2024版新教材高中数学第三章函数的概念与性质章末复习课导学案新人教A版必修第一册

第三章章末复习课知识网考点聚考点一求函数的定义域1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．2．通过对函数的定义域的求解，提升学生的数学运算素养．例1(1)函数y＝3x21-2x＋(2x＋1)A．(－∞，－12B．(－∞，－12C．(12，＋∞D．(－∞，－12(2)已知函数f(x＋2)的定义域为(－1，1)，则函数y＝f(2x－1)的定义域为()A．(－1，1)B．(－3，1)C．(0，1)D．(1，2)跟踪训练1(1)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数y＝fx+1x-1A．[－1，1)B．(1，3]C．[－1，0)∪(2)函数f(x)＝1x-1＋(x－2)考点二分段函数1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．例2(1)已知函数f(x)＝x-3，x<2，fA．－2B．0C．1D．2(2)已知f(x)＝x2+1，x≥02x，x<0，若f(A．－3或3B．3或5C．－3或5D．3跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝3+3x，-3≤x<1x2-3x，A．－274B．－C．－2716D．－(2)已知函数f(x)＝x-1，x>2x-4+m，x≤考点三求函数的解析式1．求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f1x(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．2．通过对函数解析式的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例3(1)已知函数f(1-x1+x)＝1-x21+x2A．f(x)＝2x1+x2(xB．f(x)＝－2x1+x2(xC．f(x)＝x1+x2(xD．f(x)＝－x1+x2(x(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)＝________.跟踪训练3(1)已知一次函数f(x)满足f(x＋2)－2f(2x＋1)＝－9x－4，则f(x)解析式为()A．f(x)＝－2x－4B．f(x)＝－2x＋3C．f(x)＝3x＋4D．f(x)＝－3x＋2(2)已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x2－x－2，则当x<0时，f(x)＝________________．考点四函数的图象及应用1．会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数和幂函数的图象．2．通过对函数图象的考查，提升学生的直观想象和数据分析素养．例4已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，函数图象为抛物线的一部分．(1)请画出当x>0时函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的解析式，值域，单调增区间．跟踪训练4已知函数f(x)＝|x－1|·(x＋3)．(1)将函数解析式写成分段函数的形式，然后在坐标系中画出f(x)的图象；(2)根据图象直接写出f(x)的单调增区间．考点五函数的性质及应用1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例5已知函数f(x)＝2x-ax2+1是定义在[(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(3)求使f(m－1)－f(1－2m)<0成立的实数m的取值范围．跟踪训练5已知函数f(x)＝mx2+23x+n是奇函数，且f(2)(1)求实数m和n的值；(2)用单调性定义证明函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数；(3)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值，并指出最值点．考点六函数模型的应用1．以现实生活为背景，解决生活中的成本最少、利润最高等问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．2．通过对函数模型在实际问题中的掌握，提升学生的数学建模、逻辑推理素养．例6首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝12x2－200x＋80000，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？跟踪训练6甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费－月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润－月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是________元；当每个公司租出的汽车为________辆时，两公司的月利润相等；(2)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．章末复习课例1解析：(1)依题意，1-2x>02x+1≠0，解得x<1所以函数y＝3x21-2x＋(2x＋1)0的定义域为(－∞(2)设x＋2＝t，则f(x＋2)＝f(t)，因为函数f(x＋2)的定义域为(－1，1)，所以当－1<x<1时，f(x＋2)有意义，所以1<x＋2<3，故当且仅当1<t<3时，函数f(t)有意义，所以函数f(t)的定义域为(1，3)，由函数f(2x－1)有意义可得1<2x－1<3，所以1<x<2，所以函数f(2x－1)的定义域为(1，2)．故选D.答案：(1)B(2)D跟踪训练1解析：(1)因为函数f(x)的定义域为[0，2]且分式的分母不等于零，所以0≤解得－1≤x<1，故函数y＝fx+1x-1的定义域为[－1(2)函数f(x)＝1x-1＋(x－2)0解得：x>1且x≠2.所以f(x)的定义域为(1，2)∪答案：(1)A(2)(1，2)∪例2解析：(1)根据分段函数可知：f(6)＝f(5)＝f(4)＝f(3)＝f(2)＝f(1)＝－2.故选A.(2)由题意，当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝3或a＝－3(舍去)；当a<0，f(a)＝2a＝10，解得a＝5(舍去)；综上，a＝3.故选D.答案：(1)A(2)D跟踪训练2解析：(1)因为f(x)＝3+3x，-3≤x<1x所以f(32)＝(32)2－3×32因为－3≤－94<1所以f(－94)＝3＋3×(－94)＝－154(2)∵f(9)＝9－1＝2，∴f(f(9))＝f(2)＝|2－4|＋m＝6，所以m＝4.答案：(1)B(2)4例3解析：(1)令t＝1-x1+x，则x＝1-t1+t所以f(t)＝1-1-t1+t21+1所以f(x)＝2x1+x2(x≠－(2)x<0时，－x>0，f(x)是奇函数，此时f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x.答案：(1)A(2)－x2－2x跟踪训练3解析：(1)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋2)－2f(2x＋1)＝ax＋2a＋b－4ax－2a－2b＝－9x－4，即－3ax－b＝－9x－4，所以-3a=-9所以f(x)＝3x＋4.故选C.(2)由题意，当x>0时，f(x)＝x2－x－2，设x<0，则－x>0，此时f(－x)＝(－x)2－(－x)－2＝x2＋x－2，又函数f(x)是偶函数，可得f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋x－2(x<0)．答案：(1)C(2)x2＋x－2例4解析：(1)x>0时函数的图象如图所示：(2)由题设中的图象可得x≤0，f(x)＝0有两个解，它们分别为－2，0，故可设f(x)＝ax(x＋2)，而f(－1)＝－1，故a×(－1)×1＝－1，解得a＝1，故当x≤0时，f(x)＝x(x＋2)．而当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x(－x＋2)＝x(x－2)，因f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x2－2x，所以f(x)＝x2从题设的函数图象可得，当x≤0时，f(x)的取值范围为[－1，＋∞)，因为f(x)为偶函数，故f(x)的值域为[－1，＋∞)，当x≤0时，f(x)在(－1，0)上为增函数，在(－∞，－1)为减函数，因为f(x)为偶函数，故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，故f(x)的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．跟踪训练4解析：(1)当x≥1时，f(x)＝x2＋2x－3，当x<1时，f(x)＝－x2－2x＋3，所以f(x)＝x2其图象如图所示：(2)由图象知，f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．例5解析：(1)因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f(0)＝2×0-a0所以a＝0，此时f(x)＝2xx2+1，则f(－x)＝-2x-x2+1所以a＝0.(2)f(x)在[－1，1]上是增函数，证明：设∀x1，x2∈[－1，1]且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2＝2x1x因为∀x1，x2∈[－1，1]且x1<x2，所以x2-x所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[－1，1]上是增函数．(3)由(2)知f(x)＝2xx2+1，f(x)在[－1所以-1即0≤解得0≤m<23所以实数m的取值范围是[0，23)跟踪训练5解析：(1)依题意，函数f(x)＝mx2由3x＋n≠0得x≠－n3，奇函数的定义域关于原点对称，所以n＝f(x)＝mx2+23x，由f(2)＝53得4m+26＝2m+13则f(x)＝2x2+23x，f(－x)＝－2x2+23x＝－f(x)，f(x)(2)由(1)得f(x)＝2x任取x1<x2≤－1，f(x1)－f(x2)＝2x＝23其中x1x2－1>0，x1－x2<0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数．(3)由(2)可知，函数f(x)在区间[－2，－1]上递增，所以，最小值点为－2，最小值为f(－2)＝8+2-6＝－最大值点为－1，最大值为f(－1)＝2+2-3＝－例6解析：(1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x当且仅当12x＝80000x，即x＝故当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元．(2)不获利，设该单位每个月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－(12x2－200x＋80000)＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2因为x∈[400，600]，则S∈[－80000，－40000]，故当该单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损．跟踪训练6解析：(1)由题意可得[(50－10)×50＋3000]×10－200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲＝[(50－x)×50＋3000]x－200x,y乙＝3500x－1850，由题意可得：y甲＝y乙，∴－5