不等式的微分法和积分法的证明

不等式的微分法和积分法的证明作者：徐辉指导教师：廖冬摘要：不等式是数学的重要类容之一，求解不等式的方法众多，利用微积分理论和方法，可使不等式证法思路变的简单，本文归纳和总结了一些证明不等式的方法和技巧，突出了微积分在不等式证明中的重要作用.关键词：不等式、证明、微积分、应用不等式是数学的重要类容之一，在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用.在不等式的许多解法中，往往需要较高的技巧.利用高等数学中微积分思想可以使不等式的证法思路变的简单.本文着重阐述利用高等数学中的微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理等众多方法解不等式的证明问题.1.微分法1.1利用微分中值定理证明不等式微分中值定理：如果函数满足下列条件(1).在区间上连续，(2).在区间内可导，则在区间内至少存在一点，使.拉格朗日中值定理适合证明函数与其导函数之间的不等式，若观查不等式出现在区间上的函数值之差及的表达式，则拉格朗日中值定理是我们自然的选择，应用中值定理证明不等式的关键是构造适当的函数和闭区间，使在上满足条件.例1.证明其中.证明：设，则考虑在上，连续且在可导，由中值定理得其中又因其中原式得证，即1.2利用函数的单调性证明不等式函数在区间内可导，则在内递增（递减）的充要条件是：（或）.可利用此定理证明不等式.例2.证明：当时，证明：先证令则由此可知当时，是递减的，当时，有即再证左边不等式，令，则且（当看不清的正负号时重复上述思路），由于可知所以当时，有故时，,即所以当时，1.3用极值的方法证明不等式在不等式的证明中，我们常常构造函数，构造好后，如果无法得到或，即当函数不具有单调性时，可以考虑用极值的方法证明.例3.为常数，且试证明，其中.证明：设则，令当时，有当时，有所以函数在处具有极小值.又因为故严格单调递减，（）.，即原命题得证.1.4利用函数的凹凸性证明不等式利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系，构造一个凸函数或凹函数来证明，由定义及判别法有：在某区间上（二阶可导）为凸（凹）函数则有下列不等式成立.,（）由此可证明一些不等式，特别是含有两个或两个以上变元的.例4.证明不等式其中均为正数.证明：设则可知成立.所以在时为严格凸函数，则有从而即有因所以1.5利用泰勒公式证明不等式当涉及到二阶或更高阶导数的命题时，可考虑用泰勒公式证明不等式.其关键是选择在恰当的特殊点（一阶导数值的点、区间端点，最值点、中间点、平均值点）展开.例5.设在上二阶可导，,求证：证明：设在处取得最小值，所以,由费马定理可知为极值点，由泰勒公式=其中位于与之间，所以有令则由上可知若则（2），若则则由（1），（2）可知2．积分法2.1利用积分性质证明不等式若在区间上可积,，其中例1.证明当时，有证明：当时，有即即由上可知当时有2.2利用分部积分法来证明不等式若为上的连续函数，则有定积分分部积分公式：例2.设的一阶导数在上连续，且求证：证明：由于故由上式可知则令，则即2.3利用积分中值定理证明不等式积分第一中值定理：若在上连续，则至少存在一点，使的积分第二中值定理推论：设函数在上可积，若为单调函数，则存在，使的积分中值定理多应用于涉及与或时使用.例3.1设为上的非负单调减的连续函数，利用积分中值定理证明：对于有下面不等式成立.证明:由题设知满足第一积分中值定理的条件，从而因此可得又因故有成立.例3.2.设为上的连续递增函数，则成立不等式证明：要证上述不等式成立，只要证成立即可.由于单调递增，利用积分第二中值定理，则存在使故成立.2.4二重积分性质法证明不等式解题思路：当命题涉及积分且与均单调增（减）时，可利用二重积分的保序性解题.例4.设均为上的单调增的连续函数，证明：分析：命题符合上述特征，可利用二重积分的保序性，且证明：由于,同为单调增函数，令且总有由二重积分保序性有，即2于是有成立.3．微分法和积分法的结合在许多实际问题上，不等式证明的问题都涉及微分和积分的结合.例.设,函数在上连续可微，证明：证明：在上连续可微，所以积分存在，且微积分在实际运用中具有较高的价值.用微积分方法证明不等式是一种有效的证明方法，上面的几种方法是在证明不等式中常用的高等数学方法.参考文献[1].同济大学数学教研室主编.《高等数学（上册）（第五版）》[M].北京：北京高教出版社.2005.[2].刘玉琏，刘伟主编.《数学分析讲义练习题选讲》[M].北京：北京高教出版社.2002.[3].费定晖，周学全主编.《数学分析习题集解集》（第一册）[M].济南：山东科学技术出版社.2001.[4].天津市数学会.不等式的证明及应用[J].天津：天津科学技术出版社，1992：43-66.[5].李世金，陈广义.数学分析（上册）[M].沈阳：辽宁人民教育出版社，1984：312.[6].唐钰其.高等数学习题课指导书[M].重庆：重庆大学出版社，1988：57.[7].何水明.高等数学（上册）[M].武汉：中国地质大学出版社，2003：106.[8].盛祥耀.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003：75-76.[9].华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）[M].上海：高等教育出版社，2001.[10].王春喜.数学教学研究[J].不等式证明常用的技巧，1995（2）.DifferentialInequalitiesandintegralmethodofproofXuHuiAbstract:Inequalityisanimportantaspectofmath,oneofmanymethodsforsolvinginequalities,usingtheoriesandmethodsofcalculuscanInequalityProofsimpleideaschanged,thisarticlesummedupandtechniquesinequality,highlightingthemicro-Atinequalitiespointstotheimportantroleofproof.Keywords:inequality,provethatcalculus,applications.目录摘要﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(1)0引言﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(1)1微分法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(1)1.1利用微分中值定理证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(1)1.2利用函数单调性证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(2)1.3用极值的方法证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(3)1.4利用函数的凹凸性证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(3)1.5利用泰勒公式证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(4)2积分法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(5)2.1利用积分性质证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(5)2.2利用分部积分法证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒(6)2.3利用积分中值定理证明不等式﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒