0-格林关系与含逆断面半群

0-格林关系与含逆断面半群

0.逆断enlage当s是一个正半组，s0是s的一个反子半组。当s0xs时，当s0上有唯一的反元时，s0是s的逆段，s称为s0的反段，s0=s=s。x0是s0中唯一的反元。当s，s，s0v（x）=s，v（x）表示x上所有反元的集合。s.反向截面的概念是t.s.案例和mcfadan（）在1982年提出。经过多年的研究和发展，反演的概念大大扩展。对半群体特征的研究，如逆截面、充分截面、纯截面等，已经成为半群体特征理论研究领域的一个更高级别的课题（）。在这项工作中，我们提出了一种新的绿色关系，即0-绿色关系。采用lawson提出的新的研究方法，即整个反演（）。1.0vs0设S是一个半群,S0是S的子半群,半群S的任意元素a,b,称a,b满足关系L0,如果(S0)1a=(S0)1b.记为(a,b)∈L0.对偶地,我们可定义(a,b)∈R0当且仅当a(S0)1=b(S0)1.显然,L0,R0是S上的两个等价关系,我们记a所在的L0-等价类为L0aa0,记a所在的R0-等价类为R0aa0.以下我们记E为S的幂等元集,E0为子半群S0的幂等元素.命题1.1设S0是半群S的子半群,则下列结论成立:(1)(a,b)∈L0当且仅当存在u,v∈(S0)1使得ua=b,vb=a;(a,b)∈R0当且仅当存在x,y∈(S0)1使得ax=b,by=a.(2)L0是右同余,R0是左同余.(3)幂等元e是L0ee0的右单位元,是R0ee0的左单位元.(4)等价关系L0与R0可交换,即L0○R0=R0○L0.设S是一个半群,S0是S的一个子半群,a∈S,如果存在x∈S0使得axa=a,则称a是0-正则元.如果S中的所有元素都是0-正则元,则称S是0-正则半群.设S是一个正则半群,S0是S的正则子半群,如果满足SS0S=S,S0SS0=S0,则称S是正则子半群S0的整体逆扩张().例设S是一个矩形带,S0={a}(∀a∈S)是S的一个子带,则S是S0的整体逆扩张,即矩形带是它任意单点子带的扩张.命题1.2设S是0-正则半群且S是子半群S0的整体逆扩张,则∀a∈S,都存在a的逆元a′∈S0.证明∀a∈S,因为S是0-正则半群,则存在x∈S0使axa=a.取a′=xax,因为S是S0的整体逆扩张,从而a′∈S0,且aa′a=axaxa=a,a′aa′=xaxaxax=xax=a′.所以a′∈S0是a的逆元.定义1.3()设S是半群,E是S的幂等元集,如果∀e∈E,eS⊆Se(Se⊆eS),则称S是左(右)E-完全半群.如果一个半群既是左E-完全半群,又是右E-完全半群则称S是一个E-完全半群.命题1.4设S是正则半群,S0是S有逆断面,如果S是E-完全半群,则E=E0.命题1.5设S是0-正则半群,S是S0的整体逆扩张,如果S是右(左)E-完全半群,则aLb⇔aL0b(aRb⇔aR0b).2.元素逆元的确定设S是一个正则半群,如果aa′=a或a′a=a(a′∈V(a)),则a,a′∈E(S).引理2.1()设S0是S的一个逆断面,∀x,y∈S,则下列结论成立:(1)x000=x0.(2)(xy)0=(x0xy)0x0=y0(xyy0)0=y0(x0xyy0)x0.(3)(x0y)0=y0x00,(xy0)0=y00x0命题2.2设S是一个正则半群,S0是S的一个逆断面,则L|S0×S0=L0|S0×S0.命题2.3设S是一个正则半群,S0是S的一个逆断面,如果S0是S的一个左(右)理想,则L0=￡(R0=R).证明∀a,b∈S,设(a,b)∈L,则存在u,x∈S使a=ub,b=va.即a=ubb0b=ab0b,b=ba0a.又因为S0是S的左理想,则ab0,ba0∈S0,从而(a,b)∈L0.所以,￡=￡0.引理2.4()设S是一个半群,则下列命题是等价:(1)S是一个逆半群;(2)S是正则半群,则它的幂等元可交换;(3)每个L-类和每个R-类只含一个幂等元;(4)S的每个元素都有唯一的逆元.引理2.5设S是0-正则半群,S是子半群S0的整体逆扩张,设P={e∈S;(∃e′∈V(e)∩S0)ee′=e}Q={f∈S;(∃f′∈V(f)∩S0)f′f=f}如果P中每个元素的R0-类只含一个幂等元,Q中每个元素的L0-类只含一个幂等元,则S0是S的一个逆子半群.证明∀x∈S0.因为S是0-正则半群,由命题1.2可知,在S0中存在x的逆元,假设x′,x0都是x在S0中的逆元,从而xR0xx′,xR0xx0.因此,xx′R0xx0.又xx′,xx0∈P.由已知条件,xx′=xx0.同理,x′x=x0x.所以,x′=x′xx′=x′xx0=x0xx0=x0.这样x在S0中的逆元是唯一的.由引理2.4,S0是S有一个逆子半群.命题2.6设S是0-正则半群,S是子半群S0的整体逆扩张,设P={e∈S;(∃e′∈V(e)∩S0)ee′=e}Q={f∈S;(∃f′∈V(f)∩S0)f′f=f}则∀e∈P,e′∈E(S0)且是唯一确定的;∀f∈Q,f′∈E(S0)且是唯一确定的.证明∀e∈P,∃e′∈E(S0),且ee′=e.设e″是e′在S0中的逆元,因为e″e′ee′e″e′=e″e′e″e′=e″e′,ee′e″e′ee′=ee′ee′=ee′.所以,e′=(ee′)′=e″e′∈E(S0).假设e1,e2是e在S0中的逆元,则ee1=e,ee2=e.由引理2.4及引理2.5,则e1=e1ee1=e1ee2=e1e2=e2e1=e2ee1=e2ee2=e2.所以,P中元素在S0中的逆元是幂等元且是唯一的.同理可证,∀f∈Q,f′∈E(S0)且是唯一确定的.引理2.7设S是0-正则半群,S是子半群S0的整体逆扩张,设P={e∈S;(∃e′∈V(e)∩S0)ee′=e}Q={f∈S;(∃f′∈V(f)∩S0)f′f=f}则R|P×P=R0|P×P,L|Q×Q=L0|Q×Q.证明∀e,g∈P.设(e,g)∈R,则存在u,v∈S1使e=gu,g=ev.由于e,g∈P,则存在e′,g′∈S0使ee′=e,gg′=g.所以,e=gg′u,g=ee′v.e=ee′=gg′ue′,g=gg′=ee′vg′.又S是S0的整体逆扩张,则g′ue′,e′vg′∈S0.因此,(e,g)∈R0.所以,R|P×P=R0|P×P.同理可证,L|Q×Q=L|Q×Q.引理2.8()半群S的每个幂等元e是Re的左单位元,是Le的右单位元.定理2.9设S是0-正则半群,S是S0的整体逆扩张,设P={e∈S;(∃e′∈V(e)∩S0)ee′=e}Q={f∈S;(∃f′∈V(f)∩S0)f′f=f}则下列结论是等价的:(1)S0是S的一个逆断面;(2)R0|P×P⊆L|P×P,L0|Q×Q⊆R|Q×Q;(3)R0|P×P⊆H|P×P,L0|Q×Q⊆H|Q×Q;(4)D0|P×P⊆L|P×P,D0|Q×Q⊆R|Q×Q;(5)P中每个元素的R0-类只含一个幂等元,Q中每个元素的L0-类只含一个幂等元;(6)S中每个元素的R-类只含P中一个幂等元,每个L-类只含Q中一个幂等元.证明(1)⇒(2)设S0是S的一个逆断面,首先证明,∀e∈P或∀e∈Q,都有e0∈E(S0).∀e∈P,则e0∈S0且ee0=e,e0e=e0.从而,(e0)2=(e0e)(e0e)=e0ee=e0e=e0,即e0∈E(S0).∀e,f∈P,则e0,f0∈E(S0),使得ee0=e,ff0=f.设(e,f)∈R0,由命题1.1可知,ef=f,fe=e.再由引理2.1有e0=(fe)0=(f0fe)0f0=(f0e)0f0f0=(ef)0=(e0ef)0e0=(e0f)0e0.则(e0,f0)∈L0.由于S0是S的逆子半群,再由引理2.4,从而,e0=f0.因此,e=ee0=ef0=ef0f,f=ff0=fe0=fe0e.所以,(e,f)∈L,即R0|P×P⊆L|P×P.同理可证,L0|Q×Q⊆R|Q×Q.(2)⇒(3)⇒(4)显然.(4)⇒(5)∀e∈P,则e∈R0ee0.设另有f∈P且(e,f)∈R0,则由引理1.1有,ef=f,fe=e.由(4)可知,(e,f)∈L.由引理2.8,ef=e,fe=f.因此,e=f.这样P中的每个元素的R0-类只含一个幂等元.同理可证.Q中每个元素的L0-类只含一个幂等元.(5)⇒(6)由引理2.5可知,S0是S的一个逆子半群.由命题1.2可知,∀a∈S都存在Q的逆元a′∈S0,使得(a,aa′)∈R且aa′∈P.如果还存在e∈P使得(a,e)∈R,则(e,aa′)∈R.由引理2.7,(e,aa′)∈R0.由(5)可知,e=aa′.从而,Ra只含P中一个幂等元aa′.同理,S中每个元素的L-类只含Q中一个幂等元.(6)⇒(1)∀a∈S,由命题1.2可知,存在a′∈S0假设a′,a″都是a在S0中的逆元,则(a,aa′)∈R,(a,aa″)∈R.又因为,aa′,aa″∈P,由(6)可知,aa′=aa″.同理可证,a′a=a″a.所以,a′=a′aa′=a′aa″=a″aa″=a″.因此,∀a∈S,都存在唯一的逆元a0∈S0.特别∀b∈S,都存在唯一的逆元b0∈S0.这样S0是S的一个逆子半群.所以,S0是S的一个逆断面.推论2.10设S是0-正则半群,S是S0的整体逆扩张,如果S的每个元素的R0-类及L0-类均只含S的一个幂