2024届一轮复习人教A版 第十一章计数原理概率随机变量及其分布第四节随机事件与概率 课件（51张）

第四节随机事件与概率第十一章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.1.随机事件2.古典概型3.古典概型与统计的综合应用数据分析数学运算逻辑推理强基础增分策略知识梳理1.事件的分类

确定事件必然事件Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件不可能事件空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件基本事件把只包含一个样本点的事件称为基本事件2.频率与概率一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用

来估计概率

.

从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小

频率fn(A)P(A)微点拨理解频数与频率需注意:①前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.②频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比微思考随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系?提示

随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.3.事件的关系与运算

事件的关系与运算含义符号表示包含事件A发生,则事件B一定发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=⌀,A∪B=Ω微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.微思考随机事件A,B互斥与对立有何区别与联系?提示

当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥,即两事件互斥是对立的必要不充分条件.4.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有

;

②等可能性:每个样本点发生的可能性

.

判断一个试验是否是古典概型的关键点

有限个

相等

(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=

.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.

微思考试验:“种下一粒种子,观察它是否发芽”是古典概型吗?提示

不是.“发芽”与“不发芽”出现的可能性不相等.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.(

)(3)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.(

)√××2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为(

)A.0.62 B.0.38

C.0.7

D.0.68答案

B

解析

由互斥事件的概率计算公式可得质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为P=1-0.3-0.32=0.38.故选B.3.(2022全国乙,文14)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为

.

解析

设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个.增素能精准突破考点一随机事件(多考向探究)考向1.随机事件之间关系的判断典例突破例1.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是(

)A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件答案

D

解析

由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.方法总结判断互斥事件、对立事件的两种方法

对点训练1(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有(

)A.2个小球不全为红球B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球D.2个小球都为绿球答案

BD

解析

口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则样本空间Ω={(红,红),(绿,绿),(蓝,蓝),(红,蓝),(红,绿),(蓝,绿)},共6种情况.则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有2个小球恰有1个红球和2个小球都为绿球,故B,D正确;而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件,故A错误;2个小球至少有1个红球包括2个红色、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色,故C错误.故选BD.考向2.随机事件的频率与概率典例突破例2.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解

(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为

=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192

5a(元).因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192

5a.方法总结计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤

对点训练2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解

(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25

℃,由表格数据知,最高气温低于25

℃的频率为

=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25

℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20

℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,所以Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20

℃,由表格数据知,最高气温不低于20

℃的频率为

=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.考向3.互斥事件与对立事件的概率典例突破例3.经统计,在某银行一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?解

记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.方法总结求复杂互斥事件概率的两种方法

对点训练3(1)人类通常有O,A,B,AB四种血型,某一血型的人能给哪些血型的人输血,是有严格规定的,输血法则可归结为4条:①X→X;②O→X;X→AB;④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O,A,B,AB中某种血型,箭头左边表示供血者,右边表示受血者).已知我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上,按照规则,若受血者为A型血,则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为(

)A.0.27 B.0.31 C.0.42 D.0.69(2)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生,要求每个车站至少有一人,则其中小李和小张不在同一车站的概率为

.

解析

(1)当受血者为A型血时,供血者可以为A型或O型,即B,AB两种血型不能为供血者,我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为P=24%+7%=31%=0.31.故选B.考点二古典概型典例突破例4.(1)(2022新高考Ⅰ,5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(

)(2)(2022山东青岛二模)二十四节气歌是为方便于记忆我国古时历法中的二十四个节气而编成的小诗歌,体现了我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连;秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中,每一句诗歌的开头一字代表着季节,每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气,这2个节气恰好在一个季节的概率为(

)答案

(1)D

(2)C

方法总结古典概型中样本点个数的探求方法

对点训练4(1)(2022全国甲,理15)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为

.

(2)老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格,某同学只能背诵其中的4篇,该同学能及格的概率为(

)考点三古典概型与统计的综合应用典例突破例5.某市围绕“贯彻新发展理念,建设节水型城市”这一主题,开展了形式多样、内容丰富的活动,进一步增强全民保护水资源,防治水污染,节约用水的意识.为了解活动开展成效,某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况,随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分,将得到的分数分成6组:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值,并估计这300名业主评分的中位数;(2)若先用分层随机抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人,然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈,求这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率.解(1)由题意得,(0.025+0.035+a+0.050+0.030+0.020)×5=1,解得a=0.040.又第一组的频率为0.025×5=0.125,第二组的频率为0.035×5=0.175,第三组的频率为0.200,前三组的频率之和为0.125+0.175+0.200=0.500,故这300名业主评分的中位数为85.(2)由频率分布直方图,知评分在[90,95)的人数与评分在[95,100]的人数的比值为3∶2,采用分层随机抽样法抽取5人,评分在[90,95)的有3人,评分在[95,100]的有2人.设评分在[90,95)的3人分别为A1,A2,A3,评分在[95,100]的2人分别为B1,B2,则从5人中任选2人的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(