2024届山东省蒙阴一中数学高二上期末考试模拟试题含解析

2024届山东省蒙阴一中数学高二上期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（）A. B.C. D.2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A. B.C D.3．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于()A.6 B.5C.4 D.24．已知点，点关于原点对称点为，则（）A. B.C. D.5．已知抛物线，则它的焦点坐标为（）A. B.C. D.6．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则A.2 B.3C. D.47．如图，在棱长为2的正方体中，点P在截面上（含边界），则线段的最小值等于（）A. B.C. D.8．命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，9．设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.10．下列说法中正确的是（）A.命题“若，则”的否命题是真命题；B.若为真命题，则为真命题；C.“”是“”的充分条件；D.若命题：“，”，则：“，”11．命题“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使12．下列命题中，真命题的个数为（）（1）是为双曲线的充要条件；（2）若，则；（3）若，，则；（4）椭圆上的点距点最近的距离为；A.个 B.个C.个 D.个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为_____.14．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为__________.15．平面直角坐标系内动点M（）与定点F（4，0）的距离和M到定直线的距离之比是常数，则动点M的轨迹是___________16．已知直线与圆交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC.（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求的值.18．（12分）如图，在正四棱锥中，为底面中心，，为中点，（1）求证：平面；（2）求：（ⅰ）直线到平面的距离；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值19．（12分）已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求（O为坐标原点）的面积的最大值20．（12分）如图，在多面体中，和均为等边三角形，D是的中点，.（1）证明：；（2）若，求多面体的体积.21．（12分）已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.22．（10分）已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，分析可知、、三点共线，设点、，设直线的方程为，分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，因为，故、、三点共线，设、，易知点，，，由题意可知，，可得，若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；设直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，得，，则，可得，故，因此，.故选：A.2、B【解析】构造函数，可知函数为奇函数，利用导数分析出函数在上的单调性，并得出，然后分别在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【详解】构造函数，该函数的定义域为，由于函数为上的奇函数，则，所以，函数为上的奇函数，且，，.当时，，此时，函数单调递增，由，可得，解得；当时，则函数单调递增，由，可得，解得.综上所述，使得成立的的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3、B【解析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.【详解】由题意，,解得所以故选：B.4、C【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,因此，故选：C5、D【解析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距，可得结果.【详解】由得，所以，所以，所以抛物线的焦点坐标为.故选：D.【点睛】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.6、D【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵直线∴直线的倾斜角为，∵过分别作的垂线与轴交于两点，∴，故选D.7、B【解析】根据体积法求得到平面的距离即可得【详解】由题意的最小值就是到平面的距离正方体棱长为2，则，，设到平面的距离为，由得，解得故选：B8、D【解析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案.【详解】因为命题，，所以，.故选：D9、C【解析】设，求导分析的单调性，又，，，即可得出答案【详解】解：设，则，又因为，所以，所以在上单调递增，又，，，因为，所以，所以.故选：C10、C【解析】A.写出原命题的否命题，即可判断其正误；B.根据为真命题可知的p,q真假情况，由此判断的真假；C.看命题“”能否推出“”，即可判断；D.根据含有一个量词的命题的否定的要求，即可判断该命题的正误.【详解】A.命题“若x=y，则sinx=siny”，其否命题为若“，则”为假命题，因此A不正确；B.命题“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当二者为一真一假时，为假命题，故B不正确C.命题“若，则”为真命题，故C正确；D.命题：“，”，为特称命题，其命题的否定：“，”，故D错误，故选：C11、B【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案【详解】存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定，所以“，使”的否定为“，有”，故选：B.12、A【解析】利用方程表示双曲线求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断（1）的正误；直接判断命题的正误，可判断（2）的正误；利用空间向量垂直的坐标表示可判断（3）的正误；利用椭圆的有界性可判断（4）的正误.【详解】对于（1），若曲线为双曲线，则，即，解得或，因为或，因此，是为双曲线的充分不必要条件，（1）错；对于（2），若，则或，（2）错；对于（3），，则，（3）对；对于（4），设点为椭圆上一点，则且，则点到点的距离为，（4）错.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将方程化为双曲线的标准方程，再利用双曲线的定义进行求解.【详解】将化为，所以，，由双曲线的定义，得：，即，所以或（舍）故答案为：.14、##【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界来求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值.故答案为：15、【解析】根据直接法，即可求轨迹.【详解】解：动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，根据题意得，点的轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得所以，动点的轨迹是长轴长、短轴长分别为12、的椭圆故答案为：16、【解析】先求出圆心和半径，由于半径为2，弦|AB|=4，所以可知直线过圆心，从而得，求出，得到直线方程且倾斜角为135°，进而可求出|CD|【详解】圆,圆心(1,2),半径r=2,∵|AB|=4,∴直线过圆心(1,2),∴,∴,∴直线,倾斜角为135°,∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,∴.故答案为：4【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查两直线的位置关系，考查转化思想和计算能力，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，由此求得.（2）先求得，结合两角差的正弦公式求得.【小问1详解】，，即，，，.【小问2详解】由，可得，.18、（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）（i）利用空间向量法可求得直线到平面的距离；（ii）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】证明：连接，则为的中点，且，在正四棱锥中，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系，则、、、、、、、，，设平面的法向量为，，，则，取，则，因为，则，又因为平面，所以，平面.【小问2详解】解：（i），所以，直线到平面的距离为.（ii），则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.19、（1）；（2）1.【解析】(1)根据给定条件结合列式计算得解.(2)设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答.【小问1详解】椭圆C的半焦距为c，离心率，因过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为1，将代入椭圆C方程得：，即，则有，解得，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由(1)知，，依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，，，由消去x并整理得：，，，的面积，，设，，，，当且仅当，时取得“=”，于是得，，所以面积的最大值为1.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题20、（1）见详解（1）.（2）16【解析】（1）证线面垂直从而证线线垂直.（2）把面体看成两个锥体，由已知线面垂直得高，并进一步可求锥体底面边长，从而得解.【小问1详解】因为，所以共面，连接、,因为和均为等边三角形，D是的中点，所以，，，所以面平，平面，【小问2详解】因为，，四边形是平行四边形，和均为等边三角形，D是的中点，所以，,平行四边形是正方形形，，.21、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可【小问1详解】的定义域为当时，，在上单调递增；当时，令，解得；令，解得；综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】，，即证：，即证：当时，，，当时，令，则在上单调递增在上单调递增综上所述：，即22、（1）见解析；（2）2＋4.【解析】（1）由抛物线的简单几何性质易得结果；(2)由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|=2.设A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周长【详解】(1)抛物线y2＝8x的顶点、