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文档简介

定理 若函数ux,vx在x处可导,则函数uxux

⑴⑵ (C为任意常数⑷

uxvxvx

vyuxvxx

,(uuxx则yuxxvxxuxuxxuxvxx

limx0

limx0

limx0

ux同 uxvxuxuxxuxvxxuxvxx

vxxuxlimx0

limx0

vxx

x0uxvxuxvxwxuxvxuxvxwxuxvxwxuxvxwxyuxx

uxxvxuxvx vxuxxvxuxvxuxvxxvx[uxxux]vxux[vxx vxuvx vx yvxux x0

limyvxuxlimx0

x0uxvx v2 uv v 例2.2.1已知fxx34cosxln fx及f2 2 fx(x34cos

lnx3x3

lnln 4sin 2f f 34sin 4.2 x 2 例2.2.3设ytan

sin

ytanx

cos22cos2xsin2x2

sec2cos cos2同理ycot cosx ycot sinx sin2 设ysec 求

1cosx1cosxsin

cos2 cos2 设ylogax,求 y

xlnx

logxa1定理2.2.2(反函数的求导法则)若函数xy在区间I 单调可导且y

yfxIyyfyyfx证:给x 以增量x,由xy的单调性知yf yfxxfx xy 内可导,且y0,由xy在Iyyxx

内连续,以x0时 ylim

mx0

y0yy x 已知yarcsin 求 ,内单调可导sinycosy

2 111

1 1 2y

求y解:设xcosy为直接函数,在区间 y 1y1

cosysiny已知yarctan xtan 2

sec2 1tan2 1y已知yarccot 11xcot 在0,内单调可 11

1 y (a0,a1),求解:设x y yax是其反函数函数xlogay在区间I ax

y 1 1 即

ylnaaxln 若函数yfu在区间 ux在区间Ix内可导,且x 时,xuIu x证因为yf

u0

fu进而有y

fu 其中lim当u0用u乘等式两边得yfuu 但当u=0时,上式dy

limx0x

fuufulimx0

lim dyfududy dyfududy 所以lim

例2.2.8已知ysinx2 求 ysinu u sin

cosu2x 例2.2.10设y x 求1解:设yeuusinvvx

1y

x2

sin

x1 1y x xx

11

1

22111例2.2.13ylnx 求x解:当x0时 yln x当x0

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