三角形三条高线交于一点的六种证明方法_第1页
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PAGEPAGE4三角形三条高线交于一点的证明证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。求证：P、Q、O三点重合证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴，即AB·AF=AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ∽△ADC，△AFP∽△ADB∴，即AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∵AB·AF=AC·AE，AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∴AD·AQ=AD·AP∴AQ=AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知：△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。求证：CF⊥AB。证明:∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。向量HA=向量a，向量HB=向量b，向量HC=向量c。

因为AD⊥BC，BE⊥AC，

所以向量HA·向量BC=0，向量HB·向量CA=0，

即向量a·(向量c-向量b)=0，

向量b·(向量a-向量c)=0，

亦即

向量a·向量c-向量a·向量b=0

向量b·向量a-向量b·向量c=0

两式相加得

向量c·(向量a-向量b)=0

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