新教材2023-2024学年高中数学第6章计数原理6.3二项式定理6.3.2二项式系数的性质课件新人教A版选择性必修第三册

第六章6.3.2二项式系数的性质基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.基础落实·必备知识全过关知识点

二项式系数的性质1.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即

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2.增减性与最大值3.各二项式系数的和

可化为(1+1)n进行公式的逆推名师点睛二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地,(a+b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数即对应的各二项式系数;(a-b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数的绝对值即对应的二项式系数.过关自诊1.二项式系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗?提示

不一定.如果项的系数中还有其他的常数,则该项的系数不一定最大.3.若(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=

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1804.[苏教版教材例题]证明:在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.重难探究·能力素养全提升探究点一求二项展开式中系数或二项式系数最大的项【例1】

已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.规律方法

求二项展开式中系数的最值的方法(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.(2)若二项展开式的系数为f(k)=mg(k)的形式.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数最大,应用

解出k,即得系数最大的项.变式训练1[2023山东烟台期中]已知(2x+1)n展开式的二项式系数和为a,(x+)展开式的奇数项的二项式系数和为b,且a-b=32,则在(x2-)n的展开式中,求解下列问题:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.探究点二二项式系数和问题【例2】

已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(3)a1+a3+a5.解

(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通项Tk+1=(-1)k·25-k·x5-k,知a1,a3,a5为负值,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.所以a1+a3+a5==-121.变式探究

在本例条件下,求下列各式的值:(1)a0+a2+a4;(2)a1+a2+a3+a4+a5;(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.解

(1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35.所以a0+a2+a4==122.(2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,所以a0=25=32.又因为a0+a1+a2+…+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(3)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.规律方法

二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.变式训练2[2023江苏苏州期中]在①只有第6项的二项式系数最大;②展开式的第5项与第7项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数之和为512这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且满足

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(2)求a1+2a2+…+nan的值.解

(1)选①:因为只有第6项的二项式系数最大,所以n=10.由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.当x=0时,解得a0=1;选③:因为奇数项的二项式系数之和为512,所以2n-1=512=29,解得n=10.由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.当x=0时,解得a0=1;(2)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,两边取导数,得10(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1,得a1+2a2+…+10a10=10.探究点三用二项式定理证明不等式【例3】

求证:2≤(1+)n<3(n∈N*).变式训练3求证:对于任意的正数n,不等式(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n成立.证明

由二项式定理,有故(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n.本节要点归纳1.知识清单:(1)杨辉三角;(2)二项式系数的增减性与最值;(3)二项展开式的系数和问题.2.方法归纳:赋值法.3.常见误区:(1)混淆系数与二项式系数的区别;(2)不能正确判断中间项的个数.成果验收·课堂达标检测12341.(x-)11的展开式中二项式系数最大的项是(

)A.第3项 B.第6项

C.第6,7项 D.第5,7项C12342.若x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a8的值为(

)A.10 B.45 C.-9 D.-