2024届江西省萍乡市高二上数学期末学业质量监测试题含解析

2024届江西省萍乡市高二上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）A.24种 B.48种C.72种 D.96种2．已知x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.3 B.C.1 D.3．在空间直角坐标系中，若，，则点B的坐标为（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）4．已知向量，，则以下说法不正确的是（）A. B.C. D.5．某救援队有5名队员，其中有1名队长，1名副队长，在一次救援中需随机分成两个行动小组，其中一组2名队员，另一组3名队员，则正、副队长不在同一组的概率为（）A. B.C. D.6．已知直线与直线，若，则（）A.6 B.C.2 D.7．焦点为的抛物线标准方程是（）A. B.C. D.8．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直10．给出下列四个说法，其中正确的是A.命题“若，则”的否命题是“若，则”B.“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件C.命题“，”的否定是“，”D.命题“在中，若，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题11．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.22012．已知数列中，且满足，则（）A.2 B.﹣1C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________14．若双曲线的左、右焦点为，，直线与双曲线交于两点，且，为坐标原点，又，则该双曲线的离心率为__________.15．已知正三角形边长为a，则该三角形内任一点到三边的距离之和为定值.类比上述结论，在棱长为a的正四面体内，任一点到其四个面的距离之和为定值_____.16．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1):①点P到抛物线焦点的距离为②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为③过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值其中正确的是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（Ⅰ）若的图象在点处的切线与轴负半轴有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最值18．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值19．（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，点M在线段PD上，且DM＝2MP，平面（1）求证：平面MAC平面PAD；（2）若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值20．（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生（1）若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A、B两组分数（单位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，是线段上的动点，轴于点，于点，与相交于点.（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；（2）过点作抛物线的切线交轴于点，过抛物线上的点作抛物线的切线交轴于点，……，以此类推，得到数列，求，及数列的通项公式.22．（10分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意正整数n，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解.【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.故选：B.2、A【解析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3、C【解析】利用点的坐标表示向量坐标，即可求解.【详解】设，，，所以，，，解得：，，，即.故选：C4、C【解析】可根据已知的和的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断.【详解】因为向量，，所以，故，所以选项A正确；，，所以，故选项B正确；，所以，故选项C错误；，所以，，故，所以选项D正确.故选：C.5、C【解析】求出基本事件总数与正、副队长不在同一组的基本事件个数，即可求出答案.【详解】基本事件总数为正、副队长不在同一组的基本事件个数为故正、副队长不在同一组的概率为.故选：C.6、A【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；【详解】解：因为直线与直线，且，所以，解得；故选：A7、D【解析】设抛物线的方程为，根据题意，得到，即可求解.【详解】由题意，设抛物线的方程为，因为抛物线的焦点为，可得，解得，所以抛物线的方程为.故选：D.8、B【解析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值【详解】函数定义域是，有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根设，则，时，，递减，时，，递增，极小值＝，而时，，时，，所以故选：B9、B【解析】根据可判断两平面垂直.【详解】因为，所以，所以，垂直.故选：B.10、D【解析】A选项：否命题应该对条件结论同时否定，说法不正确；B选项：双曲线的离心率大于，解得，所以说法不正确；C选项：否定应该是：，，所以说法不正确；D选项：“在中，若，则是锐角三角形”是假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以说法正确.【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以A选项不正确；双曲线的离心率大于，即，解得，则“”是“双曲线的离心率大于”的充分不必要条件，所以B选项不正确；命题“，”的否定是“，”，所以C选项不正确；命题“在中，若，则是锐角三角形”，在中，若，可能，此时三角形不是锐角三角形，所以这是一个假命题，所以其逆否命题也是假命题，所以该选项说法正确.故选：D【点睛】此题考查四个命题关系，充分条件与必要条件，含有一个量词的命题的否定，关键在于弄清逻辑关系，正确求解.11、C【解析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，则，解得：又，则与第四个单音的频率最接近的是311,故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.12、C【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知，第组中最后一个数即为前组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为，所以第22组的第1个数为.故答案为：14、【解析】根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】由直线与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，在三角形中，，所以，是以为直径的圆与双曲线的交点，不妨设在第一象限，，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，，所以，由所以，又因为，联立可得，，因为为圆的直径，所以，即，，所以离心率.故答案为：【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键.15、【解析】利用正四面体内任一点可将正四面体分成四个小四面体，令它们的高分别为，由体积相等即可求得；【详解】正三角形边长为a，则该三角形内任一点到三边的距离分别为，即有：，解得同理，棱长为a的正四面体内，任一点到其四个面的距离分别为，即有：，解得故答案为：【点睛】本题考查了利用空间几何体的等体积法求高的和为定值，属于简单题；16、②③④【解析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；求出直线的方程与抛物线联立切线的坐标，进而求出三角形的面积，判断②；设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断③；设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断④【详解】解：由抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为：；可得抛物线的焦点的坐标为：，，准线方程为：，对于①，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故①错误；对于②，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，解得，所以，故②正确；对于③，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故③正确；对于④，设直线的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，代入直线中可得，即，，直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，代入直线的方程可得，所以，，所以为定值，故④正确故答案为：②③④.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【解析】（Ⅰ）求导数．求得切线方程，由切线与轴的交点在负半轴可得的范围；（Ⅱ）求导数，由的正负确定单调性，极值得最值【详解】命题意图本题主要考查导数在函数问题中的应用解析（Ⅰ）由题可知，，故可得的图象在点处的切线方程为令，可得由题意可得，即，解得，即的取值范围为（Ⅱ）当时，，易知在上单调递增又，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，无最大值【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，考查用导数求函数的的最值．解题关键是求出导函数，由的正负确定单调性，得函数的极值，从而可得最值18、（1）；（2）.【解析】（1）由短轴长得，由离心率处也的关系，从而可求得，得椭圆方程；（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，求出原点到直线的距离，得出三角形面积为的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得值【详解】解：（1）由题意得，，所以，，椭圆的方程为（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得由题意，，设，则，弦长，点到直线的距离，所以的面积，令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意19、（1）证明见解析（2）【解析】(1)连接BD交AC于点E，连接ME，由所给条件推理出CA⊥AD，进而得CA⊥平面PAD，证得结论(2)首先以A为原点，射线AC，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求解二面角即可【小问1详解】(1)连接BD交AC于点E，连接ME，如图所示：∵平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，∴，，则BC=1，而AB=2，，，∴AC2+BC2=4=AB2，∠ACB=90º，∠CAD=90º，即CA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，∴PA⊥CA，又PAAD=A，∴CA⊥平面PAD，而CA平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD【小问2详解】（2）如图所示：以A为原点，射线AC，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，则，∴，设平面PAB和平面MAC的一个法向量分别为，平面PAB和平面MAC所成锐二面角为，∴，，∴.20、（1）（2）答案见详解【解析】(1)：把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件，同时可得出，两人是一男一女的基本事件，计数后可计算概率；(2)：求出两组数据的均值和方差，比较可得【小问1详解】设4名男生分别用A，B，C，D表示：2名女生分别用1，2表示.基本事件为：，，，，，，，，，，，，共15种，所以所求概率为；【小问2详解】A组数据的平均数，B组数据的平均数，A组数据的方差，B组数据的方差，所以选择A队．理由：A、B两队平均数相同，且，A组成绩波动小21、（1）在抛物线上，理由见解析（2）,,.【解析】（1）根据直线