储油罐的变位识别与罐容表标定（2023年数学建模竞赛全国二等奖）

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储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

本文分析研究了储油罐的变位识别与罐容表标定问题，根据几何知识和积分理论建立了模型，利用EXCEL和MATLAB对问题进行分析解答。并对理论值与实际值存在的误差进行了分析，修正了理论公式。对于问题二的求解，运用了非线性最小二乘优化理论，并用附件2实际检测数据对理论公式进行了检验，分析了所建模型的正确性与方法的可靠性。对于问题一，我们运用了几何知识和积分原理，分别对小椭圆型储油罐无变位和纵向变位??4.10两种状况进行了公式推导。分别给出两种状况下罐体的储油量与高度的一般关系式。然后，运用在无变位的状况下所推导的理论公式计算出此种状况下与浮子高度所对应的储油量的值，并作出理论曲线。与实际数据作出的曲线相比较后，发现理论值与实际值之间的相对误差约为3.4%。用同样的方法计算出纵向变位??4.10时与浮子高度所对应的储油量的值，作出理论曲线。与实际数据作出的曲线相比较后，发现理论值与实际值之间也存在一定的误差。我们分析产生误差的原因好多，可能是温度、压力、储油罐的变形和储油罐内杂质的沉淀等多方面原因引起的。假使对每一种原因都进行定量的分析，那么这种分析方法很难实现。故我们通过对所求的公式进行修正，从而达到消除误差的效果，公式修正后的相对误差很小，不会超过1.5%。最终，我们运用修正后的公式给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。对于问题二，首先，推导了实际储油罐在无变位状况下罐内储油量与油位高度的一般关系式，将附表2给出的显示油高代入公式中计算出对应的罐内储油量，与表中给出的显示储油量完全吻合。这说明系统进行计算时，是依照无变位状况下的公式进行计算的，所以计算出的结果与实际检测数据相比，误差很大。其次，推导了实际储油罐在无变位状况下罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度?）的一般关系式，然后利用利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据非线性最小二乘优化理论，用MATLAB进行计算确定变位参数，结果是??2.120，??0.010。再次，利用变位状况下的一般公式和变位参数?和?的值给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。最终，利用附件2中的实际检测数据对模型进行了检验，用公式??理论值?实际值计

实际值算出了理论计算值与实际检测值的相对误差?。发现误差十分微小，平均相对误差为0.2%。说明建立的模型是正确的，方法是可靠的。

关键词:积分理论储油罐非线性最小二乘优化罐容表标定

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一、问题回想

寻常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统〞，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化状况。

大量储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。依照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了把握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为??4.10的纵向变位两种状况做了试验，试验数据如附件1所示。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后为1cm的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度?）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、模型假设

1、忽略储油罐的壁厚。

2、假设附件一和附件二给出的数据真实可靠。3、忽略由于操作原因引起的系统误差。

4、假设变位参数纵向倾斜角度?和横向偏转角度?较小。

三、符号说明

H：表示储油罐内浮子的高度。?：表示储油罐的纵向倾斜角度。

?：表示储油罐的横向倾斜角度。V水平(H)：表示储油罐无变位时油液的容积。V倾斜(H)：表示储油罐有变位时油液的容积。

V中间(H)：表示实际储油罐中间圆柱体部分油液的容积。V球冠(H)：表示实际储油罐两侧球冠部分油液的容积。

?：表示实际测量值与理论计算值之间的相对误差。

四、问题一的分析与求解

4.1问题一的分析

2

首先，运用几何知识和积分原理，分别对小椭圆型储油罐无变位和纵向变位

??4.10两种状况进行公式推导。分别给出两种状况下罐体的储油量与高度的一般关系式。然后，运用在无变位的状况下所推导的理论公式计算出此种状况下与浮子高度所对应的储油量的值，并作出理论曲线。用同样的方法计算出纵向变位

??4.10时与浮子高度所对应的储油量的值，作出理论曲线。其次，分析罐体变位后对罐容表的影响。最终，给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

4.2.1罐体无变位状况下公式的推导

浮子S截面（H）HL

图1无变位状况体积

根据图1可以看出，显然

V水平(H)?L?S截面(H)dS截面（H）bdhaL图2

根据图2可以看出，显然

dS2截面(h)?2ab2bh?hdh3

4-1）

4-2）（（

HS截面(H)??dS0截面(h)（4-3）

2aH?bb2H?b?222=(2bH?H?arcsin?b)b22b4

综上可得，

2aLH?bb2H?b?222V水平(H)?(2bH?H?arcsin?b)（4-4）

b22b44.2.2罐体无变位状况下的理论计算1.781.2?0.89(m)，b??0.6(m)，L?2.45(m)。根据题目的已知条件，a?22代入(4-4)可得，

H?0.6H?0.6V水平(H)?7.268(1.2H?H2?0.18arcsin?0.887)（4-5）

20.6然后，将附件1中罐体无变位状况下的H值代入（4-5）中，可以计算出对应的V水平(H)的理论值。作出图形如下，

图3V水平(H)理论值

4.2.3罐体无变位状况下的误差计算

我们将用公式共计算出的V水平(H)的理论值与实际测量的V水平(H)的值作到同

一图形中，结果如下，

4

图4V水平(H)理论值与实际值

从图4中我们可以发现，用公式共计算出的V水平(H)的理论值与实际测量的