2023-2024学年江苏省常州市天宁区花园中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省常州市天宁区花园中学九年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．02．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝33．下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形4．已知方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A． B． C． D．且k≠05．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝7．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（）A． B． C． D．8．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长是（）A． B．5 C．6 D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共20分.）9．已知﹣1是方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则b的值为．10．已知线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，则x等于cm．11．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，则2023﹣2a﹣b＝．12．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则a2+b2＝．13．某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程．14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．15．如图，在▱ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于．16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，点G为AD上一点，连接AE、BG交于点F，连接CF，当∠BCF＝∠GBA时，线段CF的长度是．三、解答题17．（20分）解下列方程：（1）（4y﹣1）2﹣5＝0；（2）（x+3）2＝2x+5；（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x；（4）3x2﹣6x﹣2＝0（配方法）．18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，PC：PB＝．（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？21．我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式​x2+4x+5的最小值．解答如下：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．（1）知识再现：当x＝时，代数式x2﹣4x+15的最小值是；（2）知识运用：若y＝﹣x2+6x﹣15，当x＝时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；（3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求：（1）用含t的代数式表示CQ＝，CP＝；（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？

参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【分析】由一元二次方程的定义，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0可得a2﹣4＝0．a的值可求．解：∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②由①②得a＝﹣2．故选B．【点评】本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为0．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．解：把方程x2﹣4x+1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣1+4，配方得（x﹣2）2＝3．故选：C．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．解：A、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；C、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；D、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．4．已知方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A． B． C． D．且k≠0【分析】令原方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，求得k的取值，保证二次项的系数不为0即可．解：由题意得：1﹣4k＞0；k≠0，解得：k＜且k≠0，故选：D．【点评】方程有2个不相等的实数根应注意两种情况：Δ＞0，二次项的系数不为0．5．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N【分析】利用完全平方公式把N﹣M变形，根据偶次方的非负性解答．解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）＝m2﹣3m﹣m+4＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴N﹣M≥0，即M≤N，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．7．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．解：∵DE∥BC，∴，∴故A错误，∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，∴，＝，∴＝，故B错误，∵DE∥BC，∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，∴，∴＝，故C正确；D错误，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长是（）A． B．5 C．6 D．【分析】根据函数图象可得，当x＝0，即点P与点B重合时，BA﹣PE＝1，再根据三角形的三边可得y有最大值为AE＝5，设BE＝a，则BA＝a+1，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程，求解即可．解：根据函数图象可得，当x＝0，即点P与点B重合时，BA﹣BE＝1，在△PAE中，∵三角形任意两边之差小于第三边，∴PA﹣PE＜AE，当且仅当点P与点E重合时有PA﹣PE＝AE，∴y有最大值为AE，∴AE＝5，设BE为a，则BA＝a+1，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，∴（a+1）2+a2＝52，解得：a1＝3，a2＝﹣4（舍去），∴BC＝2BE＝2a＝2×3＝6．故选：C．【点评】本题以矩形为背景考查了动点问题的函数图象，根据函数图象得到线段之间的关系，利用勾股定理求出线段的长是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共20分.）9．已知﹣1是方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则b的值为﹣4．【分析】由一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可．解：根据题意，得（﹣1）2+（﹣1）×b﹣5＝0，即﹣b﹣4＝0，解得，b＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．10．已知线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，则x等于6cmcm．【分析】根据已知线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，列出等式，利用内项之积等于外项之积即可得出答案解：∵线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，∴＝，∴x2＝ac＝9×4＝36，∴x＝±6，x＝﹣6（舍去）．故答案为：6cm．【点评】此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．11．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，则2023﹣2a﹣b＝2024．【分析】根据x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，可以得到2a+b的值，然后代入所求式子计算即可．解：∵x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，∴a×22+b×2+2＝0，化简，得：2a+b＝﹣1，∴2023﹣2a﹣b＝2023﹣（2a+b）＝2023﹣（﹣1）＝2023+1＝2024，故答案为：2024．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立．12．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则a2+b2＝3．【分析】将a2+b2看作一个整体，然后用未知数表示出a2+b2，通过解所得的一元二次方程即可求出a2+b2的值．解：设a2+b2＝x，则有：x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2；由于a2+b2≥0，故a2+b2＝x1＝3．【点评】换元法就是解题过程中把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．13．某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%．【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程．解：设小路的宽为x米，则绿化区域的长为（64﹣2x）米，宽为（40﹣x）米，根据题意得，（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%，故答案为：（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为5米．【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知＝，即＝，解得AM＝5m．则小明的影长为5米．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．15．如图，在▱ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于．【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，则△EFD∽△CFB，得，再利用AE＝2DE解决问题．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EFD∽△CFB，∴，∵AE＝2ED，∴BC＝AD＝3DE，∴＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质是解题的关键．16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，点G为AD上一点，连接AE、BG交于点F，连接CF，当∠BCF＝∠GBA时，线段CF的长度是．【分析】根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BAG＝90°，BE＝BC＝3，BC∥AD，根据勾股定理得到AE＝5，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．解：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，∴∠ABC＝∠BAG＝90°，BE＝BC＝3，BC∥AD，∴AE＝＝5，∠CBF＝∠BGA，∵∠BCF＝∠GBA，∴∠BFC＝∠BAG＝90°，∴EF＝BC＝3，∴AF＝2，∵BE∥AG，∴△BEF∽△GAF，∴，∴，∴AG＝2，∴BG＝，∵∠BFC＝∠BAG＝90°，∠BCF＝∠GBA，∴△BCF∽△GBA，∴，∴，∴CF＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．三、解答题17．（20分）解下列方程：（1）（4y﹣1）2﹣5＝0；（2）（x+3）2＝2x+5；（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x；（4）3x2﹣6x﹣2＝0（配方法）．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．解：（1）（4y﹣1）2﹣5＝0，（4y﹣1）2＝5，4y﹣1＝±，4y﹣1＝或4y﹣1＝﹣，∴y1＝，y2＝；（2）（x+3）2＝2x+5，整理得：x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，∴x1＝x2＝﹣2；（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x，3x（x﹣1）＝2（1﹣x），3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）＝0，3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，x1＝1，x2＝﹣；（4）3x2﹣6x﹣2＝0，x2﹣2x﹣＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接开平方法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根，∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得：﹣4m+5≥0，解得：m≤；（2）∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2﹣1，∵x12+x22＝9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝9，即（1﹣2m）2﹣2（m2﹣1）＝9，整理得：m2﹣2m﹣3＝0，即（m﹣3）（m+1）＝0，解得：m＝3（舍去）或m＝﹣1，则m的值为﹣1．【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，PC：PB＝1：3．（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；②作点A关于BD的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．解：（1）图1中，∵AB∥CD，∴＝＝，故答案为1：3．（2）①如图2所示，点P即为所要找的点；②如图3所示，作点A关于BD的对称点A′，连接A′C，交BD于点P，点P即为所要找的点，∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD．【点评】本题考查了作图﹣相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．21．我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式​x2+4x+5的最小值．解答如下：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．（1）知识再现：当x＝2时，代数式x2﹣4x+15的最小值是11；（2）知识运用：若y＝﹣x2+6x﹣15，当x＝3时，y有最大值（填“大”或“小”），这个值是﹣6；（3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值．【分析】（1）配方后即可确定最小值；（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取