2）若随机抽选两名学生，请用列表法或画树状图法求乙被选中的概率．四、（每小题8分，共24分）22．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，3月的销售量达到576个，设2（1）求2，3两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时23．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的长．24．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，交AB于点G．（1）求证：△BEG∽△FEB；（2）当BF＝1，BC＝3时，求EG的长．五、（本题满分10分）25．（10分）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，线段BD与线段AE的数量关系是；类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，AB＝4，，直接写出AD的长．六、（本题满分10分）26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交坐标轴于点C，D，以OA和OC为邻边作矩形OABC，点E是直线AB上一动点．（1）写出点B的坐标；（2）连接DE，若DE平分∠ADC，求出点E的坐标；（3）若点F是纵轴（y轴）左侧任意一点，是否存在以C，D，E，若存在，直接写出点F坐标，请说明理由．

2023-2024学年辽宁省丹东十九中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题2分，共18分）1．（2分）下列各式是一元二次方程的是（）A．3﹣5x2＝x B．+x2﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．4x﹣1＝0【答案】A【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义；B、不是整式方程；C、方程二次项系数可能为0；D、方程未知数为1次；故选：A．2．（2分）已知a：b：c＝2：3：4，则的值（）A． B．1 C．﹣1 D．或﹣1【答案】B【分析】根据比例性质，可用a表示b，用a表示c，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由a：b：c＝2：3：3，得b＝，c＝4a．＝＝＝1，故选：B．3．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则EC＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故选：C．4．（2分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，根据下列表格中的对应值：x…3.093.103.113.12…ax2+bx+c…﹣0.17﹣0.08﹣0.010.11…可判断方程的一个解x的范围是（）A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10 C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.12【答案】D【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.11～3.12之间由负到正，故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在3.11～3.12之间．【解答】解：根据表格可知，ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在2.11～3.12之间．故选：D．5．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形【答案】D【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，故选项D错误；故选：D．6．（2分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA C． D．【答案】D【分析】由黄金分割的定义得AP2＝BP•BA，＝＝，即可求解．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP2＝BP•BA，＝＝，故选项A、B，选项D符合题意，故选：D．7．（2分）某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（）A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440【答案】D【分析】设仓库的宽为x米（AB＝x米），由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为（84﹣4x）米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设仓库的宽为x米（AB＝x米），则仓库的长为（84﹣4x）米，根据题意得：x（84﹣4x）＝440．故选：D．8．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，DE∥AC，若AD＝2（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，DO＝BO，∴OD＝OA，∵∠AOB＝120°，∴∠DOA＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴DO＝AO＝AD＝OC＝2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝8×2＝8，故选：B．9．（2分）如图，在平行四边形ABCD中E为AB的中点，F为AD上一点，FH＝3cm，EH＝6cm，则HC的长为（）A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm【答案】C【分析】延长FE交CB的延长线于点G．证明△AFE≌△BGE，得出EG＝EF，求出EG＝9cm，根据平行线分线段成比例定理，得出＝，代入求出结果即可．【解答】解：延长FE交CB的延长线于点G，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠EBG，∠AFE＝∠BGE，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，∴△AFE≌△BGE，∴EG＝EF，∵EF＝EH+FH＝3+6＝6（cm），∴EG＝9cm，∴GH＝GE+EH＝9+5＝15（cm），∵AD∥BC，∴＝，即＝，解得：CH＝20cm，故C正确．故选：C．二、填空题（每题2分，共18分）10．（2分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，d＝6cm，则c＝4cm．【答案】见试题解答内容【分析】根据比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后把a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm代入进行计算即可．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴a：b＝c：d，而a＝2cm，b＝3cm，∴c＝＝＝5（cm）．故答案为4cm．11．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为m＜3且m≠2．【答案】见试题解答内容【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4（m﹣6）＞0，∴m＜3，由于m﹣3≠0，∴m≠2，故答案为：m＜7且m≠212．（2分）在一个不透明的盒子里，装有5个红球和若干个绿球，这些球除颜色外都相同，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，其中20次摸到红球，请估计盒子中所有球的个数是20．【答案】见试题解答内容【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【解答】解：∵共试验80次，其中有20次摸到红球，∴红球所占的比例为＝，设盒子中共有球x个，则＝，解得：x＝20．故答案为：20．13．（2分）若一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根是x1，x2，则的值是﹣．【答案】﹣．【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的两个根是x1，x4，∴x1+x2＝8，x1x2＝﹣8，∴＝＝＝﹣．故答案为：﹣．14．（2分）边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则菱形的面积是24cm2．【答案】见试题解答内容【分析】根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可．【解答】解：如图所示：设BD＝6cm，AD＝5cm，∴BO＝DO＝7cm，∴AO＝CO＝＝4（cm），∴AC＝8cm，∴菱形的面积是：×7×8＝24（cm2）．故答案为：24．15．（2分）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示2，那么小道的宽度应是2m．【答案】见试题解答内容【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，整理，得x2﹣46x+88＝2．解得，x1＝2，x4＝44．∵44＞40（不合题意，舍去），∴x＝2．答：小道进出口的宽度应为2米．故答案为：2．16．（2分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为．【答案】．【分析】证明BE：EC＝1：3，得出BE：BC＝1：4；证明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，得到＝，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝5：3；∴BE：BC＝1：5；∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴＝，∴S△DOE：S△AOC＝（）5＝；故答案为：．17．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，BC中点，连接DE，则△AGE面积为．【答案】．【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出∠AEG+∠EAG＝90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠B＝∠EAD＝90°，∵E，F分别为边AB，∴AE＝ABBC，∴AE＝BF＝2，∴AF＝，在△ABF与△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG∽△AFB，∴，∴，∴△AGE面积＝，故答案为：．18．（2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，有下列结论：①∠EBC＝45°；②2S△BFG＝5S△FGB；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是①②④.（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④．【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案．【解答】解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABC＝45°．故①正确；②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，∴＝＝，∴2S△BFG＝8S△FGH；故②正确；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，AF＝，设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF3，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝7，∴AG＝3，∴FD＝2；同理可得ED＝，∴＝2，＝，∴≠，∴△ABG与△DEF不相似，故③错误；④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴，∴4CE＝5ED．故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（19题8分，20题6分，21题6分，共20分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣8＝0（用公式法）．（2）（x﹣2）2＝2x﹣4（用因式分解法）．【答案】（1）x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）x1＝2，x2＝4．【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣4＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝1，b＝﹣7，∴Δ＝（﹣4）2﹣8×1×（﹣8）＝48＞3，∴x＝＝6，所以x3＝2+2，x2＝2﹣3；（2）（x﹣2）5＝2x﹣4，（x﹣3）2﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝6，所以x1＝2，x3＝4．20．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；（2）如图，△A2B2C7为所作；（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣3b）．故答案为（2a，﹣2b）．21．（6分）某学校开展“垃圾分类，从我做起”的宣讲活动，该活动的宣讲员从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽选．（1）若只抽选一名学生，乙被选中的概率为，（2）若随机抽选两名学生，请用列表法或画树状图法求乙被选中的概率．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出乙被选中的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）若只抽选一名学生，乙被选中的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中乙被选中的结果数为6，所以乙被选中的概率＝＝．四、（每小题8分，共24分）22．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，3月的销售量达到576个，设2（1）求2，3两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时【答案】（1）20%；（2）38元．【分析】（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1+月均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）解法一：设每台降价y元，则每台的销售利润为（40﹣y﹣30）元，四月份可售出（576+12y）台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；解法二：设每台售价定为y元，则每台的销售利润为（y﹣30）元，四月份可售出[576+12（40﹣y）]台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，依题意，得：400（3+x）2＝576，解得：x1＝7.2＝20%，x2＝﹣7.2（不符合题意，舍去）．答：2，5两个月的销售量月平均增长率为20%．（2）解法一：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，依题意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800，整理，得：y2+38y﹣80＝0，解得y2＝2，y2＝﹣40（不符合题意，舍去），当y＝6时，40﹣y＝38．答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．解法二：设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，依题意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800，整理，得y2﹣118y+3040＝0，解得y7＝38，y2＝80（不符合题意，舍去）．答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．23．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的长．【答案】（1）四边形DEBF是矩形，理由见解析；（2）．【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和矩形的性质得出DE＝BF，进而利用勾股定理解答即可．【解答】（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下：∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEB＝∠BFD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DEB+∠EDF＝180°，∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，∴四边形DEBF是矩形；（2）解：连接PB，∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由（1）知，四边形DEBF是矩形，∴DE＝FB＝6，设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x，在Rt△PEB中，由勾股定理得：（3﹣x）2+34＝x2，解得：x＝，∴PD＝．24．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，交AB于点G．（1）求证：△BEG∽△FEB；（2）当BF＝1，BC＝3时，求EG的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【分析】（1）根据正方形的性质推出AD∥BC，AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，利用SAS证明△ADE≌△ABE，根据全等三角形的性质得出∠ADE＝∠ABE，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠F，结合∠BEG＝∠FEB，即可判定△BEG∽△FEB；（2）结合正方形的性质、勾股定理求出AB∥CD，∠DCB＝90°，AD＝DC＝BC＝3，DF＝5，根据平行线的性质推出＝，△ADE∽△CFE，结合相似三角形的性质求出FG＝，EF＝，根据线段的和差求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝AB，∵AE＝AE，∴△ADE≌△ABE（SAS），∴∠ADE＝∠ABE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，又∠BEG＝∠FEB，∴△BEG∽△FEB；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠DCB＝90°，∴CF＝BC+BF＝3+1＝4，∴DF＝＝4，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴FG＝，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，∠DAE＝∠FCE，∴△ADE∽△CFE，∴＝，∴＝，∴EF＝，∴EG＝EF﹣FG＝﹣＝．五、（本题满分10分）25．（10分）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，线段BD与线段AE的数量关系是BD＝AE；类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，AB＝4，，直接写出AD的长．【答案】（1）结论：BD＝AE．理由见解析部分；（2）结论：．理由见解析部分；（3）．【分析】（1）结论：BD＝AE．证明△BCD≌△ACE（SAS），可得结论；（2）结论：．延长AE交BD的延长线于点F，AC交BF于点O．证明△BCD∽△ACE，推出，可得结论；（3）如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDM∽△CDA，推出，可得结论．【解答】解：（1）结论：BD＝AE．理由：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）结论：．理由：延长AE交BD的延长线于点F，AC交BF于点O．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠DEC＝30°，∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，∴，∠BCD＝∠ECA，∴△BCD∽△ACE，∴，∴；（3）如图5，过点A作AB的垂线，两垂线交于点M，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∵∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵，∴，∴，∴．六、（本题满分10分）26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交坐标轴于点C，D，以OA和OC为邻边作矩形OABC，点E是直