新教材2023-2024学年高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列6.2.2排列数课件新人教A版选择性必修第三册

第六章6.2.1排列6.2.2排列数基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.基础落实·必备知识全过关知识点1

排列的相关概念1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的______

排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个

.

指其中一种情况2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.名师点睛理解排列应注意的问题(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.顺序排列过关自诊1.如何判断一个具体问题是不是排列问题?提示

(1)首先要保证元素互异性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题.(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.2.[北师大版教材习题]请列出下列排列:(1)从4个不同元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列;(2)从7个不同元素a,b,c,d,e,f,g中任取2个元素的所有排列.解

(1)abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.(2)ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,ag,ga,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,bg,gb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,cg,gc,de,ed,df,fd,dg,gd,ef,fe,eg,ge,fg,gf.知识点2

排列数与排列数公式1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的

,叫做从n个不同元素中取出m个元素的

,用符号

表示.

2.排列数公式:,这里m,n∈N*,并且m≤n

.3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有

.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做

,用

表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成

.另外,我们规定,

.

个数

排列数

=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1n的阶乘

n!=n!0!=1过关自诊1.你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?提示

“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个事件.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.2.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有(

)

A.12种

B.24种 C.48种

D.120种B解析

∵同学甲只能在周一值日,∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,∴5名同学值日顺序的编排方案共有

=24(种).3.[苏教版教材例题]计算:重难探究·能力素养全提升探究点一简单的排列问题【例1】

(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?解

从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列,根据分步乘法计数原理知,共有7×6×5=210种不同的送法.(2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?解

从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理知,共有7×7×7=343种不同的送法.规律方法

对简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素和位置的情况下,直接用排列数公式进行计算.变式训练1考生甲填报某高校专业意向,打算从5个专业中挑选3个,分别作为第一、第二、第三志愿,则不同的填法有(

)A.10种

B.60种C.125种 D.243种B解析

依题意,满足题意的不同的填法共有

=5×4×3=60(种).探究点二排列数公式∴2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),且n为正整数,整理可得2(2n-1)=5(n-2),解得n=8.规律方法

应用排列数公式时应注意的三个方面

探究点三“邻”与“不邻”问题【例3】

7人站成一排.(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?变式探究

对于本例中的7人,甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种?规律方法

元素相邻和不相邻问题的解题策略

限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列元素不相邻通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中变式训练3五位师傅和五名徒弟站一排.(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法?(2)五名徒弟各不相邻共有多少种排法?(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法?探究点四定序问题【例4】

用0,1,2,…,9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数:(1)五位奇数;(2)大于30000的五位偶数.解

(1)要得到五位奇数,个位数字应从1,3,5,7,9五个数字中取,有5种取法;取定个位数字后,万位数字就有除这个数字和0之外的8种不同取法;个位数字和万位数字确定后,十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取,共有

种不同的排列方法.因此由分步乘法计数原理知,共有5×8×=13

440个没有重复数字的五位奇数.(2)要得偶数,个位数字应从0,2,4,6,8中选取,而要得比30

000大的五位偶数,可分两类:①个位数字从0,2中选取,则万位数字可取3,4,5,6,7,8,9中任一个,共有7种选取方法,其余三个数位可从除个位、万位两个数位上的数字之外的八个数字中选取,共

种取法.所以共有2×7×种不同情况.②个位数字从4,6,8中选取有3种选法,则万位数字应从3,4,5,6,7,8,9中除去个位所选数字的六个数字中选取,有6种选法,其余三个数位仍有

种选法,所以共有3×6×种不同情况.由分类加法计数原理,比30

000大的无重复数字的五位偶数的个数为2×7×+3×6×=10

752.规律方法

排列问题的本质是“元素”占“位置”问题,有限制条件的排列问题主要表现在某元素不排在某个位置上,或某个位置上不排某个元素.解决此类问题的方法主要按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先考虑特殊位置,若一个位置安排的元素影响另一个位置的元素个数时,应分类讨论.变式训练4元宵节灯展后,悬挂的8盏不同的花灯需要取下,如图所示,每次取1盏,则不同的取法共有(

)A.32种

B.70种

C.90种

D.280种B解析

因为取灯时每次只能取一盏,所以每串灯必须先取下面的灯,即每串灯取下的顺序确定,取下的方法种数为本节要点归纳1.知识清单:(1)排列的定义、排列数公式;(2)利用排列数公式化简与证明;(3)排列、排列数公式的简单应用.2.方法归纳:直接法、间接法.3.常见误区:(1)排列的定义不明确;(2)易忽视

中“n,m∈N*”这个条件.成果验收·课堂达标检测123451.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为(

)A.5 B.10 C.20 D.60C解析

此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有

=20种不同的送书方法.123452.设m∈N*,且m<15,则

=(

)A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)C解析

是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).123453.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有(

)A.24种

B.144种 C.48种

D.96种D12345