正侧半群的p-总则半群

正侧半群的p-总则半群

1最大正则型半群1.1在文献中，正半组和m-p组的子集p被称为p-p正半组，并被记录为s（p）。如果条件满足：。此时,P称为S的一个C-集。A2)中的a+称为a的一个P-逆元。a的全体P-逆元集记为VP(a)。特别地,如果对每一个p∈P都有,则称S(P)为一个强P-正则半群。每个元素都只有唯一P-逆元时,S(P)称为一个以P为射影集的正则*-半群。定义1.2文献P-正则半群S(P)上同余p称为一个强P-同余,如果在S(P)中apb意味着对任意a+∈VP(a)和b+∈VP(b)总有a+pb+。定理A设为一个正则x-半群,和分别为以P为下标集的两两不相交的左、右零半群和的并,记及如果映射Φ:K→T(I),v|→Φv和Ψ:K→T(∧),v|→Ψv满足条件:则在S上可定义二元运算。Cl)则S(P)构成一个最大正则*-同态像*-同构于的强P-正则半群。反之,任意强P-正则半群在P-同构的意义下都可如此构造。2文献的线性范围和检出限下面两个引理收集了一些关于P-正则半群的结论。引理2.1设S(P)为一个P-正则半群,a,b∈S,p,q∈P。1)文献对任意的a+∈V(a),a+∈VP(a)当且仅当a,a+,a+a∈P。2)文献如果a+∈V(a)且pRaLq,则a*=qa+p为唯一满足aa*=p和a*a=q的a的P-逆元。3)文献对任意a+∈Vp(a)有Vp)=Vp(a+a)a+Vp(aa+)。4)文献对任意e∈E(S),Vp(e)=(P∩Le)(P∩Re)为一个矩形带且(P∩Re)(P∩Le)={e}。5)文献Vp(a)Vp(b)=Vp(ba)。6)文献下列各款等价于S(P)为一个强P-正则半群:引理2.2设S(P)为一个P-正则半群。1)文献S(P)上同余ρ为强P-同余当且仅当S(P)/ρ为正则*-半群。2)文献S(P)上最小强P-同余γ为{(x,y)∈S×S|Vp(a)=Vp(b)}的传递闭包。3)文献当S(P)为强P-正则半群时,γ={(x,y)∈S×S|Vp(a)=Vp(b)}。4)文献P)arp}为S的一个C集使S(Q)为一个强P-正则半群[以后称S(Q)为S(P)的强P-闭色]。3有条件映射p先把定理正面部分的证明分成几个引理。证明:对任意的,由B1),B2)和B3)有设S(P)为一个强P-正则半群,其上的最小强P-同余为γ。从每个x∈S所在的γ-类xγ中选取一个代表元,记,。在上定义二元运算为,其中xy为x与y在S(P)中的积。引理3.5为一个正则*-半群。以后,每个既可看作中元,也可看作S(P)中元,交替使用时其含义不再特别指出。在中P-逆元记为,显然,对任意都有,对任意p∈P,为一个矩形带,其中和分别为左、右零半群。从而P为和的子直积,令引理3.6映射为双射。证明:由和,同理,故ξ为映射,对任意和,令,易知因此,ξ为满射。如果xξ=yξ,那么且使及其对偶等式都成立,以致xγy且xγy,从而x=y,因而ξ是单射。在T上定义二元运算:对任意的x,y∈S,引理3.7。证明:ξ显然为T(Q)到S(P)上的一个P-同构。对任意的p∈P和x∈S(P),定义P上变换xp,φx和wx为引理3.8对任意,xp,φx和wx在上的限制分别为到,和上的同态,使。证明:显然,且:使。对任意的有设ρ和λ分别为P到I和A的第一和第二射影,定义引理3.91)对p,q∈P,pρ=qρ当且仅当pRq且2)对p,q∈P,pλ=qλ当且仅当pRq且3)对任意,设则,则。证明:1)如果pρ=qρ,那么一定有。设p=(pq,pλ),q=(qp,qλ),则pRq,反之,如果pRq,则以致pρ=qρ。3)由为部分半群P上的同态可知它们保持P中的R和L一关系,根据1)、2)有引理3.10B1)～B4)成立。证明:B1)～B3)显然成立,下证B4)也成立,对任意的q∈P和(,设。则另一等式对称可证注意到T中定义的二元运算为这说明S(P)P一同一构于一个如定理正面部分所构造的强P一正则半群。4元运算型型“最大逆半群”注意到纯整半群是以其幂等元带为C-集,最大正则x-同态像*-同构于一个逆半群的强P-正则半群,得出以下结论:定理B设为一个逆半群,其幂等元半格为Y,I=∪a∈γIa和∧=Ua∈γAa分别为以Y为下标集的两两不相交的左、右零半群Iα和∧α的并,记及如果映射Φ:K→T(I),v→Φv和Ψ:K→T(A),v|→Ψv满足条件在S上定义二元运算则S构成一个最大逆半群像同构于的纯整半群。反之,任意纯整半群可如此构造。引理3.1S是一个半群。从而Cl)为合理定义，Cl)的可结合性也可验证如下:引理3.2S是正则半群。证明：设,由Bl)有再根据引理3.1的证明可知：由对称性可知为的一个逆元。引理3.3证明：如果，当然有;反之，如果,则，由Bl)和B2)有引理3.4S(P)为一个最小强P-同余为的强P-正则半群。证明：对任意的由和有且易证和在S中互为P-逆元当