新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.5正态分布分层作业课件新人教A版选择性必修第三册

第七章7.5正态分布(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点二]某厂生产的零件外径X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9cm,9.3cm,则可认为(

)A.上午生产情况正常,下午生产情况异常B.上午生产情况异常,下午生产情况正常C.上午、下午生产情况均正常D.上午、下午生产情况均异常A解析

因测量值X为随机变量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,记I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3∉I.故选A.12345678910111213141516172.[探究点一]如图所示是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是(

)A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3D12345678910111213141516173.[探究点二]已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率约为(

)A.0.9545 B.0.0455C.0.9773 D.0.02275D解析

由题知对应的正态曲线的对称轴为直线x=0,12345678910111213141516174.[探究点二]已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m≤X≤104)≈0.1359,则m等于(

)A.100 B.101C.102 D.103C解析

∵随机变量X服从正态分布N(100,4),∴P(98≤X≤102)≈0.682

7,P(96≤X≤104)≈0.954

5,∴P(102≤X≤104)≈(0.954

5-0.682

7)=0.135

9.又P(m≤X≤104)≈0.135

9,∴m=102.12345678910111213141516175.[探究点二]已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.6827,则σ=

,P(|X-2|≤4)≈

.

20.8412345678910111213141516176.[探究点二]某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为

.

1012345678910111213141516177.[探究点一、二]已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.(1)写出此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式;(2)估计此地外来务工人员年均收入在8000~8500元的人数所占的百分比.1234567891011121314151617解

设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),结合题图可知,μ=8

000,σ=500.(1)此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式为(2)∵P(7

500≤X≤8

500)=P(8

000-500≤X≤8

000+500)≈0.682

7,∴P(8

000≤X≤8

500)=P(7

500≤X≤8

500)≈0.341

35=34.135%.故此地外来务工人员年均收入在8

000~8

500元的人数所占的百分比约为34.135%.12345678910111213141516178.[探究点二]在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现在已知该班同学中成绩在80~85分的有17人,则该班成绩在90分以上的同学约有多少人?

1234567891011121314151617解

∵成绩服从正态分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85.∴成绩在[75,85]内的同学约占全班同学的68.27%,成绩在[80,85]内的同学约占全班同学的34.135%.设该班有x名同学,则34.135%x=17,解得x≈50.∵μ-2σ=70,μ+2σ=90,∴成绩在[70,90]内的同学约占全班同学的95.45%,成绩在90分以上的同学约占全班同学的2.275%.50×2.275%≈1,故估计该班成绩在90分以上的同学有1人.1234567891011121314151617B级关键能力提升练9.若随机变量X的正态密度函数为,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为(

)A.p1>p2

B.p1<p2 C.p1=p2

D.不确定C解析

由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.123456789101112131415161710.已知随机变量X服从正态分布N(100,102),则下列选项不正确的是(

)A.E(X)=100 B.D(X)=100C.P(X≥90)≈0.84135 D.P(X≤120)≈0.99875D解析

∵随机变量X服从正态分布N(100,102),∴E(X)=μ=100,D(X)=σ2=102=100,故A,B正确;根据题意可得P(90≤X≤110)≈0.682

7,P(80≤X≤120)≈0.954

5,∴P(X≥90)≈0.5+×0.682

7=0.841

35,故C正确;P(X≤120)≈0.5+×0.954

5=0.977

25,故D错误.故选D.123456789101112131415161711.在某市高三质量检测考试中,学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9455人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第(

)A.1500名 B.1700名 C.4500名 D.8000名A123456789101112131415161712.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其正态曲线在(-∞,80]上单调递增,在[80,+∞)内单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.6827,则(

)A.μ=80B.σ=4C.P(X>64)≈0.97725D.P(64<X<72)≈0.1359ACD解析

因为正态曲线在(-∞,80]上单调递增,在[80,+∞)内单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80,故A正确;因为P(72≤X≤88)≈0.682

7,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7,可知σ=8,故B错误;因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈×(1-0.954

5)=×0.045

5=0.022

75,所以P(X>64)≈0.977

25,故C正确;因为P(X<72)=(1-P(72≤X≤88))≈×(1-0.682

7)=0.158

65,所以P(64<X<72)=P(X>64)-P(X>72)≈0.977

25-(1-0.158

65)=0.135

9,故D正确.1234567891011121314151617123456789101112131415161713.(多选题)下列说法正确的是(

)AB1234567891011121314151617解析

∵随机变量X服从二项分布B(6,),∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴正态曲线的对称轴是直线x=2,∵P(X≤4)=0.9,∴P(2≤X≤4)=0.4,∴P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.4,故B正确;已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,已知X是一个离散型随机变量,则E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故D错误.123456789101112131415161714.已知随机变量X的概率分布密度函数为,x∈R,则函数f(x)的极值点为

,X落在区间(2,3]上的概率约为

.

x=1

0.1359123456789101112131415161715.[2023广东佛山二模]某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则E(Y)=

.

1

解析

由题意,X~N(800,σ2),所以正态曲线关于直线X=800对称,所以P(X<800)=0.5.因为P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.由题意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.123456789101112131415161716.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;(2)如果钢管的直径X在60.6mm~69.4mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(精确到0.01)1234567891011121314151617解

(1)由题得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,∴P(X>71.6)==0.001

35,而73∈(μ+3σ,+∞),此事件为小概率事件,故该质检员的决定有道理.(2)因为μ=65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由题意可知钢管直径满足μ-2σ≤X≤μ+2σ为合格品,所以该批钢管为合格品的概率约为0.95,所以在60根钢管中,合格品约57根,次品约3根,任意挑选3根,则次品数Y的可能取值为0,1,2,3.12345678910111213141516171234567891011121314151617C级学科素养创新练17.某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分),经分析,全市学生体能测试成绩X服从正