北京市房山区房山中学2023年高二数学第一学期期末检测试题含解析

北京市房山区房山中学2023年高二数学第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A. B.C. D.3．（）A.-2 B.0C.2 D.34．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（）A. B.C. D.5．以下四个命题中，正确的是（）A.若，则三点共线B.C.为直角三角形的充要条件是D.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底6．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为A.1 B.-1C. D.7．内角、、的对边分别为、、，若，，，则（）A. B.C. D.8．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．过抛物线的焦点引斜率为1的直线，交抛物线于，两点，则（）A.4 B.6C.8 D.1010．已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.11．在平面区域内随机投入一点P，则点P的坐标满足不等式的概率是（）A. B.C. D.12．120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，则CD的长为()A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______14．写出一个同时具有性质①②的函数___________.（不是常值函数），①为偶函数；②.15．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______16．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由贾玲导演的电影《你好，李焕英》上映，截至到2月21日22点8分，票房攀升至40.25亿，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎来了2021春节档最具戏剧性的一幕．正是因为影片中母女间的这份简单、纯粹、诚挚的情感触碰了人们内心柔软的地方，打动了万千观众，才赢得了良好的口碑，不少观众都流下了感动的泪水．影片结束后，某电影院工作人员当日随机抽查了100名观看《你好，焕英》的观众，询问他们在观看影片的过程中是否“流泪”，得到以下表格：男性观众女性观众合计流泪20没有流泪520合计（1）完成表格中的数据，并判断是否有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关？（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，然后从这5人中再随机抽取2人，求这2人都流泪的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，18．（12分）在△中，已知、、分别是三内角、、所对应的边长,且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且△的面积为，求.19．（12分）如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由20．（12分）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；（2）已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.21．（12分）如图，在正方体中，分别为，的中点（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值22．（10分）在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用正弦定理边角互化思想化简得出，利用余弦定理化简得出，结合，根据函数在上的单调性可求得的取值范围.【详解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，则，由余弦定理得，，则，由于双勾函数在上单调递增，则，即，所以，.因此，的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.2、C【解析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.3、C【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果【详解】由故选：C4、C【解析】根据向量线性运算法则计算即可.【详解】故选：C5、D【解析】利用向量共线的推论可判断A，利用数量积的定义可判断B，利用充要条件的概念可判断C，利用基底的概念可判断D.【详解】对于A，若，，所以三点不共线，故A错误；对于B，因为，故B错误；对于C，由可推出为直角三角形，由为直角三角形，推不出，所以为直角三角形的充分不必要条件是，故C错误；对于D，若为空间的一个基底，则不共面，若不能构成空间的一个基底，设，整理可得，即共面，与不共面矛盾，所以能构成空间的另一个基底，故D正确.故选：D.6、C【解析】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到直线的距离为，则由条件得，整理得所以，解得．选C7、C【解析】利用正弦定理可求得边的长.【详解】由正弦定理得.故选：C.8、A【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则.故选：A9、C【解析】由题意可得，的方程为，设、，联立直线与抛物线方程可求，利用抛物线的定义计算即可求解.【详解】由上可得：焦点，直线的方程为，设，，由，可得，则有，由抛物线的定义可得：，故选：C.10、A【解析】根据给定直线设出点P的坐标，再借助列出关于的不等式，然后由不等式有解即可计算作答.【详解】因点P在直线l：上，则设，于是有，而，因此，，即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解，从而有，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A11、A【解析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.【详解】根据题意作出示意图，如图所示：于，所求概率.故选：A.12、B【解析】由，把展开整理求解【详解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、15【解析】易得抛物线方程为，根据，求得点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义求解.【详解】解：因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以，则抛物线：，设点的坐标为，的坐标为，因为，所以，则，则，所以直线的方程为，代入抛物线方程可得，故，则，所以故答案为：1514、（答案不唯一）【解析】利用导函数周期和奇偶性构造导函数，再由导函数构造原函数列举即可.【详解】由知函数的周期为，则，同时满足为偶函数，所以满足条件.故答案为：（答案不唯一）.15、2【解析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.【详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，由抛物线定义知：，又且，所以，故，又，故.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.16、##【解析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.【详解】由图象可知直线过，所以直线的斜率为，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）填表见解析；有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关；（2）【解析】（1）由已知数据可完善列联表，然后计算可得结论；（2）根据分层抽样定义求出5人中流泪与没有流泪的观众人数并编号，用列举法写出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流泪的基本事件，计数后可计算概率【详解】解：（1）男性观众女性观众合计流泪206080没有流泪15520合计3565100所以有99.9%的把握认为观众在观看影片的过程中流泪与性别有关（2）以分层抽样的方式，从流泪与没有流泪的观众中抽取5人，则流泪的观众抽到人，记为，，，，没有流泪的观众抽到人，记为从这5人中抽2人有10种情况，分别是，，，，，，，，，其中这2人都流泪有6种情况，分别是，，，，，所以所求概率18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到关于角A的关系式，求解A（II）再结合正弦面积公式得到三角形的边长的求解【详解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得19、（1）证明见解析（2）（3）存在点，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）可证得两两垂直，所以分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（3）设，然后利用空间向量求解【小问1详解】证明：因为为正方形，所以又因为平面平面，且平面平面，所以平面平面所以；【小问2详解】由（1）可知，平面，所以，因为，所以两两垂直分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）因为，，所以，所以，设平面的一个法向量为，则,即令，则，；所以设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角为的正弦值为；【小问3详解】设，易知设，则，所以，所以，所以设平面的一个法向量为，则，因为，所以令，则，所以在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且20、（1）C是以点，为左右焦点的椭圆，（2）【解析】（1）根据椭圆的定义即可得到答案.（2）当垂直于轴时，，舍去.当不垂直于轴时，可设，再根据题意结合韦达定理求解即可.【小问1详解】因为，，所以C是以点，为左右焦点的椭圆.于是，，故，因此C的方程为.【小问2详解】当垂直于轴时，，，舍去.当不垂直于轴时，可设，代入可得.因为，设，，则，.因为，所以.同理.因此.由可得，，于是.根据椭圆定义可知，于是.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由正方体性质易得，根据线面平行的判定可得面、面，再由面面平行的判定证明结论；（2）建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，确定相关点的坐标，进而求两个半平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值【小问1详解】在正方体中，且，且，且，则四边形为平行四边形，即有，因为面，面，则平面，同理平面，又，面，则平面平面E.小问2详解】以点为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立如图所示的