关于变换群的教学

关于变换群的教学

1以科学探究的视角,培养学生的创新意识一些数学教材的编写通常以以下方式进行：定义、论证、证明、实例，然后引入新的规则，并给出新的证明。虽然这种组织方法可以清楚地组织相关理论，但过程的形成过程与知识的实际形成过程是不一致的。知识的产生往往是这样一个过程：从一个新问题开始，建立新的概念，通过、类比、总结、预测和验证，并得到建议和严格证明。因此，按教材顺序进行教育是违反知识“龙”的真实面目的，与学生的认知规律不一致。学生学习后，他们总是不知道自己的原因。知识的积累会增加，创新的能力就会提高。作为一名教师,应该选取典型的教学内容,沿着知识探究的过程即形成问题、建立假设、设计方案、检验假设、表达交流、问题深化,模拟科学探究的过程,渗透科学探究的精神,开展探究教学,从而培养学生的创新精神和创新能力.本文结合近世代数中变换群的教学,给出一个具体的案例.2搜索过程2.1旋转角的一个旋转近世代数的主要内容是研究所谓的代数系统,即带有运算的集合.我们曾研究了(Z,+)这个代数系统,知道Z对于“+”构成一个群,这个群中的元素就是我们所熟悉的数,其中的运算就是我们所熟悉的加法.事实上,一个集合中的元素不一定都是数,其元素间的运算也未必像加法运算那样.比如:A={平面上所有点作成的集合},在平面上取一定点,让平面绕该定点旋转一个角θ,得到一个新的平面,这个平面上的点和原平面上的点可以建立一个对应关系,记为Tθ,令S={Tθ},则S中的元素就不再是通常的数了,而是一种抽象的“元素”,此处即为转θ角的一个旋转.一般来说,令A是一个集合,τ是A的一个变换,即A到A的一个映射例如A1={1,2},则A的变换有这是A的所有4个变换,记为:S1={τ1,τ2,τ3,τ4}.对于一个一般的集合A它的变换可能很多,把集合A的全体变换放在一起,构成一个集合我们得到了一个比较抽象的集合,这个集合中的元素都是一些变换,本质上就是一些映射.近世代数是研究代数系统的,运算是一个代数系统的灵魂,看来,我们需要引入(定义)一个运算.S中的元素是一些映射,联想到我们在数学分析中学过的内容,对于映射,我们可以从映射的复合出发引导学生将S中的运算定义为映射的复合.即则它显然是A的一个变换.这样,S中定义了一个叫做乘法的运算,其本质为映射的复合.2.2建立假设于是,S对于定义的乘法构成了一个代数系统.我们对这个代数系统的内部关系很感兴趣,也就是要看一看,S对于映射的复合能否构成一个群.2.3逆元、在一人之交加一个群(1)封闭性易于得到.(2)结合律本质上是一个映射的复合问题.对于τ,λ,μ三个变换,有引导:所谓单位元,就是这样一个变换I,使得,有τI=Iτ=τ,τI:a→I(τ(a)),Iτ:a→τ(I(a)).欲使τI=τ,即使I(τ(a))=τ(a).我们可以看出,在I的映射下,T(a)仍然对应τ(a)(由IT=τ我们可以看出,τ(I(a))=τ(a),τ使I(a)对应τ(a).这对于我们猜测I提供不了更多的帮助.)也就是说:I使一个元素仍对应它本身,不妨引导大家看例1,有这样一个I么?这个I是我们所要的单位元么?猜测:I:a→a,这个变换好像是一个单位元.验证:引导学生检验这一猜测.问题:称I为单位元是不是早了一点,因为我们还没有验证S对于乘法构成了一个群,但是由群中单位元的惟一性可以肯定,如果S对于乘法构成一个群的话,I一定是它的单位元.(4)逆元.例子引导:找逆元就是找一个变换τ-1,使ττ-1=τ-1τ=I.如果说找一个单位元还比较容易的话(因为单位元是惟一的),那么为每一个元具体地找出逆元要相对困难得多了.我们看一看能否为例1中的元找出逆元.学生甲、乙:为τ3,τ4找到了逆元.学生丙:τ1好像找不到逆元,因为结论:S对于定义的乘法不能作成一个群.反驳.学生丁:S为什么不能作成一个群?(有些元没有逆元,看来S太大了,可以说里面良莠并存了,S的范围必须缩小.)如果把所有有逆元的元放在一起呢?猜测:所有有逆元的元放在一起可能构成一个群.S′={所有有逆元的元}.问题:哪些元才能有逆元呢?也就是哪些变换才有逆变换,使得这两个变换的积为一个恒等变换.反驳.学生戊:不是单射的变换没有逆变换.设τ1不是单射,则有所以:τ1τ≠I.反驳.学生己:不是满射的变换没有逆变换.设:τ1:a→b,a∈A没有原象(即τ1不是满射).则,有因而ττ1≠I.猜测.学生庚:一一变换才有逆变换.(5)新的猜测(新的命题):s′={所有一一变换},S′对于变换的乘法构成一个群.引导:结合律、单位元、逆元这三条容易验证,只须验证封闭性,即一一变换的积仍是一一变换.2.4表达感情定理:集合A的所有一一变换作成一个变换群.学生把上述探究过程中的思考、验证整理一下,即形成了对该定理的证明.2.5s中一个群的研究得到以上基本结论后,提出以下问题可供学生思考.(1)对于以上定义的变换的乘法,能否给出另外一个定义.(2)S′是集合A的所有一一变换,相对于规定的乘法运算构成一个群,S′太大了,能否将其变小,仍然可以构成一个群.我们直观地感觉到应该有,比如由恒等变换可构成一个群.这又太小了,能否再大一点,能否举一个例子(如平面旋转运动所构成的变换群).(3)近世代数中,研究一个对象可粗分为两种方法:一种方法是研究此对象的内部关系,另一种是把