n阶矩阵关于乘式乘子群的刻画

n阶矩阵关于乘式乘子群的刻画

正交*-半组的概念从t.e.nordahl和h.e.scheiblih给出。m.yama和t.imarka进行了进一步研究。本文研究了全体n阶矩阵关于乘法和转置构成的*-半群,给出了*-子半群的概念证明了Mn存在*-正则子半群、*-逆子半群、*-子群.证明了对于任意正整数n,如果一个集合S的元素个数为n2+1则可以定义乘法和*运算把S变成正则*-半群,而且S是一个逆半群.本文未给出的概念、符号见1正则型半群的关于设S是半群,E(S)为S的幂等元集,V(a)为a的逆元集.定义1.1如果一个半群S上有一个一元运算*:S→S,它满足对∀a、b∈S,(1)(a*)*=a.(2)(ab)*=b*a*.则称S是*-半群.定义1.2如果一个半群S上有一个一元运算*:S→S,它满足对∀a、b∈S,(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=b*a*.则称S是正则*-半群.在正则*-半群S中,a*aa*=((a*aa*)*)*=(aa*a)*=a*.所以a*是a的一个逆元、S是正则半群.定义1.3设S是正则半群,E(S)为S的幂等元集.E(S)的一个子集F被称为p-组,如果满足:(1)对∀a∈S,存在唯一一个逆元a*使得aa*、a*a属于F.(2)对∀a∈S,a*Fa⊂F,这里*一元运算由(1)确定.(3)F2⊂E(S).定理1.4正则半群S是正则*-半群的充分必要条件为:它至少有一个p-组.定义1.5设S是正则半群,E(S)为S的幂等元集.如果e、f∈E(S)时,有ef∈E(S).则称S是纯正半群.(OrthodoxSemigroups)定义1.6半群S称为逆半群(Inversesemigroups),如果对∀a∈S,a的逆元唯一.定理1.7S是半群,那么下列几条等价(1)S是逆半群.(2)每一个R-类仅有一个幂等元并且每一个L-类仅有一个幂等元.(3)S是正则半群并且幂等元可交换.定义1.8若S是*-半群,S1是S的子半群,并且关于S上的一元运算*在S1上的限制S1是*-半群.当S1是正则半群时称S1是S的*-正则子半群.当S1是逆半群时称S1是S的*-逆子半群.当S1是群时称S1是S的*-子群.2关于一元运算型.定理2.1全体n阶矩阵Mn关于乘法和转置构成的*-半群.Mn存在*-正则子半群、*-逆子半群、*-子群.证明:Mn是数域F上全体n阶矩阵组成的集合,矩阵的乘法满足结合律,所以Mn是半群.令Mn的一元运算*为矩阵的转置.A∈MnA*=At.如果A=(aij)n×n,B=(bij)n×n(A*)*=(At)t=A(AB)*=(AB)tB*A*=BtAt(AB)t的第i行第j列元素是AB的第j行第i列也就是A的第j行乘B的第i列也就是BtAt的第i行第j列元素.所以(AB)*=B*A*,由定义1.1得Mn是*-半群.Eij∈Mn它的第i行第j列元素为1其他元素全为0.令V={Eij∈Mn│i=1,2…n;j=1,2…n}∪{0}(零矩阵).因为EijEjt=Eit;EijEst=0这里j≠s.所以V关于乘法封闭,是Mn的子半群.Eij*=(Eij)t=EjiV关于一元运算*封闭.V是*-半群.EijEjiEij=Eij所以V是正则半群、是正则*-半群、是Mn的*-正则子半群.事实上,V中的元素Eij是幂等元的充分必要条件是i=j.所以V的幂等元E(V)={Eii∈Mn│i=1,2…n;}∪{0}.令F=E(V)则F满足定义1.3是V的p-组,据定理1.4V是正则*-半群.V的幂等元E(V)={Eii∈Mn│i=1,2…n;}∪{0}.EiiEjj=0i≠j;EiiEii=Eii,Eii0=0Ejj=0.显然幂等元可交换.由定理1.7得V是逆半群.V是Mn的*-逆子半群.另外V的格林关系非常清楚.它有两个D类{Eij∈Mn│i=1,2…n;j=1,2…n}和{0}.在{Eij∈Mn│i=1,2…n;j=1,2…n}中EijEjt=EitEjiEit=Ejt;EitEtj=Eij所以EjtLEit;EijREit也就是后足码相同的有L关系、前足码相同的有R关系.所以每一个L-类只有一个幂等元,并且每一个R-类只有一个幂等元.同样由定理1.7得V是逆半群.令W={全体Mn中的可逆矩阵},A∈W的充分必要条件是A的行列式│A│不等于0.若A、B∈W,则│A│≠0;│B│≠0.│AB│=│A││B│≠0.W关于乘法封闭是Mn的子群.若A∈W,则│A│≠0.A的转置的行列式等于│A│≠0,所以W关于*封闭.是*-半群.据定义1.8是Mn的*-子群.但是W关于*运算不满足定义1.2的(1)不是正则*-半群.当然W上可以另外定义*运算使它成为正则*-半群.令U={全体Mn中的正交矩阵}.A∈U的充分必要条件是At=A-1.若A、B∈U,At=A-1,Bt=B-1,(AB)t=BtAt=B-1A-1=(AB)-1U关于乘法封闭是Mn的子群.若A∈U,A*=At=A-1∈U.所以W关于*封闭.是*-半群.据定义1.8是Mn的*-子群.而且关于*运算满足定义1.2.是正则*-半群.推理2.2对于任意正整数n,如果一个集合S的元素个数为n2+1则可以定义乘法和*运算把S变成正则*-半群,而且S是一个逆半群.证明:在n2+1个元素中令一个元素为0,其他元素为{Eij│i=1,2…n;j=1,2…n}.S={Eij│i=1,2…n;j=1,2…n}∪{0}.在S上定义乘法如下:Eij0=0Eij=0,EijEst=0j≠s;EijEst=Eitj=s.满足结合律是半群.定义*运算如下:Eij*=Eji0*=0.Eij