过程性变式课件

过程性变式

与

数学课例研究一、我国数学教育的亮点：过程性变式

西方研究者认为，中国学习者的数学学习环境存在许多缺陷，尤其在教学方式上，属于典型的“被动灌输”和“机械训练”

单一讲授的上课方式，教师灌输，学生被动接受班机规模大，一般超过40人，多至50人以上低认知水平的频繁考试和高度竞争，造成教师、学生沉重负担Ginsberg（1992）发表报告认为，中国的教学特点是“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者”从学生学业评价的角度来看，中国中小学教学具有明显的优势海外的中国学生一般取得比其实际智商预期更好的成就IEA（1992）的研究数据表明，中国大陆获得第一IMO（国际数学奥林匹克竞赛）中，中国队一贯名列前茅Stevenson（1992）在《学习的差距》中揭示，美国学生的学习成绩明显低于中国甚至东亚学生，从1到11年级，这种差异明显存在1.中国人数学学习的悖论

已有知识新的知识

建立联系

合理

实质

奥苏贝尔：知识固着点的性质换一个形式检验我国教师：合适“潜在距离”的严格的“变式训练”铺垫是成功的奥秘是有效手段

2.有意义学习的判据有层次推进隐喻：游泳记忆、理解、探究三种水平七种变式课堂教学的脚手架理论？？理论3.聚焦变式教学1中国学习者悖论

1.1关于中国学习者的矛盾观点

1.2悖论的解释

1.3聚焦变式教学2实验研究

2.1概念性变式：对概念的多角度理解

2.2过程性变式：数学活动的有层次推进3理论解释

3.1有意义学习

3.2两种变式的关系

3.3理论建构4启示和讨论

4.1反思中国数学课堂

4.2讨论顾泠沅、黄荣金、Marton，“变式教学：促进有效的数学学习的中国方式”，《华人如何学数学》（英文版）第12章，2004年新加坡Science出版社。过程性变式的特征与概念性变式的区别：概念性变式关注的是廓清数学学习对象静态的、整体的、相对稳定的内涵与外延特征；而过程性变式关注的是数学学习对象动态的、内在的、层次性递进的过程。因此，对于数学概念、命题推演和问题解决等每一类数学学习对象，均存在着概念性变式和过程性变式。数学活动过程的基本特征是层次性。这种层次性既可以表现为一系列的台阶、也可以表现为某种活动策略或经验。过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。二、过程性变式的数学课例研究

1.数学概念学习案例：“除法就是分豆子！”小学数学“有余数的除法”

7÷3＝2……1

Freudenthal研究所的达朗其(JandeLange,1996)在ICME-8的大会报告中介绍了荷兰的一堂课：81名家长出席学校家长会，每张桌子可坐6人，需要布置多少张桌子？第一类学生具体地摆桌子；第二类学生经历了摆桌子到形式计算的抽象；第三类学生套用现成算式去做。实际上，三类学生中只有第二类才真正体验到了“数学化”的含义。（1）选题背景（2）原行为阶段①纠缠于区分等分除、包含除等枝节，未突出“有余数”这个要点②习惯于计算准确性的训练：3×()<7，括号里最大能填几？未关注试商的实际意义③表面地寻找规律，学生都说“不知道”16÷5=3……117÷5=3……218÷5=3……319÷5=3……4余数(1、2、3、4)与除数(5)比较大小，得出余数小于除数关注自我的关键性事件：

重点放在程式化训练，忘记了对小学生来说“数学就是生活”。（3）新设计阶段关注理念的关键性事件：

运用儿童生活经验，“除法就是分豆子”，让学生真实地体验“数学化”的含义。（4）新行为阶段

困难做除法要“拿豆子来”，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏。

教师的创造

在实物与算式间设置一个中介——放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。关注获得的关键性事件：

学生不会形式化，采用“脑中分豆子”，才能解决从实物到符号的过渡。“分豆子”与布鲁纳的认知理论

实物操作表象操作符号操作

分豆子脑中分豆子算式运算（具体）（半具体、半抽象）（抽象）

寻找规律

数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。（5）实践创造与理论学习让学生发现“余数比除数小”师生语言互动时间分布表（6）课堂理念与行为发生改变师生语言互动状况及其理念与行为的改变

课堂静止或不理解的时间⑩、教师指示或命令⑥、批评或辩护权威行为⑦，在改进课中下降为零；教师演讲⑤、学生按老师要求表述⑧，明显减少教师的提问④、学生主动表达自己的发现的语言⑨，在改进课中明显增加；教师接纳学生感觉的语言①，也有上升2、数学命题学习案例：等腰三角形的判定（1）选题背景

在数学教学中，学生要学习大量的性质定理、判定定理和公式等。以往的数学学习常常是老师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练。学生感到枯燥乏味。如何激发学生提出和论证命题的兴趣、如何让从简单到复杂的变式练习成为学生解题能力的练兵场，是日常数学教学中值得关注的问题。

“（数学）早已广泛被人们承认为科学、工艺、商业和晋升各种专业的基础工具。这种目标会导致成人热衷于数学；但对于初步接触数学的幼龄学生，却是遥不可及。”（斯根普1971）（2）模式化的定理教学复习性质定理、给出判定命题师生进行思路分析通过论证得出定理应用定理做练习等腰三角形的两个底角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形写成已知求证的形式：已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=ACACB（3）用情境问题引发兴趣如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？学生的三种“补出”方法：只剩一个底角和一条底边①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明③“对折”（4）多种证法激活创造力三种常规的办法：两种创造性的证法：①作∠A的平分线，利用“角角边”②过A作BC边的垂线，利用“角角边”③作BC边上的中线，“边边角”不能证明④假定AB>AC,由“大边对大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”ACB（5）用变式练习分步解决问题不断变换题目的条件：△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么结论？过O作直线EF∥BC。①图中有几个等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题)若∠B与∠C不相等。

①图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论)直观看到一个，简单应用判定定理必须综合应用判定定理和性质定理论证两个红色三角形以及线段间的关系直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用到性质定理。（6）变式教学效果的试验研究一位专家曾提出质疑，上述最后一题是“总复习”中的难题，在“等腰三角形的判定”第一节课中作为练习，是否超越了学生的学习能力？事实上，运用变式作铺垫，可以明显提高练习的效率。后来专家们在普通学生的班中做了试验，同样取得很好效果。我们曾对利用变式图形提高几何教学效果的经验，开展重复试验或轮换试验，结果差别具有显著或极其显著意义。3、数学问题解决学习案例：勾股定理能够被学生探究出来吗？（1）选题背景

勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当的例子。a2+b2=c2（2）回顾原教学行为欧几里德方法

(等积变形推导)

技巧难度太高设置动手情境“量一量、算一算”得不出a2+b2=c2“剪一剪、拼一拼”学生不会剪拼提供勾股数组:32+42=5262+82=102简化为铺地砖:特殊情境成了直接暗示,无异于告诉事实

优秀教师不满足于以往的教学行为。查阅第3次国际数学与科学重复录像研究项目提供的12个勾股定理教学录像，没有获得满意的结果。尝试新的教学设计，要点是：

①目标在于体现“猜想—证明”这种数学思想方法的本原性意义。

②探究需要“铺垫”（有层次推进的策略）。就像学游泳，不能让所有学生都直接跳到海里，要有一定的背景知识和带关键性的技能、策略作铺垫。铺垫也称“脚手架”，为学生提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下向高认知学习任务的难度攀升。（3）在不满中寻找出路（4）情境铺垫出猜想①问题:

直角三角形两条直角边和斜边之间有什么关系?a、b＜c＜a+b（已有知识）两边平方怎么样?a2、b2＜c2＜②铺垫:

在方格纸内斜放一个正方形ABCD，每个小方格的边长为单位1，怎样计算正方形ABCD的面积？(a+b)2a2+2ab+b2③

数据表：用前面的方法分别计算下列四个图形中的a2、b2、2ab及c2的值，并填表。代数项图Ⅰ图Ⅱ图Ⅲ图Ⅳ…a214916b24916252ab4122440c25132541学生的发现出乎意料：c2=2ab+1a2+b2=c2a+b+a2=b22ab+c2=(a+b)2等!(5)反驳与证明的师生对话[生1]根据数据表,我得出c2=2ab+1的结论。[师][很惊讶]怎么会,不可能吧?[生2]我做过a=2,b=4的例子,这时2ab=16,c2=20,c2≠2ab+1。[师]生2用举例来“反驳”,有说服力,c2=2ab+1这一结论不能成立。[生3]老师,当a与b相差1的时候,这个结论还是成立的。[师][心中想c2=(a-b)2+2ab,b-a=1时,c2=2ab+1]这个意见也是对的,这是一个有条件的结论。好,下面我们来看看另外一个结论a2+b2=c2。[生4]这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的,但是我想,即使100个例子都正确,101个例子不成立了呢?所有例子都成立才是定理,只要有1个例子不成立还是个有条件的结论。[师]a2+b2=c2是否是个定理,举例再多也说明不了,怎么办?[生众]看来必须证明。（6）拆除铺垫引导论证

把图中的小方格背景撤去，并且隐去a、b的具体数值，在一般的直角三角形中，a2+b2=c2是否同样成立？学生利用前面计算直角三角形斜边上正方形面积的方法，顺利地证明了这一结论的正确性。abc（7）学生活动做扩充课后，学生的自我扩充活动分三方面展开①设计数据表出猜想②上网学习勾股定理的史料与多种证明③收集、编拟勾股定理的应用题如如如R=6400kmS=0.005km中国古代文明c2=2ab+(a-b)2=a2+b2第一宇宙速度v2=(R+s)2-R2≈2RS=64v=8kmRsv地球格点多边形面积S=N+-1(N为内点数,L为边点数)(8)课堂价值取向与行为类型的变化

教师讲授时间减少，学生探索时间明显增加，课堂价值观正向能力取向移动由于探索时间增加，学生课堂练习时间有所减少，但课外思考的空间扩大了小结：

中国教师运用过程性变式的基本特征过程性变式的主要教学含义在于数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生逐步形成概念、推演命题或解决问题，从而形成多层次的活动经验系统。这种教学方式并不是一种“机械训练”，而是促进有意义学习的教学手段。过程性变式的功能有四个方面：一是用于概念的形成过程；二是用于数学对象和背景的转换过程；三是用于数学命题的形成过程；四是用于数学问题的解决过程。三、课例为载体的教师专业发展

教师专业成长与知识结构变化

专家教师经验教师职初教师

原理知识（学科的原理、规则，一般教学法知识）案例知识（学科教学的特殊案例、个别经验）策略知识（运用原理于案例的策略，核心是反思）1.基于课例的教师学习

1999—2000，美国密歇根州立大学教育学院彭恩霖等，全球范围开展新教师入职教育的多国案例研究（中国上海、法国、日本、纽西兰、瑞士）。访谈教师，考察学校和课堂，与行政管理人员、教育研究人员和师范大学教师交流讨论，从政策、项目、实践三方面考察。结果表明：内容涉及学科教学、教学管理、职业责任与道德的新教师入职教育对教师成长有关键性的意义。上海案例进一步说明：

●新教师从导师那里学做人、学处事，受益匪浅，与导师共同工作，使他们加速了经验学习的进程。

●融入公开性的交流及对教学的审视，让新教师获得公众评论其教学优缺点的机会，使他们从教学的边缘参与到中心活动，是新教师走向成熟的重要途径。（EdardBritton，LynnPaine，DaridPimwandSentaRaizen，ComprehensiveTeacherinduction，2003）新教师走向成熟:

入职教育是关键一步

2000—2001，时任香港大学课程学系主任的徐碧美教授，在一所学校跟踪四位教师，经一年多课堂录像、访谈研究，完成《追求卓越——教师专业发展案例研究》，英国剑桥大学出版社出版。她采用对教师工作、生活的人种学案例研究的方法结果发现，别人提出的“卓越”理论，尽管把握了专家教师的静态特征，但并未把握专家与非专家教师的关键差异（动态形成过程）：

●组织结构良好的基础知识以及思考和反思的知识技能；

●实践知识理论化、理论知识实践化的知识发展特征；

●不断探索和实验，质疑看似“没有问题”的问题和积极回应挑战的行为特征。

经验教师追求卓越:动态过程至关重要（AmyB.M.Tsui,UnderstandingExpertiseinTeaching:CaseStudiesofSecondLabguageTeachens,2003)洞察自己的经验与需求是关键“在课堂拼搏中学会教学”，有望解决理论向行为转移的问题。教师案例：“一篇课文，三次备课”的原型经验第一次备课——摆进自我，不看任何参考书与文献，全按个人见解准备方案第二次备课——广泛涉猎，分类处理各种文献的不同见解（我有他有，我无他有，我有他无）后修改方案第三次备课——边教边改，在设想与上课的不同细节中，区别顺利与困难之处，课后再“备课”三个关注（自我、同行、学生）和两个反思支架（理念、行为）的课堂改革经验，无一例外是教师成长的捷径。教师成长的捷径（先后120名，8个典型）2．教师在教育行动中成长借鉴国际理念，根据实践经验，提出以课例为载体、在教学行动中开展包括专业理论学习在内的教学研修活动的改革思路，简称“行动教育”。原行为阶段关注个人已有经验的教学行为新设计阶段关注新理念、新经验的课例设计新行为阶段关注学生获得的行为调整更新理念反思1：寻找自身与他人的差距改善行为反思2：寻找设计与现实的差距课例为载体/教师与研究者的合作平台：理论学习、教学设计、行为反省3、来自八国“课例研究年会”的启示2005年12月1－3日，香港教育学院组织了第一届课堂学习研究年会(1stAnnualConferenceonLearningStudy)。来自日本、美国、英国、瑞典、新加坡、伊朗和中国香港和上海等七国八地的学者参加了会议。

2006年11月30－12月2日，香港教育学院组织了第二届课堂学习研究年会(2ndAnnualConferenceonLearningStudy)。除了第一届年会的参与各国，澳大利亚和中国北京的学者首次参加了会议。（1）会议概况第一届年会主报告顾泠沅：以校为本的教师专业发展范式革新Matoba：日本的“授业研究”与“研究授业”卢敏玲：香港的优化课堂学习计划FerenceMarton：瑞典的学习研究李金英：新加坡的课例研究JeanneWolf：来自美国的授业研究观点第二届年会主报告王洁，杨玉东：我们在做怎样的课例研究卢敏玲：从香港的课堂学习研究中能学到什么Matoba：授业研究中的人种志和参与观察法李金英，方艳萍：新加坡课程改革背景下的授业研究Elliott：课堂学习研究能支撑系统广泛的教育革新吗CatherineLewis：授业研究：来自美国的案例FerenceMarton：学习中的相同和差异议程之一：圆桌会议，应邀专家介绍各自国家教学研究情况。议程之二：

成立“世界课例（授业）研究协会”（WorldAssociationofLessonStudy），香港教育学院卢敏玲教授首任主席，顾泠沅教授为中国地区总负责人。议程之三：

对全港教育界开放的大会报告，美国、瑞典、新加坡、日本、伊朗以及中国香港和上海的一线教师的课例研究分享，有近2000人分散在三个会场参加，会议在香港中小学界影响很大。第二届年会主要议程（2）共同关注：课堂教学研究全球提高教学质量运动、课程改革、教师发展成为会议焦点↑由于Stigler

在《教学差距》中对德、日、美三国的一项比较研究，日本的教研活动受到了关注↑英国东英格兰大学的JohnElliott教授，他倡导在校本教学研究中做“行动研究”↓瑞典Goteborg大学的FerenceMarton

教授，他的变易理论是香港课堂学习研究的理论依据

日本的授业研究

第三次国际数学与科学研究中，Stigler（1999）认为：日本学生的高成就是因为日本教师在教学上的成功,与日本的教学研究活动——授业研究(LessonStudy,即课例研究)相关。●由大学教授与学校教师合作开展，“自愿者”组成的教学研究行动。●向社区开放学校和课堂，公开研究课。它的一个重要目标是改善教师与教师、教师与学生、教师与家长等他人的关系，把教师的专业发展置身于“职场”之中，学校不仅仅是教的场所、也成为教师学的场所。●佐腾学：为提高质量，推进课程改革，必须打开教室的大门，相互评论，连续改进。除此之外，别无他法。任何操之过急的做法，对学生没有好处，对教师更没有好处，也许让他们学会了做秀。

目前，美国和其他一些国家把授业研究视为“改变21世纪教师专业发展的强有力途径”而加以推广。三种教学研究模式引起广泛关注辨识课题中有意义学习的内容审辨学习内容的关键特征厘清学生对学习内容已有看法及难点（使用前测题目）开展教学设计及教学实践开展教学评估（使用后测题目，运用三种变易分析教学）撰写课例报告及分享成果香港的课堂学习研究●关注学习内容的分析●运用教学分析（前测、后测）分析教学●学习源于变易●有比较才能“审辨”●教学在于学习主体“同时”体验关于对象各方面变易的维度，开拓具有思想性的“学习空间”瑞典Marton教授变易理论为基础●学生对“学习内容”理解之变易●教师对“学习内容”的不同处理方法的变易●运用适切的变易作为教学工具“课堂学习研究”中扩展为三种上海的行动教育●“主体悟性”：行动研究侧重于改善行为，但理性思考或对理论支持的力度明显不够。为此“行动教育”引入了科学认识（假说检验）的模式与行为反馈机制同时进入工作流程，注重通过“摆进自我”把行动与理性联结起来。●“专业引领”：表现为来自实践层面的有经验教师、理论层面的专业研究人员和“中介”层面的教研员的多边合作的引领，不是单边的专家引领。●“行为跟进”：注重把教师在实践和讨论后产生的新经验、新理念连续地跟