北师大版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题07 全等三角形证明方法：半角模型（原卷版）

专题07全等三角形证明方法——半角模型基本模型：（1）条件：如图，正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作法：在SKIPIF1<0延长线上截取SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（2）条件：如图，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作法：在SKIPIF1<0延长线上截取SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.

例题精讲：例1．已知：正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0绕点A顺时针旋转，它的两边分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（或它们的延长线）于点M，N．（1）当SKIPIF1<0绕点A旋转到SKIPIF1<0时（如图1），求证：SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0绕点A旋转到SKIPIF1<0时（如图2），则线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间数量关系是；（3）当SKIPIF1<0绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

例2．探究：（1）如图1，在正方形SKIPIF1<0中，E、F分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E、F分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将SKIPIF1<0绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．

例3．已知，如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别是线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．例4．【感知】如图①，点M是正方形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一点，点N是SKIPIF1<0延长线上一点，且SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0，进而证得SKIPIF1<0（不要求证明）【应用】如图②，在正方形SKIPIF1<0中，点E、F分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【拓展】如图③，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E、F分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的周长为．

例5．在等边三角形SKIPIF1<0的两边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线上分别有两点M、N，P为SKIPIF1<0外一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．探究：当点M、N分别在直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上移动时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系．（1）如图①，当点M、N在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0时，试说明SKIPIF1<0．（2）如图②，当点M、N在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如图③，当点M、N分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延长线上时，请直接写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系．

专练过关：1．（1）如图①，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．请直接写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线上的点，且SKIPIF1<0．请直接写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系：．

2．如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E，F分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数．3．已知四边形SKIPIF1<0是正方形，M、N分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，正方形SKIPIF1<0的边长为4cm．（1）如图①，O是正方形SKIPIF1<0对角线的交点，若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积；（2）如图②，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．

4．（1）阅读理解：如图①，在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0边上的中线SKIPIF1<0的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长SKIPIF1<0到点E使SKIPIF1<0，再连接SKIPIF1<0，这样就把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0集中在SKIPIF1<0中，利用三角形三边的关系可判断线段SKIPIF1<0的取值范围是；则中线SKIPIF1<0的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0边的中点，SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0，此时：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以C为顶点作SKIPIF1<0，边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于E，F两点，连接SKIPIF1<0，此时：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且（3）中的结论仍然成立，则SKIPIF1<0（用含SKIPIF1<0的代数式表示）

5．如图，正方形SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0上除点B、C外的任意一点，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，斜边SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点F，延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线交于点E，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的度数．6．在等边SKIPIF1<0的两边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线上分别有两点M、N，D为SKIPIF1<0外一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．探究：当M、N分别在直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上移动时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的数量关系及SKIPIF1<0的周长Q与等边SKIPIF1<0的周长L的关系．（1）如图1，SKIPIF1<0是周长为9的等边三角形，则SKIPIF1<0的周长Q＝；（2）如图2，当点M、N边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的数量关系是；此时SKIPIF1<0＝；（3）点M、N在边SKIPIF1<0