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文档简介
定理 若函数ux,vx在x处可导,则函数uxux
⑴⑵ (C为任意常数⑷
uxvxvx
vyuxvxx
,(uuxx则yuxxvxxuxuxxuxvxx
limx0
limx0
limx0
ux同 uxvxuxuxxuxvxxuxvxx
vxxuxlimx0
limx0
vxx
x0uxvxuxvxwxuxvxuxvxwxuxvxwxuxvxwxyuxx
uxxvxuxvx vxuxxvxuxvxuxvxxvx[uxxux]vxux[vxx vxuvx vx yvxux x0
limyvxuxlimx0
x0uxvx v2 uv v 例2.2.1已知fxx34cosxln fx及f2 2 fx(x34cos
lnx3x3
lnln 4sin 2f f 34sin 4.2 x 2 例2.2.3设ytan
sin
ytanx
cos22cos2xsin2x2
sec2cos cos2同理ycot cosx ycot sinx sin2 设ysec 求
1cosx1cosxsin
cos2 cos2 设ylogax,求 y
xlnx
logxa1定理2.2.2(反函数的求导法则)若函数xy在区间I 单调可导且y
yfxIyyfyyfx证:给x 以增量x,由xy的单调性知yf yfxxfx xy 内可导,且y0,由xy在Iyyxx
内连续,以x0时 ylim
mx0
y0yy x 已知yarcsin 求 ,内单调可导sinycosy
2 111
1 1 2y
求y解:设xcosy为直接函数,在区间 y 1y1
cosysiny已知yarctan xtan 2
sec2 1tan2 1y已知yarccot 11xcot 在0,内单调可 11
1 y (a0,a1),求解:设x y yax是其反函数函数xlogay在区间I ax
y 1 1 即
ylnaaxln 若函数yfu在区间 ux在区间Ix内可导,且x 时,xuIu x证因为yf
u0
fu进而有y
fu 其中lim当u0用u乘等式两边得yfuu 但当u=0时,上式dy
limx0x
fuufulimx0
lim dyfududy dyfududy 所以lim
例2.2.8已知ysinx2 求 ysinu u sin
cosu2x 例2.2.10设y x 求1解:设yeuusinvvx
1y
x2
sin
x1 1y x xx
11
1
22111例2.2.13ylnx 求x解:当x0时 yln x当x0
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