一类具有乘用的总则半群

一类具有乘用的总则半群

30多年来，许多科学家对正确率半组的逆段产生了兴趣。1999年，陈建飞提出了雍正截面的概念。纯文本的许多性质与逆文本相似，如积分。本文的主要工作是介绍和研究具有纯文本积累的正半部分。设S是正则半群,且S0是S的子半群.我们常用以下记号,记VS0(x)=S0∩V(x),其中V(x)表示x在S中的所有逆元之集.对任意x∈S,x0∈VS0(x),我们记I={xx0:x∈S,x0∈VS0(x)},Λ={x0x:x∈S,x0∈VS0(x)}.称S0为S的逆断面,如果对任意x∈S,|VS0(x)|=1(即对任意x∈S,S0与V(x)恰有一个公共元).称S0为S的纯正断面,如果以下条件成立:显然,如果S0是S的纯正断面,则由(1)知S是正则半群,由(2)知S0是S的纯正子半群.称半群S的子半群S0为S的拟理想,如果S0SS0⊆S0.下面我们直接给出本文中用到的两个结果:引理1设x是正则半群S的一个元素,e∈E(Rx),f∈E(Lx),则Le∩Rf含有x的逆元x′,使得xx′=e,x′x=f;引理2设x,y是同一D类中的D的元素,则xy∈Rx∩Ly当且仅当Lx∩Ry中含有幂等元.本文采用文献中的术语与记号.1饱和水面为复合,lx00vs0.定义设S为正则半群,S0是S的纯正断面,则称S0是具有乘积性的,如果对于∀x,y∈S,∀x0∈VS0(x),y0∈VS0(y),都有x0xyy0∈E(S0),其中E(S0)为S0的幂等元带.我们知道,集合I和Λ是刻画具有逆断面正则半群和具有纯正断面正则半群的两个重要条件,同样也可以用I和Λ来定义纯正断面的乘积性以及拟理想.我们称正则半群S的纯正断面S0,(1)是有乘积性的,如果ΛI⊆E(S0);(2)是S的拟理想,如果ΛI⊆S0.由文,我们有引理3设S是正则半群,S0是S的纯正断面,则S0是S的拟理想.进而我们有定理1设S是正则半群,S0是S的纯正断面.如果S0是带,则S0具有乘积性的充要条件是S0为S的拟理想.证明由引理3,必要性显然成立.反之,若S0为S的拟理想,则ΛI⊆S0.因而,ΛI⊆E(S0),又由S0是带,则有E(S0)=S0.因此,S0具有乘积性.证毕.推论1设S是正则半群,S0是S的逆断面.如果S0是半格,则S0具有乘积性的充要条件是S0为S的拟理想.如果正则半群S具有逆断面S0,定义Green关系L与R如下:(x,y)∈L⇔x0x=y0y,(x,y)∈R⇔xx0=yy0.对于纯正断面S0,我们有下面类似的结果:引理4设S是正则半群,S0是S的纯正断面,则Green关系L与R可由下式确定:(x,y)∈L⇔VS0(x)x=VS0(y)y,(x,y)∈R⇔xVS0(x)=yVS0(y).证明若VS0(x)x=VS0(y)y,则对于任意x0∈VS0(x),存在y0∈VS0(y)使得x0x=y0y.因而,xLx0x=y0yLy.若(x,y)∈L,则对于任意x0∈VS0(x),y0∈VS0(y),我们有yRyy0,yLxLx0x.由于yy0,x0x为幂等元,根据引理1对于y存在逆元y′∈Lyy0∩Rx0x使得x0x=y′y.又由x0Rx0xRy′Lyy0Ly0,根据文可得y′∈S0.即对于任意x0∈VS0(x),存在y′∈VS0(y)使得x0x=y′y,从而VS0(x)x⊆VS0(y)y.同理可得VS0(y)y⊆VS0(x)x.因此VS0(x)x=VS0(y)y.类似地可以证明另一结果.证毕.定理2设S是正则半群,S0是S的纯正断面.对于任意e∈E(S),VS0(e)⊆E(S0),对于任意x∈S,x′∈V(x),则对于任意x0∈VS0(x),存在x00∈VS0(x0),使得x00x0∈VS0(xx′)=VS0(xx0),x0x00∈VS0(x′x)=VS0(x0x),且x00∈VS0(x′)=VS0(x′xx0)=VS0(x0xx′)=VS0(x0).证明若x∈S,x′∈V(x),由于xx′Rx,由xx′VS0(xx′)=xVS0(x)可得存在(xx′)0∈Vs0(xx′)使得xx′(xx′)0=xx0.由假设知,(xx′)0∈E(S0).因而,xx0(xx′)0=xx′(xx′)0(xx′)0=xx′(xx′)0=xx0且(xx′)0xx0=(xx′)0xx′(xx′)0=(xx′)0,从而xx0L(xx′)0.由x0Lxx0,可得x0L(xx′)0.由于(xx′)0∈E(S0),则对于(xx′)0∈VS0((xx′)0),存在x00∈VS0(x0),使得x00x0=(xx′)0(xx′)0=(xx′)0,即x00x0∈VS0(xx′).又由x00x0∈VS0(xx0),可得x00x0∈VS0(xx′)=VS0(xx0).同理可证存在x0′∈VS0(x0)使得x0x0′∈VS0(xx′)=VS0(x0x).又由x0x00∈VS0(x0x),可得x0x00∈VS0(x′x)=VS0(x0x).由以上可得:x00x′x00=x00x′xx′x00x0x00=x00x′xx′(xx′)0x00=x00x′xx0x00=x00x0x00x′xx0x00=x00x0x00=x00,x′x00x′=x′xx′x00x0x00x′=x′xx′(xx′)0x00x′=x′xx0x00x′=x′x(x′x)0x′=x′.因而x00∈VS0(x′).又由于x′xx0x00x′xx0=x′x(x′x)0x′xx0=x′xx0x00x′xx0x00=x00x0x00x′xx0x00=x00x0x00=x00,即有x00∈VS0(x′xx0).同理可得x00∈VS0(x0xx′).因此x00∈VS0(x′)=VS0(x′xx0)=VS0(x0xx′)=VS0(x0).证毕.定理3设S是正则半群,S0是S的纯正断面.对于任意e∈E(S),如果VS0(e)⊆E(S0),则对于任意x,y∈S,V(x)∩V(y)≠Φ的充要条件是VS0(x)=VS0(y).证明设a′∈V(x)∩V(y).由定理2可得,对于任意x0∈VS0(x),y0∈VS0(y),存在x00∈VS0(x0),y00∈VS0(y0),使得x00∈VS0(a′),y00∈VS0(a′).则有VS0(x0)=VS0(a′)=VS0(y0).设x00∈VS0(x0)=VS0(y0),则有x0∈VS0(x)∩VS0(x00)⇒VS0(x)=VS0(x00),y0∈VS0(y)∩VS0(x00)⇒VS0(y)=VS0(x00),因此VS0(x)=VS0(y).充分性显然成立.证毕.定理4设S是正则半群,S0是S的纯正断面,则S0具有乘积性的充要条件是S0为S的拟理想且对于任意e∈E(S),VS0(e)⊆E(S0).证明若S0具有乘积性,则对于任意e∈E(S),e0∈VS0(e),我们可得e0=e0ee0=e0eee0∈E(S0).从而,VS0(e)⊆E(S0).相反地,若e∈Λ,f∈I,x∈VS0(ef),则有(fxe)2=fxe,ef∈V(fxe)∩S0,由假设可得ef是幂等元.因而,ΛI⊆E(S0),故S0具有乘积性.证毕.若正则半群S具有乘积逆断面S0,设〈E(S)〉为由S生成的幂等元正则子半群,文已经证明了〈E(S)〉={x∈S:x0∈E(S0)},对于纯正断面,我们有下面类似的结果:定理5若正则半群S具有乘积纯正断面S0,则〈E(S)〉={x∈S:VS0(x)⊆E(S0)}.证明设x∈S,若VS0(x)⊆E(S0),x0∈VS0(x),则x=xx0x=xx0x0x∈〈E(S)〉.反之,若VS0(x)∪VS0(y)⊆E(S0),则VS0(xy)⊆E(S0).从而xy在S0中有幂等逆元.设x0∈VS0(x),y0∈VS0(y),由于S0是S的乘积纯正断面,则x0xyy0∈E(S0),因而y0x0xyy0x0∈E(S0).又由y0x0xyy0x0∈V(xy),则可知VS0(xy)含有惟一幂等元,且仅由幂等元构成.证毕.2般法公式:“xix,t文献中,陈建飞给出了具有拟理想纯正断面正则半群的结构定理.我们称映射*∶Λ×I→S0,(λ,i)→λ*i为正则映射,如果满足以下3个条件:(1)∀e,f∈E0,e(λ*i)f=(eλ)*(if),(2)若λ∈E0或i∈E0,则λ*i=λi,(3)若λ+,i*∈E0且λ+RλLλ′,i*LiRi′,则(i*i′)VS0(λ′*i′)(λ′λ+)⊆VS0(λ*i).若将正则映射*Λ×I→S0换成*Λ×I→E0,则可得具有乘积纯正断面的结构定理:定理6设(I,S0,Λ)为三元组,且*:Λ×I→E0为正则映射,定义I/R×S0/σ×Λ/L的子集Γ为:Γ={(Ri,T(x),Lλ):∃λ+,i*∈E0,iLi*Rx,λRλ+Lx},其中x∈S0,σ为S0上的最小逆半群同余.定义Γ的乘积为其中a=x(λ*i1)x1.则Γ为具有乘积纯正断面的正则半群,且其乘积纯正断面同构于S0.反之,每个具有乘积纯正断面的正则半群均可以按上面方法构造.证明设(Ri,T(x),Lλ)∈W,由文知,对于i,λ∈E0,有(Ri,T(x),Lλ)∈E(W)⇔x=xλix.由于,(Ri,T(x),Lλ)2=(Ri(xλix)+,T(xλix),L(xλix)*λ),若x=xmbdaix,则有T(x)=T(xλix),由iRxRx+,则有Ri(xλix)+=Rix+=Rx+=Ri.同理,L(xλix)*λ=Lλ.因此有(Ri,T(x),Lλ)∈E(W).反之,若(Ri,T(x),Lλ)∈E(W),则有T(x)=T(xλix).设x′为x与xλix的共同逆元,则x′xλixx′=x′,从而有xx′xλixx′x=xx′x,因而xλix=x.设k=(Ri,T(x),Lλ),l=(Rj,T(y),Lμ)∈Γ,且(Ri′,T(x′),Lλ′)∈VW(k),(Rj′,T(y′),Lμ′)∈VW(l),其中T(x′),T(y′)分别为T(x),T(y)在S0/σ中的逆元,因而对于i′,λ′,j′,μ′∈E0,有(Ri′,T(x′),Lλ′)(Ri,T(x),Lλ)(Rj,T(y),Lμ)(Rj′,T(y′),Lμ′)=(Ri′a+,T(a),La*λ)(Rjb+,T(b),Lb*μ′)=(Ri′a+c+,T(c),Lc*b*μ′)∈W,其中a=x′(λ′*i)x=x′λ′ix,b=y(μ*j′)y′=yμj′y′,c=a(a*λ*jb+)b=a(λ*j)b,cc*b*μ′i′a+c+c=cb*μ′i′a+c=a(λ*j)bb*mμ′i′a+a(λ*j)b=x′λ′ix(λ*j)yμj′y′μ′i′x′λ′ix(λ*j)yμj′y′=x′λ′ix(λ*j)yμj′y′x′λ′ix(λ*j)yμj′y′.由于μ′,i′∈E0且i′Rx′,μ′Ly′,则有cc*b*μ′i′a+c+c=cc,因此,x′λ′ix∈xE0x⊆E0.同理,由于x,x′∈S0,且S0为纯正半群,则有yμj′y′∈E0.因而有,c=x′λ′ix(λ*j)ymuj′y′∈E0E0E0⊆E0.又由于S0为S的纯正半群,因此,VW(k)klVW(l)⊆E(W),且W是Γ的乘积纯正断面.相反地,若S为正则半群,S0为S的乘积纯正断面.对于任意(λ,i)∈Λ×I,按定义记λ*i=λi,则由S0为S的乘积纯正断面可得λ*i∈E0.证毕.下面,我们给出两个关于2×2矩阵的例子.例1表明正则非纯正半群具有乘积纯正断面,且其纯正断面亦非逆断面.例2中,我们研究非奇异实2×2矩阵上的半群sing2×2R,并记sing*2×2R为2阶非奇异实方阵的子集.例2表明一纯正半群具有乘积纯正断面,且其纯正断面既不是其纯正半群也不是其逆断面.例1设F为2阶方阵上的域,S定义为S={(1111),(1100),(1010),(1000),(0000)}≡{a,b,c,d,e}S={(1111),(1010),(1100),(1000),(0000)}≡{a,b,c,d,e}.则a为S的惟一非幂等元,且d∈V(a).因而S为正则半群.但由bc=a易知,S不是纯正半群.我们有,V(a)={d},V(b)={d,b},V(c)={d,c}V(d)={d,a,b,c},V(e)={e}.设S0={b,d,e},则S0是S的纯正子半群.容易验证,S0是S的纯正断面.我们构造I={b,d,e},Λ={b,c,d,e},且ΛI={b,d,e},因此S0是S的乘积纯正断面.例2设S为sing*2×2R的子集,S={(x0y0)S={(xy00):x,y∈R,x≠0},则按矩阵的乘法S为半群.容易验证(x−1000),(x−10x−10)∈V((x0y0))(x-1000),(x-1x-100)∈V((xy00)),从而S为正则半群.由于S的幂等元为(10y0)(