一元一次不等式

四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法PAGE1让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666一元一次不等式一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：经历实际问题中数量关系的分析、抽象的过程，体会到现实世界中有各种各样错综复杂的数量关系，有相等关系与不等关系．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系，揭示了所研究的实际问题的本质．理解不等式解集的意义，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出不等式的解集．联系和比较一元一次方程的解法，体会数学中类比、化归思想的作用．重点难点：重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法．难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题．学习策略：经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展分析问题和解决问题的能力．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾——复习知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）等式的两条性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍．即：如果，那么；等式的性质2：等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍．即：如果，那么；如果，那么．（二）解一元一次方程的一般步骤有：（三）用“>”“<”填空：（1）0（2）（3）知识要点——知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#\o"查看资源信息"249044。知识点一：不等式的概念（一）不等式：用“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）等不等号表示关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：（1）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“”，它表示左边的数比右边的数；③“＜”读作“”，它表示左边的数比右边的数；④“≥”读作“”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“”，它表示左边的数不大于右边的数；（2）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示关系，不等式表示关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较．（3）要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义．（二）不等式的解：能使不等式成立的的值，叫做不等式的解．要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断．（三）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．如：不等式x－4＜1的解集是．不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值．二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集．要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有的数值都在解集中．知识点二：不等式的基本性质基本性质1：符号语言表示为：如果，那么．基本性质2：符号语言表示为：如果，并且，那么（或）．基本性质3：符号语言表示为：如果，并且，那么（或）．要点诠释：（1）不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；（2）“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“”；（3）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘（除）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要．知识点三：一元一次不等式的概念只含有一个，且含未知数的式子都是，未知数的次数是，系数不为．这样的不等式，叫做一元一次不等式．要点诠释：（1）一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：①不等号左右两边都是式；②只含有一个；③未知数的最高次数为．（2）一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解．相同点：二者都是只含有个未知数，未知数的最高次数都是，左右两边都是；不同点：一元一次不等式表示关系（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接），一元一次方程表示关系（用“＝”连接）．知识点四：一元一次不等式的解法（一）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．（二）一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）；（4）合并同类项；（5）系数化为1．要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要；④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要．（三）不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．要点诠释：在用数轴表示不等式的解集时，要确定和：（1）边界：有等号的是圆圈，无等号的是圆圈；（2）方向：大向，小向．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#\o"查看资源信息"249044类型一：考查不等式的性质例1．判断正误．（1）若a＞b，则ac2＞bc2．（）（2）若ac2＞bc2，则a＞b．（）（3）若ab＞c，则a＞．（）（4）若a－b＞a，则b＞0．（）（5）若ab＞0，则a＞0，b＞0．（）思路点拨：判断时，要先弄清楚它是以哪条不等式性质为依据的，特别注意的是不等式两边同时乘（或除以）的数或式子的正负．总结升华：举一反三：【变式1】如果a2x＞a2y(a≠0)，那么xy．【变式2】如果ax＞b的解集为x>,则a0．【变式3】a是任意实数，下列判断一定正确的是（）A．a＞－aB．＜aC．a3＞a2D．a2≥0☆【变式4】如果a＜b＜0，那么（）A．B．ab＜0C．＞1D．＜1类型二：求不等式的解集例2．解不等式：,并把它的解集在数轴上表示出来．思路点拨：按基本步骤进行，注意避免漏乘，移项要变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．总结升华：举一反三：【变式1】若,,问x取何值时，？【变式2】求不等式的正整数解【变式3】解不等式：．【变式4】解不等式：，并在数轴上表示它的解集．类型三：构建不等式求解例3．a取什么值时，由方程3x－2＝a解得到的x值，（1）是正数？（2）是0？（3）是负数？思路点拨：这是一道既涉及方程，又涉及不等式的综合题，它可以分为如下四个“小题”：（1）解含有字母系数的方程_____________，求____的值．（2）a取什么值时，x的值是正数？（3）a取什么值时，x的值是0？（4）a取什么值时，x的值是负数？总结升华：举一反三：【变式1】当x取什么值时，式子的值为（1）零；（2）正数；（3）小于1的数．【变式2】当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？【变式3】（2010宁波）请你写出一个满足不等式的正整数的值：____________。类型四：不等式的实际应用☆例4．为了能有效地使用电力资源，某市电业局从今年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电千瓦时0．56元（“峰电”价）,22：00至次日8：00每千瓦时0．28元（“谷电”价）,而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0．53元．当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算？思路点拨：一元一次不等式应用题的解法与列一元一次方程解应用题基本相仿，关键是找出不等关系，列出不等式，即可求解．总结升华：举一反三：【变式1】工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？【变式2】张玲有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总面值大于10．5元．问张玲至少有多少枚1元的硬币？思路点拨：以“”为不等量关系，列不等式．【变式3】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分不到8个苹果，求这一箱苹果的个数与小朋友的个数．三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．总结规律和方法总结规律和方法——强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。相关内容请参看网校资源ID：#tbjx16#\o"查看资源信息"249044（一）是解不等式的主要依据．（性质2、3要倍加小心）（二）检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则不是不等式的解．（三）解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1．这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序．但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向，如果是个负数，不等号方向．解一元一次不等式的一般步骤及注意事项变形名称具体做法注意事项去分母在不等式两边同乘以各分母的（1）不含分母的项不能漏乘

（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号

（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变．去括号根据题意，由内而外或由外而内去括号均可（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项

（2）如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号移项把含未知数的项都移到不等式的一边（通常是左边），不含未知数的项移到不等式的另一边移项（过桥）变号合并同类项把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为或的形式合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变．系数化1在不等式两边同除以未知数的系数，若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；（1）分子、分母不能颠倒

（2）不等号方向改不改变由系数的正负性决定．（3）计算顺序：先算数值后定符号（四）将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定，二是定，三是定．（五）用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题．（六）常见不等式的基本语言的意义：（1），则x是；（2），则x是；（3），则x是；（4），则x是；（5），则；（6），则；（7），则x不小于y；（8），则；（9）或，则x，y（同或异）号；（10）或，则x，y（同或异）号；（11）x，y都是正数，若，则；若，则；（12）x，y都是负数，若，则；若，则成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统成果测