42线段射线直线（原卷版）

4.1线段、射线、直线导图先学边学边练1．线段、射线、直线的定义及表示方法（1）直线：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．表示方法：①可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．②也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．（2）线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．表示方法：①线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．②线段也可用一个小写英文字母来表示，如图所示，记作：线段a．（3）射线：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．表示方法：①可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图所示，可记为射线OA．②也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l．注：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线．题型1：线段、射线、直线的辨析【例】（2022秋•潮安区期末）下列说法正确的是A．线段和线段表示的不是同一条线段 B．射线和射线表示的是同一条射线 C．若点是线段的中点，则 D．线段叫做、两点间的距离【变式1】（2022秋•江汉区期末）下列说法正确的是A．延长线段和延长线段的含义相同 B．射线和射线是同一条射线 C．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线 D．延长直线【变式2】（2021秋•潜江期末）如图，下列说法正确的是A．线段与线段是不同的两条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是两条不同的射线 D．直线与直线是同一条直线【变式3】（2021秋•新乐市期末）如图，点、、在同一条直线上，则下列说法正确的是A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．图中只有4条线段 D．图中有4条直线题型2：线段、射线、直线的表达方式【例】（2021秋•利辛县期末）下列各图中表示线段，射线的是A． B． C． D．【变式1】（2023春•桓台县期末）观察图形，下列说法正确的个数是（1）直线和直线是同一条直线（2）射线和射线是同一条射线（3）（4）线段和线段是同一条线段A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型3：线段、射线、直线的数数问题【例】（2021秋•东莞市校级期末）如图，图中以为一个端点的线段共有A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【变式1】（2021秋•梁山县期末）如图，图中射线、线段、直线的条数分别为A．8，4，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．5，5，1【变式2】（2022秋•济南期末）如图，在平面内有，，三点．（1）画直线，射线，线段；（2）在线段上任取一点（不同于，，连接，并延长至，使；（3）数一数，此时图中线段共有条．【变式3】（2022秋•淮滨县期末）如图，在平面内有、、三点．（1）画直线，线段，射线；（2）在线段上任取一点（不同于、，连接；（3）数数看，此时图中线段共有条．2．直线公理经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．题型：直线公理【例】（2022秋•渭滨区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．以上都不是【变式1】（2021秋•紫金县期末）王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理：．【变式2】（2021秋•淮南期末）把一根木条钉在墙上使其固定，至少需要个钉子，其理由是．【变式3】（2022•双辽市一模）如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是．3．直线相交当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点．题型：线段、射线、直线的相交问题【例】（2023•莲池区校级三模）如图，直线，和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是A．① B．② C．③ D．④或⑤【变式1】（2022秋•二七区期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是A．如图1所示，延长线段到点 B．如图2所示，射线经过点 C．如图3所示，直线和直线相交于点 D．如图4所示，射线和线段没有交点【变式2】同一平面内互不重合的三条直线的交点的个数是A．可能是0个，1个，2个 B．可能是0个，2个，3个 C．可能是0个，1个，2个或3个 D．可能是1个或3个【变式3】（2023•新华区校级模拟）如图，若射线与线段有一个公共点，则射线可能经过的点是A．点 B．点 C．点 D．点4．尺规作图在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．题型：尺规作图【例】（2022秋•海珠区期末）如图，平面上有四个点，，，，根据下列语句画图：（1）画线段、交于点；（2）作射线；（3）取一点，使点既在直线上又在直线上．【变式1】（2022秋•大余县期末）如图，在平面内有，，三点．（1）画直线，射线；（2）在线段上任取一点（不同于点，，连接；（3）数数看，此时图中线段共有条．【变式2】（2021秋•炎陵县期末）如图，在平面内有、、三点．（1）画直线、线段、射线；（2）取线段的中点，连接；（3）延长线段到，使，并连接．5．中点点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点．类似地，还有线段的三等分点、四等分点．题型：线段的中点【例】（2021秋•霍邱县期末）如图，点是线段上的点，其中不能说明点是线段中点的是A． B． C． D．【变式1】已知直线上有三点，，，线段，，点是线段的中点，则．【变式2】如图，是的中点，是的中点，是的中点，试判断与的大小关系．【变式3】（2021秋•随县期末）如图，延长线段到，使，点是线段的中点，如果，那么线段的长度是多少？6．线段公理两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．题型：线段公理【例】（2022秋•微山县期末）人们喜欢把弯弯曲曲的公路改为直道，其中隐含着数学道理的是．【变式1】如图，小丽同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是A．两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点确定一条线段【变式2】（2022秋•天山区校级期末）下列现象中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是A．利用圆规可以比较两条线段的大小 B．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上【变式3】在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．7．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．题型：线段长度【例】如图，点，在线段上，若，则一定成立的是A． B． C． D．【变式1】已知线段，在的延长线上取一点，使，则线段与线段之比为A． B． C． D．【变式2】如图，，是线段上两点．若，，且是的中点，则的长等于A． B． C． D．【变式3】（2022秋•汝阳县期末）已知点，在线段上，且，若，则的长为．8．方法归纳：（1）过一点的直线有无数条；直线是是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小；（2）要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指两点确定一条直线，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想．（3）延伸与延长是不同的，线段不能延伸，但可以延长，直线和射线能延伸，但是不能延长；（4）直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换；（5）直线中“有且只有”中的“有”的含义是存在性，“只有”的含义是唯一性，“有且只有”与“确定”的意义相同；（6）射线：一要确定端点，二要确定延伸方向，二者缺一不可．随堂练习如图所示，以为端点画六条射线，，，，，，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，，那么所描的第2017个点在A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上在一平面内有四个点，过其中任意两个点画直线，可以画条直线．（2020秋•罗湖区校级期中）（1）如图，线段上有两个点、，请计算图中共有多少条线段？（2）如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？（3）拓展应用：8个班级参加学校组织的篮球比赛，比赛采用单循环制（即每两个班级之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？（2022秋•济南期末）如图，在平面内有，，三点．（1）画直线，射线，线段；（2）在线段上任取一点（不同于，，连接，并延长至，使；（3）数一数，此时图中线段共有条．（2022秋•新余期中）（1）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是5，那么．（2）若数轴上表示数的点位于与6之间，求的值；（3）当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．（2021秋•岳麓区校级月考）已知，如图，，两点把线段分成三部分，为的中点，，求和的长．（2022秋•郑州期末）如图：、、、四点在同一直线上