16 库埃特流动和泊肃叶流动课件

第16章一些特殊流动

N-S方程精确解库埃特流动和泊肃叶流动2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动16.1引言平行流：流线是直的，且互相平行本章内容：N-S方程精确解，包括库埃特和泊肃叶流基本概念：表面摩擦(skinfraction)

热传导(heattransfer)恢复因子(recoveryfactor)

雷诺比拟(Renoldsanalogy)2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动库埃特流动2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动16.2COUETTEFLOW(库埃特流):

GENERRALDISCUSSION

边界条件Aty=D:u=ue,T=Te。上界流体和与动平板间的摩擦剪力e热传导qe平行流线（Paralelstreamline）Aty=0:u=0,T=Tw。下界流体和与动平板间的摩擦剪力w热传导qw2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动y方向的热流量qy=-kdT/dy(15.2)流动方向从温度高的壁面流向温度低的 冷壁：热量传输从流体到壁面热壁：热量传输从壁面到流体温度场：

1.平板上下温度一般不同,产生温度梯度

2.动能由摩擦消耗变成内能,内能的变化由温度升高显示出来（粘性耗散）2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动无穷长平行流动特点任何特性沿x方向不变,(任何量如果变化,就会变到无穷大或者无穷小)

v=w=0u/x=T/x=p/x=0考虑定常流，应用到粘性流动方程组：2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动得到：x-momentumequation:/y(u/y)=0(16.1)y-momentumequation:p/y=0(16.2)Energyequation:/y(kT/y)+/y(uu/y)=0(16.3)2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动方程16.1到16.3是严格的由ns方程得来(16.2)p/y=0代表垂直方向没有梯度,和以前的结果p/x=0联系说明整个流场内部没有压力梯度.以前I和II章讲的无粘流都需要压力梯度来推动流动,现在讨论的粘性流动系另外一种可以对流体施加外力的流动库埃塔流动中运动平板对流体产生的剪力维持流体流动2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动16.3不可压流体库埃特流动下面先讲不可压流体（可压缩的不同，在16.4讲）库埃特流动中由于在x方向没有变化,只有y方向的变化所以偏微分方程变成常微方程

d/dy(du/dy)=0然而实际上大多数粘性流动总是表达为偏微分方程,所以为了教学目的我们还继续采用偏微分符号./y(u/y)=0(16.1)2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动动量方程

,,都是常数.

为常数（不可压）,,都是温度函数，T为常数时,为常数.

d/dy(du/dy)=0

对

为常数时,上式可以化为:

2u/

y2=0.

积分得到u=ay+b

2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动代入边界条件

Aty=0,u=0;=>b=0.

Aty=D,u=ue;=>a=ue/D.

所以u=ue(y/D).——x向速度线性分布

剪力e=du/dy.

代入

u/y=ue/D.

所以

e=(ue/D)——剪应力在全场为常值2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动两个重要的趋势：由e=(ue/D)可知，Ue增加,剪力增加。板间距增加,剪力减小以上论述限于牛顿流体:符合牛顿内摩擦定律的流体称牛顿流体。大部分航空气动问题属于牛顿流体。非牛顿流体,血液,有机化合物….。

2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动能量方程傅立叶热传导定律，qy=-kdT/dy(15.2)/y(kT/y)+/y(uu/y)=0(16.3)T变化不大时,,,变化不大,都看成是常数即使很小的温度变化，也会引起明显的热通量为简化研究，认为温度T沿y方向变化，但忽略,,随温度的很小变化,认为其为常数2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动Aty=0:T=Tw。AtY=D:T=Te(k/)2T/y2+/y(uu/y)=0。应用焓h=CpT，Cp定压比热，常数压力时Cpk/(Cp)2h/y2+/y(uu/y)=0代入普朗特数的定义Pr=Cp./k得:1/Pr2h/y2+/y(uu/y)=0

2h/y2+Pr/2/y(u2/y)=0注意：上述公式反映了普朗特数Pr的含义2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动对于库艾特流能量方程

积分得到h+Pr/2u2=ay+b。代入边条y=0，T=Tw。y=D，T=Te得到b=hwa=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动将a,b代入h+Pr/2u2=ay+b得代入u的结果，u=ue(y/D)2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动热流量qy=-k

T/

y=-k/cph/y因h=hw+[he-hw+(Pr/2)ue2]y/D-(Pr/2)ue2(y/D)2微分得

h/

y=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D-Prue2y/D2qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+μue2y/D22023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动因μue2y/D2=τuey/D=τu，故qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+τu

式中τu即为粘性耗散若忽略τu（ue很小时τu很小），上式为

qy=-μ(he-hw)/(PrD)壁面时仅考虑热流量的绝对值

qw=-k/cp|

h/

y|w下壁面y=0

qw=μ|[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D|上壁面y=D

h/

y=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D-Prue2y/D=[he-hw-(Pr/2)ue2]/Dqw=μ|[(he-hw)/Pr-1/2ue2]/D|2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动分三种情况讨论热流量、焓、温度

(1)忽略粘性耗散qy=-μ(he-hw)/(PrD)h=hw+[he-hw]y/DT=Tw+[Te-Tw]y/D下壁面y=0qw=μ|[(he-hw)/Pr]/D|上壁面y=Dqw=μ|[(he-hw)/Pr]/D|或qw=k

|(Te-Tw)/D|2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动忽略粘性耗散温度型——沿Y轴线性分布2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动（2）等壁面温度条件Te=Tw,he=hwh=hw+Pr/2ue2(y/D)-(Pr/2)ue2(y/D)2T=Tw+Pr/(2cp)ue2[(y/D)-(y/D)2]Y=D/2,Tmax=Tw+[Pr/(8cp)]ue2前面已知qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+μue2y/D2下壁面y=0qw=-μ/2ue2/D上壁面y=D

qw=μ/2ue2/D变形后qw=μ/2ue2/D=τ（ue/2)结论2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动等壁面温度的温度型

热量传输由粘性耗散产生2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动（3）绝热壁

（以下壁为例）qw=μ|[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D|下壁面t=0,qw=μ/2ue2/Dt>0,qw<μ/2ue2/D绝热壁qw=0(

h/

y)w=0.(

T/

y)w=0

he-haw+(Pr/2)ue2=0

绝热壁焓haw=he+(Pr/2)ue2

绝热壁温度Taw=Te+(Pr/(2cp))ue22023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动热流密度变化

下璧温度变化

最后达到平衡态此时he-haw+(Pr/2)ue2=0绝热壁时hw=haw——绝热壁焓因此流体焓h=haw+[he-haw+(Pr/2)ue2]y/D-(Pr/2)ue2(y/D)2=haw-(Pr/2)ue2(y/D)2流体温度T=Taw-(Pr/2cp)ue2(y/D)2y=0,(

T/

y)w=02023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动下璧绝热壁的温度型2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动恢复因子recoveryFactor总焓h0=he+(1/2)ue2绝热壁面焓haw=he+(Pr/2)ue2绝热壁面温度Taw=Te+[Pr/(2cp)]ue2通用化haw=he+r

ue2/2Taw=Te+r

ue2/(2cp)r称为恢复因子r=(haw-he)/(h0-he)=(Taw-Te)/(T0-Te)2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动雷诺类推reynoldsanalogy表面摩擦系数Cf=τw/(1/2ρeue2)=μ(ue/D)/(1/2ρeue2)=2μ/(ρeueD)=2/Re传热系数cH=qw/(ρeue(haw-he))qw=μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D=μ/Pr

[(he-hw)+1/2Prue2]/D又haw=he+(Pr/2)ue2=μ/Pr

[hae-hw]/D

cH={μ/Pr

[haw-hw]/D}/(ρeue(haw-he))=1/(PrRe)故cH/Cf=Pr-1/2雷诺类推=传热系数/表面摩擦系数对不可压流，仅为Pr的函数2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动16.4可压库埃特流动定义速度变化很大，温度变化必须考虑，T=T(y)μ,k是温度函数，故为y的函数压力像不可压库埃特流一样全场为常数ρ=p/(RT),故ρ=ρ（T）2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动流动控制方程动量方程∂（μ∂u/∂y）/∂y=∂τ/∂y=0能量方程

∂（k∂T/∂y）/∂y+∂（μu∂u/∂y）/∂y=0改写为（应用了动量方程）∂（k∂T/∂y）/∂y+τ

∂u/∂y=0

非线性常微分方程，无解析解，仅能求数值解2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动按常微分方程的记法并利用μ=μ（T）dμ/dy=(dμ/dT)(dT/dy)d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0边界条件y=0,T=Tw;y=D,T=Te两点边界值问题整理后方程组为∂（μ∂u/∂y）/∂y=∂τ/∂y=0d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0τ=μ（ue/D）边界条件y=0,T=Tw;y=D,T=Te2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动数值解法——打靶法假设τ,如τ=μ（ue/D）、u(y)——不可压解为初值边界条件y=0,T=Tw;y=D,T=Te变为边界条件y=0,T=Tw;y=0,(dT/dy)w已知通常为不可压流解求解d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0直到y=D,检查T=Te?,否则重假设(dT/dy)w，回到2步计算，重复直到T=Te得到了T=T(y)2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动T=T(y)_——〉μ=μ(y)du/dy=τ/μ，利用1步的τ和边界条件y=0,u=0求解上式直到y=D,检查u=ue？，否则，另假设τ进行5步，反复直到u=ue用6步得到的τ，重新进行2-7,得到最终收敛的τ（大循环）2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动时间相关有限差分法二维非定常流N-S方程2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动能量方程2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动MacCormack法网格划分流入边界条件，x=0,用不可压流的解给u,v,p,T初始条件，t=0,u,v,p,T.用不可压流解或均匀值2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动预测-校正法，以x轴动量方程为例

预测步2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动校正步

用向后查分2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动重复预测-校正在下一时间步，得到结果2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动上述格式为显示有限差分法，存在稳定性限制格式的稳定性CFL数，稳定性条件Δtx=Δx/(u+a),Δty=Δy/(v+a)全场取最小值2023/11/116库埃特流动和泊肃叶流动可压库埃特流结果