微积分同步辅导及考研指南

微积分同步辅导与考研指南由的图像做出下列函数的图像.由的图像做出下列函数的图像.若是以2为周期的周期函数，且在[-1,1]上有做出在内的图像.设是在实数集R上有意义的偶函数，且对任意的∈R，都有，求在上的表达式，并做出在R上的图像.习题1—5某运输公司规定货物的运输价格为：在a公里以内，每公里k元，超过a公里，超出部分每公里元，求运价和里程S之间的函数关系.拟建设一个容积为v的长方体水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价为四周单位面积造价的2倍.试将总造价表示成池底边长的函数，并确定其函数的定义域.解:设k为四周单位面积的造价，底面边长的，则容器的高为，则四周的总造价为，底面的总造价为，则容器的总造价为y,设一个矩形的面积为A，试将周长S表示成宽的函数，并求其定义域.在半径为r的球内嵌入一个圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定其函数的定义域.用铁皮做一个容积为V的圆柱形罐头桶，试将它的全面积表示成底面半径的函数，并确定此函数的定义域.按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2﹪，半年期存款的年利率是4.0﹪，每一笔存款到期后银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存入何种期限的存款能有较多的收益？多多少？某工厂生产某种产品，年产量为，每台售价为250元，当年产量为600台以内时，可以全部售完，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多本年就售不出去了，试建立本年的销售总收入R与产量的函数关系.解：①当产量在600台（含600台）以内时，销售收益为元；②当产量超过600台而小于800台时，销售收益为R=230+20×600=230+1200(元)③当产量超过800台时，销售收益为R=230×800+20×600=196000元习题1-6某厂生产录音机的成本为每台50元，预计当以每台元的价格卖出时.消费者每月(200-)台,请将该厂的月利润表达为价格的函数.解：销售收入为(200-),成本为50(200-)月利润为y=(200-)-50(200-)=(200-)(-50)元.当某商品价格为P时消费者对该商品的月需求量为D(P)=12000-200P.画出需求函数的图像.将月销售额（即消费者购买此商品的支出）表达为价格P的函数.画出月销售额的图像，并解释其经济意义.解:(1).需求函数D(P)=12000-200P,做出函数图像如右图.(2).R(P)=(12000-200P)P.(3)做出月销售额R(P)的函数图像，其意义是销售价格为P时月销售总金额.某报纸的发行量以一定速度增加，三个月前发行量为32000份，现在为44000份.PDPDO60两个月后的发行量是多少？解：(1).由题设知发行量每月按4000份的增速增加.因此发行量y与时间的函数关系为:y=44000+4000t,(2).当t=2时，得:y=52000(份),即两个月后发行量为52000份.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元.(1).要卖多少台厂家可以收回成本.(2).如果卖掉100台，厂家赢利或者亏损了多少？(3).要获得1250元利润，需要卖多少台？解：总利润=总收益—总成本（总成本=固定成本+可变成本）,所以L()=110-(7500+60)=50-7500.(1).要使厂家收回成本，利润不能为负数,，所以出售150台就可以收回成本.(2).L(100)=5000-7500=-2500(元),即卖出100台，该厂亏损2500元.(3).令50-7500=1250，解得：=175(台).即出售175台能获利1250元.有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择那一家俱乐部（根据健身次数决定）？解：若每月健身次数为，在第一家会费余额为（300-）元，在第二家会费余额为（200-2）元，，即若每月健身次数小于100时，则在第二家余额大于第一家，所以当次数少于100时选第二家俱乐部.设某商品的需求函数与供给函数分别是(1).找出均衡价格，并求出此时的供给量和需求量；D(p)S(p)D(p)S(p)pOS/D807010(3).何时供给曲线过p轴，这一点的经济意义是什么？（2）做出需求曲线和供给曲线如图.（3）当价格p=10时供给曲线过p轴经济学意义是：当价格低于10元时，供给商停止向市场供应商品.某化肥厂生产某产品1000吨，每一吨定价130元，销售在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过部分需要打9折出售，试将销售总收益和总销售量函数关系用数学表达式表出.解：设销售量为，总收益为R,某饭店有高级客房60套，目前租金每天每套200元，则基本客满，若提高租金，预计每套租金提高10元，均有一套客房空出来，试问租金定为多少时，饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店空出多少客房？解:设每间客房每天租金为元，总收入列表分析如下：租金总收入=200R=60×200=200+10R=(60-1)×(200+10)=200+20R=(60-2)×(200+20)=200+30R=(60-3)×(200+30)………… =200+10nR=(60-n)×(200+10n)=-10n2+400n+12000所以总收入R=-10n2+400n+12000,这是一个二次函数，二次项系数a=-10<0，得n=20时R最大，即价格定为400元时，收益最大，最大值是R=16000元，这时空房20套.总复习题一下列各对函数中哪些相同？哪些不同？解:第(1)、(2)组中两个函数是相同的；第(3)、(4)组中两个函数都是因为定义域不同，所以是不同的函数.下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？解：（1）和（2）是奇函数，（3）和（4）为非奇非偶函数.下列函数中哪些是周期函数？写出周期函数的周期.解：（3）不是周期函数，其它都是周期函数，并且周期都是π.指出下列函数的复合过程：求下列函数的定义域:解下列各题：设是R上的奇函数，..利用的图像做出下列函数的图像:(1);(2);(3).解:(1)将图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到的图像;(2)将图像上每一个点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍，即可得到的图像;(3)将的图像沿轴翻折得到的图像，再将的图像向上平行移动1个单位，即可得到的图像.收音机每台售价为90元，成本为60元，厂商为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低为75元；将每台的实际售价p表示为订购量的函数.将厂方获得的利润L表示为订购量的函数.某一个商行订购1000台，厂方可获多少利润？（价格降到75元时订购量不能超过1600台）,..一种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率的标准贬值，试求此车的价值y（元）与使用时间t（年）的函数关系.某大楼有50间办公室要出租，若定价每间每月租金120元则可全部租出，租出的办公室每月需要由房主负担维修费10元，若每月租金每提高5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室间数的函数关系，并确定每间每月租金多少时才能得到最大利润？这时利润是多少？解：租出的办公室间数和每间月租金列表如下：租出的办公室间数每间月租金5012050-1120+550-2120+2×550-3120+3×5……50-120+×5每印一本杂志的成本为1.22元，每售出一本杂志仅能得1.20元收入，但是销售额超过15000本时还能取得超过部分收入的作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？销售量达到多少时才能获得利润1000元？解：设销售量为，显然要想保本必须>15000,所以利润函数是:y=(1.20-1.22)×15000+(-15000)×10﹪=0.1-1800,令y=0得：=18000,即至少销售18000本才可以保本.令y=1000得0.1-1800=1000所以=28000,即销售28000本才可以获利1000元.考研真题精选:（90，01）设函数（B）A.偶函数B.无界函数C.周期函数 D.单调函数解：本题主要考察函数的四个基本性质.即单调性、奇偶性、周期性、有界性.由于（92,02）的定义域是（2000，数一）设函数.（04年）函数A.A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)极限与连续内容提要：数列的极限：数列极限的定义：收敛数列与发散数列、收敛数列的性质（极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列的保号性、收敛数列与其子数列的关系），数列极限的四则运算法则、夹逼定理、数列收敛定理（单调有界数列一定收敛）.函数的极限：自变量趋于有限值时函数的极限：..极限存在的充要条件：.自变量趋于无穷大时函数的极限：..函数极限的性质：函数极限的唯一性定理；函数极限的局部有界性定理；函数极限的局部保号性定理；函数极限的夹逼定理.无穷大和无穷小:无穷小的定义:此定义可简写为：.有极限的变量和无穷小的关系：时的无穷小量.无穷小具有的性质：有限个无穷小的和还是无穷小；无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小，常量与无穷小的积是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小.无穷大的定义:无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷小量，则为无穷大量.极限运算法则：.（复合函数求极限法则）：则有：.极限存在准则：（1）.极限存在准则：.准则2：单调有界数列一定有极限.(2).两个重要极限：(3).连续复利问题：设一笔贷款(称为本金)，年利率为r，则k年后本息和为（n为每年计息期数）如果每年计息期数也即是每时每刻都计算复利（称为连续复利），则k年后本息和为：.无穷小的比较：设α、β为在同一自变量变化过程中的无穷小，α≠0,常用的几个等价无穷小：函数的连续性：（1）.函数在一点处连续的定义：根据定义，在处连续必须满足下面三个条件：在处有定义，即有确定的函数值；在处的极限存在，即；.左连续、右连续的定义：如果满足:，那么称在处左连续（右连续）.在区间[a，b]上连续的定义：如果在(a，b)内每一点都连续，且在=a处右连续，在=b处左连续，那么称在[a，b]上连续.函数的间断点：的不连续点称为函数的间断点，在处有以下三种情况之一，为的间断点：间断点的分类：第一类间断点：为间断点，但是在处左、右极限都存在且相等的，这样的间断点称为第一类间断点.第一类间断点又分为可去间断点和不可去间断点.可去间断点里面有在处无定义，但是存在，这种间断点可以通过补充定义使其连续；另一种间断点是在处有定义，也存在但是，这种间断点可以通过改变函数值使其连续.不可去间断点是指左、右极限存在且不相等的情形，这种间断点又叫跳跃间断点.第二类间断点：震荡间断、无穷间断点都是属于第二类间断点.（2）.初等函数的连续性：函数的和、差、积、商的连续：设、在处连续，则.反函数的连续性：如果在处连续，则其反函数在处也连续.复合函数的连续性：

设函数.基本初等函数、初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内是连续的；初等函数在其定义区间内是连续的，这时我们强调：初等函数连续性不能说成在定义域内连续，只能说是在定义区间内处连续.举例说明如下：闭区间上连续函数的性质：最大值和最小值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；有界性定理：闭区间上的连续函数一定有界；零点存在定理：设在[a，b]上连续，且则在(a，b)内至少存在一点，使得.介值定理：设在[a，b]上连续，,无论C是取在A、B间的一个怎样的值，在(a，b)内至少存在一个点，使得.介值定理的推论：设在[a，b]上连续，M为在[a，b]上的最大值，m为在

[a，b]上的最小值，无论C是取在M、m间的一个怎样的值，在(a，b)内至少存在一个点，使得.典型例题解析：求下列数列的极限：求下列函数的极限：设a>0，b>0,且

.解：求，需要先求的表达式，再根据函数的连续性.,证明:本章习题全解习题2—1观察下列数列变化趋势.判断那些数列有极限，如果有极限，写出它们的极限:才能使与极限之差的绝对值小于0.0001？分别取怎样的N,才能使n>N时成立？并利用极限定义证明此数列极限为1.用极限定义考查下列结论是否正确，为什么？利用极限性质判别下列结论是否正确，为什么？利用数列的证明下列极限:.习题2—2用极限的定义证明：;利用极限定义证明:提示：因为→2,所以不妨设1<<2..证明yOyO.函数在=0处的左右极限是否存在？函数在=0处的极限是否存在？为什么？函数在=1处的极限是否存在？为什么？..习题2—3根据定义证明：.,为的无穷小.利用有界量乘以无穷小量依然是无穷小量求下列极限：.结合下图说明，习题2—4填空题：；.求下列极限：求下列极限：求下列极限：.习题2—5求下列极限：求下列极限利用极限存在准则证明：；某公司计划发行公司债券，规定以年利率6.5﹪的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少？，习题2—6当→0时，下列各个函数都是无穷小，试确定哪些是的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？证明当时有：利用等价无穷小的性质求下列极限:证明无穷小的等价关系具有下列性质:习题2—7研究下列函数的连续性，并画出函数的图像：解：函数在

而∴函数在处不连续，在处连续；∴函数图形在处连续..确定常数a，b使下列函数连续：下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类型，如果为可去间断点，则补充或者改变函数的定义使函数连续...求下列函数的极限：讨论函数的连续性，若有间断点判断其类型.习题2—8试证下列方程在指定区间内至少有一个实数根:设在区间[a，b]上连续，且，证明在(a，b)内必存在一点，使,其中m，n为自然数.设函数在区间[0，2a]上连续,且,证明在[0,a]上至少存在一点,使.一个登山运动员从早晨7:00开始攀登某座山峰，在下午7:00到达山顶，第二天早晨再从山顶沿着原路下山，下午7:00到达山脚，试利用介值定理说明，这个运动员必在这两天的某个相同时刻经过登山路线的同一地点.解:设每一天运动员从早上出发经小时时所走距离为，则是连续函数.根据介值定理推论.第一天上山，第二天下山：，两式相加，从运动员上山到运动员下山在下午13:00时经过同一地点，这一点就是到水平面距离为最高处一半的点处.总复习题在“充分”，“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填在下列空白内：(1)数列有界是数列收敛的必要条件，数列收敛是数列有界的充分条件.(2)在处的某一去心邻域内有界是存在的必要条件，存在是在的某一邻域内有界的充分条件.(3)在处的某一去心邻域内无界是的必要条件，是在的某一去心邻域内无界的充分条件.(4)时的右极限以及左极限都存在且相等是存在的充分必要条件.求下列极限：确定下列各式中a,b的值:p、q取得何值为无穷小量？p、q取得何值为无穷大量？当时，下列无穷小与相比是什么阶无穷小？利用夹逼定理证明：.利用单调有界必有极限准则证明下列数列的极限存在，并求极限：求下列函数的间断点并确定所属类型，如果是可去间断点则补充定义使其连续.讨论下列函数的连续性，若存在间断点判断其类型：证明：若和都在[a，b]上连续，且,则存在点.一片森林现有木材a,若以年增长率1.2％均匀增长.问t年时，这片森林木材有多少？国家向某企业投资2万元，这家企业将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品80％的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品价格的80％的贷款，该企业又将新贷款再投资…，这样贷款—投资—再贷款—再投资，如此反复扩大投资.问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？解：国家投资=20000元.第一次贷款=20000×0.8=16000元.第二次贷款=20000×0.8第三次贷款=20000×0.8……第n次贷款=20000×0.8n次共有资金如此无限扩大下去，利用资金总额即实际相当于国家投资10万元考研真题精选求极限问题：（90.数四，3分）求极限.（91.数四，5分）求极限（92.数四，5分）.（94.数四，5分）.（2000.数四，3分）若a>0,b>0均为常数，则.（2003.数四，4分）.（2003.数四，8分）.（2005.数四，8分）.（2005.数四，8分）.（2008.数四，10分）..结论：通过以上10个题目，我们可以看出考研题目中求极限的问题，经常利用罗比达法则和等价无穷小的关系，特别是等价无穷小的几个等价式子要熟记.在利用等价无穷小的关系式时，乘积和商的形式才可以用，和与差的式子不能使用.有关函数的连续性以及间断点问题：（1987.数四，2分）下列函数在其定义域内连续的是（A）（98.数四，3分）(04.数四，4分)

（2008.数四,4分）.导数、微分、边际与弹性内容提要：导数概念：函数在一点处的导数的定义：存在则称此极限为在处的导数，记为；即：.单侧导数：函数在处可导的充要条件是：在处的左、右导数存在且相等.函数在区间（a,b）内可导的定义：如果在区间（a,b）内每一点处都可导，称在区间（a,b）内可导.如果在区间（a,b）内每一点处都可导，且在处右可导，在处左可导，就称在区间[a,b]上可导.函数的可导性与连续性之间的关系：如果函数在处可导，则在处一定连续，其逆命题不真.所以函数连续是可导的必要不充分条件.求导法则与基本初等函数的求导公式：求导法则：可导函数的和、差、积、商仍为可导函数.：...反函数求导法则：如果单调可导，且，则他的反函数在对应区间内可导，并有:.也就是说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.复合函数的求导法则：若函数可导，函数在处可导，则复合函数在处可导且，简写为：.简言之，复合函数的导数等于外函数的导数与内函数的导数的积，这个法则也叫做链式法则.基本初等函数的求导公式：这里不在一一写出基本初等函数的导数公式，但是要求熟练掌握并灵活应用.导数的几何意义：函数在在几何上表示曲线在点处的切线的斜率.高阶导数：一阶导数：;二阶导数：如果叫…………n阶导数：如果的(n-1)阶导数仍然可导，则(n-1)阶导数的导数叫隐函数以及由参数方程所确定的函数的导数：隐函数的导数：在多元函数的微分中要介绍，这里不再复习.由参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数：.函数的微分：(1).函数，其中A是不依赖于的常数，的高阶无穷小，称(2).可导与可微之间的关系：函数在处可微的充要条件是在处可导.(3).函数在处微分的几何意义：表示曲线在处当自变量取得改变量时图像上的点的纵坐标的改变量，而函数的微分在几何上表示曲线在处的切线上点的纵坐标的改变量.(4).基本初等函数的微分公式以及微分法则：(5).复合函数的微分法：设，则:

.边际与弹性：边际：边际函数的定义：设在处可导，则称为的边际函数，在处的值叫边际函数值，即当时，改变一个单位，改变个单位.有了边际函数的定义，在经济学中常见的边际函数就好理解了.边际成本：C=C(Q)为成本函数，叫边际成本函数，当时叫做边际成本值，即当Q在处改变一个单位时，总成本改变了个单位.边际平均成本.边际收益：设函数为总收益函数，,由于R(Q)=PQ,,叫总收益函数在处的边际收益值，即当Q在处改变一个单位时，总收益改变了个单位.边际利润：叫边际利润函数，即,叫总利润函数在处的边际利润值，即当Q在处改变一个单位时，总利润改变了个单位.边际需求：叫边际需求函数，即.即当P在处改变一个单位时，需求量改变个单位.弹性：弹性函数的定义：设函数在处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，称为函数从两点间的平均相对变化率，或称为两点间的弹性，当时，的极限为处的相对变化率，也就是相对导数或称弹性，记为或，即.对一般的，如果可导，且,则有:

是的函数，称为的弹性函数(简称弹性)表示在处,当产生1％的改变时,近似的改变％(应用中略去近似二字).经济学中常见的弹性函数：需求的价格弹性：设需求函数是Q=Q(p)表示当p在处产生1％的改变时，需求量改变了％％,需求弹性总用正值表示，所以要加绝对值符号称为.几种特殊的价格弹性：η=0，这是完全没有弹性的商品，其需求量不发生变化.η为无穷大，表明商品在一定条件下有多少可以卖掉多少，然而当价格稍微提高一点，就可能一个也卖不出去.η<1，表示是缺乏弹性的商品，即需求量变化的幅度小于价格变化的幅度；如某商品的价格在处上涨（下跌）1％，需求量减少（增加）的百分数小于1％.η>1，表示是富有弹性的商品，即需求量变化的幅度大于价格变化的幅度；如某商品的价格在处上涨（下跌）1％，需求量减少（增加）的百分数大于1％.η=1，表示是单位弹性商品，即价格变化幅度等于需求的变化幅度.需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系：设总收益函数R=PQ=Pf(P)边际总收益：.下面对上式进行分析：当η<1时，需求量变化的幅度小于价格变化的幅度；此时>0,R增加.即价格上涨（下跌），总收益增加（减少）.当η>1时，需求量变化的幅度大于价格变化的幅度；此时<0,R减少，即价格上涨（下跌）总收益减少（增加）.当η=1时，需求量变化幅度等于价格的变化幅度，此时=0,R取得最大值.这个分析可以用下图表示：ηη=1η<1η>1ηoR供给弹性：设供给函数，为供给弹性.收益弹性：设总收益函数R=R(p)，为收益弹性.典型例子解析：利用定义求下列函数的导数：判定在=0处是否可导.解：求出函数在=0处的左右导数，进行比较即可.设求a,b使得在=0,=1处可导.解:根据函数可导与连续间的关系来确定a，b的值，由于在=0处可导，可导必然连续、连续一定极限存在.设解：利用导数定义以及等价无穷小的关系可以求得，不过需要对原式极限先进行变形，再用导数定义.求下列函数的导数：.再利用复合函数的求导法则求导，设是由函数方程求以及在(0,0)处的法线方程以及切线方程.解：所给方程为隐式方程，求需要先对方程两边求导数，方程两边求导数得：计算由参数方程所确定的函数的一阶导数和二阶导数.解：两个方程对t分别求导：设是由函数方程解:求微分，我们先求,方程两边同时对求导：.某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，已知总收益R是年产量Q的函数：问年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？解：求利润函数需要有总收益、总成本函数，这里R(Q)已知，总成本函数C=C(Q)=20000+100Q,从而利润函数是:即当年产量是300单位时总利润最大，最大利润是25000元.设某商品需求函数为，求:（1）需求弹性函数；（2）当p=6,12,24时的需求弹性，并说明其经济意义.从经济意义上讲：当在p=6处价格上涨（下跌）1％，需求量减少（增加）0.5％；p=12处价格上涨（下跌）1％，需求量减少（增加）1％，当在p=24处价格上涨（下跌）1％，需求量减少（增加）2％.设某商品的需求函数为,(1)求需求弹性函数；（2）求p=6时的需求弹性，说明其经济意义；（3）在p=6时若价格上涨1％，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？其经济意义是：当价格在p=6处上涨(下降)1％，需求量将减少（增加）0.33％.这种商品缺乏弹性，因此当P=6时价格上涨1％，总收益增加0.33％.某商品的需求函数为,当P=4时的边际需求，并说明其经济意义.当p=4时的需求弹性，并说明其经济意义.当p=4时若价格P上涨1％，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？当p=6时若价格P上涨1％，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？当P为何值时，总收益最大？,其经济意义是：当价格从p=4上涨(或下跌)1个单位，需求减少(或增加)8个单位.,其经济意义是：当价格从p=4上涨（下降）1％，需求减少（增加）0.54％.,当价格从p=4上涨1％，总收益增加0.46％.，其经济意义：当p从p=6上涨（下降）1％，需求减少（增加）1.8％.经济意义是：当价格p从p=6上涨1％，总收益减少0.85％.本章习题全解：习题3—1现有一根细棒位于轴的闭区间[0,2]处，对于棒上任意一点，细棒分布在[0,]上的质量为m(),用导数表示在点处的线密度（对均匀棒，单位长度的质量叫该棒的线密度）.解：①让在处取得增量，从而质量的增量为Δm=m-m.②平均质量.③在处的质量的变化率.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间t的关系为T=f(t),用导数确定该物体在时刻t时冷却速度.解：①温度变化的增量.②平均变化速度.③温度的瞬时变化速度就是物体在时刻t的冷却速度.质量为1g的某种金属从加热到T所吸收的热量为Q=f(T),它从T升温到

(T+ΔT)所需的热量为ΔQ，称为这种金属从T升温到(T+ΔT)的平均比热，用导数表示该金属在T时的比热.设，试按定义求下列各题中均假定存在，按照导数定义求下列极限，指出A表示什么？答：全部正确.求下列函数的导数：设函数可导.且..如果为偶函数，且存在，证明=0.求曲线y=sin上点处切线方程和法线方程.求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线相切.解：设切点坐标是，切线方程是，解之得：.所以所求直线方程为：.讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性.设函数已知处连续，且.设函数解：根据连续性：设，其中在处连续，求.证明：双曲线上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于.习题3—2推导余切函数以及余割函数的导数公式：求下列函数的导数：求下列函数在给定点处的导数：求曲线的切线方程，使该切线平行于直线.求下列函数的导数：求下列函数的导数：求下列函数的导数：设函数可导，且，试求函数的导数.设是可导函数，>0,求下列导数：求下列函数的导数：习题3—3求下列函数的二阶导数：求下列函数的导数值：试从.设f(u)二阶可导，求.验证函数满足关系式：.验证函数满足关系式：.求下列函数的n阶导数：求下列函数所指定阶的导数.；习题3—4求由下列方程所确定的隐函数y的导数.；求由方程所确定的隐函数y在=0处的导数.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数.用对数求导法求下列函数的导数：写出下列曲线在所给参数值对应的点处的切线方程和法线方程：在t=0处；求下列参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数：习题3—5设函数，计算分别等于-0.1，0.01时的增量及微分.设函数的图形如下,试在下面右边(a),(b),(c),(d)四个图形中分别标出在处的、以及-，并说明正负.(a)图中>0,>0,->0；(b)图中>0,>0,-<0；(c)图中<0,<0,-<0；(d)图中<0,<0,->0.yyOyOyyOOΔy-dyΔyΔyΔyΔydydydydyΔy-dyΔy-dyΔy-dy(a)(b)(c)(d)求下列函数的微分dy：将适当的函数填入下列括号内，使等式成立:(1).d（）=3d;(2).d（）=5d(3).d（）=sin2d;(3).d（）=d(5).d（）=;(6).d（）=.(7).d（）=;(8).d()=.用微分法求方程+y=arctan(-y)确定的函数的微分与导数.解：方程两边对求导数：用微分法求参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数.利用微分求近似值:当||很小时，证明下列近似公式：设扇形的圆心角，半径R=100cm,如果R不变，α减少，问扇形面积大约改变多少？如果α不变，R增加1cm，问扇形面积大约改变多少？解：扇形面积公式,一个正方体棱长=10m，如果棱长增加0.1m，求此正方体体积增加的精确值和近似值.解：正方体体积增加的精确值增加的近似值习题3—6求下列函数的边际函数与弹性函数：设某商品的总收益R关于销售量Q的函数为,求：销售量为Q时总收入的边际收入；销售量Q=50个时总收入的边际收入；销售量Q=100个时总收入对Q的弹性.解：（1）;（2）；（3）某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C(单位：元)是每日产量的函数

求当日产量为100吨时的边际成本；求当日产量为100吨时的平均单位成本.某商品的价格P关于需求量Q的函数为,求：总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；当Q=20个单位时的总收益、平均收益和边际收益.某厂生产Q单位(单位：百件)产品的总成本C(单位：千元)是产量的函数,如果每百件产品销售价格为4万元，试写出利润函数以及边际利润为零时的每周产量.解：总利润函数,,

令.即边际利润为零时的每周产量是1400件设巧克力糖每周的需求量Q(单位：kg)是价格P(单位：元)的函数,求当P=10元时，巧克力糖边际需求量并说明经济意义.证明：若都可导，则：设某商品的需求函数,求：需求弹性函数P=3,5,6时的需求弹性，并说明其经济意义.其经济意义：当价格从P=3上涨（下跌）1％时，需求量减少（增加）0.6％.其经济意义：当价格从P=5上涨（下跌）1％时，需求量减少（增加）1％.其经济意义：当价格从P=6上涨（下跌）1％时，需求量减少（增加）1.2％.设某商品的需求函数Q=100-5P,其中Q,P分别表示需求量和价格.试分别求出需求弹性大于1，等于1的商品价格的取值范围.某商品需求函数为,求需求弹性函数；求P=6时的需求弹性；在P=6时若价格上涨1％，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？即当价格从P=6上涨1％，总收益是增加0.67％.设某商品的供给函数Q=4+5P，求供给弹性函数以及P=2时的供给弹性.设某商品的需求函数Q=Q(P),收益函数R=PQ,其中P为商品价格，Q为需求量(产量)，Q(P)为单调减少函数，如果当价格为对应产量为时，边际收益，收益对价格的边际收益为,需求对价格的弹性为，求和.某企业生产一种商品，年需求量是价格P的线性函数.其中a,b均为正数，试求：需求弹性；需求弹性等于1时的价格.总复习题三在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格中：在处可导是在处连续的充分条件，在处连续是在处可导的必要条件.在处的左导数以及右导数都存在且相等是在处可导的

充分必要条件.在处可导是在处可微的充分必要条件.设可导且下列各个极限均存在，则（A,C,D）成立.设,求：确定a,b的值，使得在处可导.设函数在=0处可导，且，又对任意有,求.求下列函数的，判断是否存在.当λ为何值时.可使函数在处(1)连续但不可导.(2)既连续又可导.求下列函数的导数和微分：设确定函数，已知求.解：方程两边同时对求导：解：方程两边同时对求导：求下列函数的二阶导数:求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数以及二阶导数.求曲线上一点坐标，使在该点处的曲线的切线平行于直线.求下列函数的n阶导数:利用函数的微分代替函数的增量求的近似值.设某商品的成本函数和收入函数分别是，其中表示产品的产量，求：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数；在生产并销售25单位产品，第26个单位产品会有多少利润？某商品的需求量Q是价格P的函数,求：当P=6的边际需求，并说明其经济意义；当P=6的需求弹性，并说明其经济意义；当P=6时，若价格下降2％，总收益变化百分之几？是增加还是减少？其经济意义：当价格从P=6上涨(或下跌)1％，需求量减少(或增加)1.85％.由于，商品时富有弹性商品，价格下降，总收益增加.若从P=6下降2％，总收益增加1.692％.考研真题精选(92.数四，3分)设(93,数四，3分)已知.（94，3分）设方程确定y是的函数，则.解：方程两边同时求导，得：(94,数四，7分)设函数,证明：.(96,数四，3分)设方程确定的函数，则.解：方程两边同时取对数：(97,数四,3分)设.(2003,数四,4分)设函数（A）A．充分必要条件；B．必要但不充分条件；C．充分但不必要条件；D．既不充分也不必要条件.(2003,数四,4分)已知曲线则表示为.解：由题意知：曲线在轴的切点处的切线斜率为0，，(2004,数三,四)（D）A.至少存在一点.B.至少存在一点.D.至少存在一点.D.至少存在一点.解：（A）对的理由：由题意可知，由极限的保号性知，在a的某一个右邻域内的任意点（B）正确的理由与（A）类似；（C）对的理由：将看成在[a,b]内的连续函数，则由零点定理，故选(D).（2004,数四,4分）设.(2005,数四，4分)当a取下列哪个值时，函数恰有两个零点(B).(A).2,(B).4,(C).6(D).8(2006,数三,四,4分)设函数（C）(2008,数四,4分)已知函数点处的切线方程为.(92,数四,3分)设某商品的需求函数为,其中P、Q分别表示价格和需求量，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是（10，20）.解:由得：P>10，由需求函数>0得：10<P<20，故应该填（10,20）.(95,数四，6分)设某产品的需求函数为Q=Q(P),收益函数R=PQ，其中P、Q为价格和需求量（产量），Q(P)为单调减少函数，如果当价格为,对应产量为时，边际收益，收益对价格的边际效应，需求对价格的弹性.解:由收益函数R=PQ对Q求导有：(2002,数四,7分)设某商品需求量Q是价格P的单调减少函数:Q=Q(P),其需求弹性设R为总收益函数，证明;求P=6时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.解：（1）R(P)=PQ(P),两边对P求导得：其经济意义：当价格P从P=6上涨1﹪，总收益增加0.54﹪.(2004,数四，9分)设某商品的需求函数Q=100-5P，其中价格Q为需求量.(1).求需求量对价格的弹性；(2).推导，降价反而会使收益增加.解:综合选出的题目看出：考生在复习中要把边际与弹性在经济中的应用作为重点进行复习.中值定理及导数的应用内容提要：中值定理：罗尔中值定理：设在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，则在(a,b)内至少存在一点，使.罗尔中值定理的几何意义:如果曲线弧的方程是，除端点A、B外处处具有不垂直于轴的切线，且两个端点A和B处的纵坐标相等，那么曲线弧上至少存在一点C，在该点处曲线的切线平行于轴，如下图（1）.对罗尔中值定理的条件作如下说明：定理的条件缺一不可；定理的条件是充分但不必要条件.拉格朗日中值定理：设在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使这个式子也叫拉格朗日中值公式.拉格朗日中值公式的另外两种形式：由于a<<b,0<-b<b-a,,

;有限增值公式:设使得：或者.拉格朗日中值定理的几何意义:如果曲线弧的方程是，除端点A、B外处处具有不垂直于轴的切线，那么曲线弧上至少存在一点C，在该点处曲线的切线平行于弦AB，如下图（2）.ooyABCAByOC图（1）图（2）abab对拉格朗日中值定理的条件作如下说明：定理的条件缺一不可；定理的条件是充分但不必要条件.讨论：证明拉格朗日中值定理充分条件时所引进的辅助函数：(1).一般讲，常用的辅助函数为满足罗尔中值定理的三个条件，这里从几何上讲，这个辅助函数就是弦AB上对应横坐标为的点N和曲线弧上对应横坐标为的点M两点所成的有向线段的数量，如下图(3).(2).如果将曲线弧向下平移，使得点与A’重合,(3).可从要证的式子AAB’yO图（4）abMNf(b)-f(a)M’N’AByOC图（3）abMNf(b)-f(a)A’B柯西中值定理：注意：柯西中值定理中曲线弧是由参数方程给出，证明中引入的辅助函数为:

ABABYOC图（5）f()f(b)f(a)罗比达法则：设（1）（2）在a的某邻域，（3），则这里取极限的条件是相同的，可以是等，这就是也可以是.注意：（1）利用罗比达法则，就是解决未定式的极限；（2）在利用罗比达法则求极限时，特别要注意商的分子、分母必须满足定理中的三个条件；（3）另外有导数的应用：（1）.函数单调性的判定：（2）函数的极值：极值存在的必要条件：设判定极值的充分条件：利用一阶导数的符号来判定为第一充分条件；利用二阶导数的符号来判定为第二充分条件.（3）曲线的凹凸与拐点：设函数在区间I内具有二阶导数，如果在I内，那么曲线在I内是凹弧；如果在I内，那么曲线在I内是凸弧.拐点：连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为拐点.注意：拐点的定义中，曲线弧是连续的，“连续”二字不能丢.（4）函数图像的描绘：会判定函数的单调性，会求函数的极值，会判定函数的凹凸及会求函数的拐点，这样就可以描绘函数的图形，另外还要会确定函数的渐近线.函数的最值的求法：我们知道闭区间上连续函数一定有最大值和最小值，如果要求最值，先求函数在闭区间上的一切驻点，再求函数在驻点、一阶导数不存在的点、两个端点处的函数值，然后将这些值进行比较，哪个最大那个就是最大值，哪个最小那个就是最小值.如果闭区间上的连续函数在区间内有唯一驻点，可以肯定这个驻点一定是最值点.导数在经济学中的应用：在经济学中我们可以求最大销售量、最大收益、最大利润、最大税收以及经济批量等问题.泰勒公式：要求学生了解泰勒公式的内涵即可.泰勒中值定理：如果函数的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，则当在(a,b)内时，这里式子叫泰勒公式.有了泰勒公式我们就可以把一些较为复杂的函数转化成多项式函数进行研究，把问题简单化.典型例子解析:列举一个函数满足在[a,b]上连续，在(a,b)内除一点外处处可导，但在(a,b)内不存在，使

验证函数上满足罗尔定理的条件，并求相应的中间值.解：初等函数上连续、可导，

，由此可知上满足罗尔定理的条件,若方程证明方程：

必有一个小于的正根.证明方程只有一个根.设在[0,a]上连续，(0,a)内可导，且,证明存在一点，使：在区间[a,b]上对二次多项式，验证拉格朗日中值定理的正确性，并求出中值公式中的，最后做出几何解释.解：因为是多项式函数，所以在[a,b]上连续，(a,b)内可导，在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，.几何解释：设[a,b]上的二次抛物线为，它在区间[a,b]中点处的切线平行于连接曲线两端点的弦.设，证明在(a,b)内至少存在一点，使得：证明：在[a,b]上考虑函数：由拉格朗日中值定理，，使得，于是得到：设.，有由于因而单调减少，由于设函数在[a,b]上连续，

对函数求下列极限：验证极限存在，但是不能由罗比达法则得出，为什么？讨论函数在处的连续性.关于函数的单调性、极值、凹凸性及拐点，还可以通过作图来掌握.作出函数的图像.解:（1）函数的定义域为，所以具有水平渐近线铅直渐近线.（2），令不存在的点；（3）用将定义域分割为几个区间

(-1,1),.（4）列表在各个区间上讨论函数的单调性、极值、曲线的凹凸性及拐点如下：(-∞,-2)-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)↘凸拐点↘凹极小值↗凹不存在↘凹———0+不存在——0+++不存在+（5）函数和两个坐标轴的交点是原点(0,0).Oy1Oy1设生产某产品每日固定成本为10000元，可变成本与产品的产量(单位：吨)的立方成正比，又知当日产量为20吨，总成本为10040元，问日产量是多少吨时，才能使每吨成本最低？解：依题意总成本函数得：，于是，平均成本，，由题意函数一定有最小值，所以该点一定是最小值点，即日产量为100吨时，每吨成本最低.某厂试制一种电冰箱，总成本函数为(单位：百元),已知需求函数为(p为每台电冰箱的价格，单位：百元).问生产多少台时利润最大？此时每台电冰箱的价格是多少？解：由需求函数得：，由于为唯一极值点，根据题意函数一定有最大值。所以这个极值点一定是最大值点，即产量近似为30台时利润最大，此时价格.所以生产30台时，利润最大，此时每台价格为1500元.本章习题全解习题4—1验证下列各题，确定的值：对函数.对函数对函数.证明下列不等式：（1）当a>b>0时，.（2）当a>b>0时，.（1）当a>b>0时，.（2）当a>b>0时，.（3）（4）当..证明恒等式.证明方程有且仅有一个正实根.不求出函数的导数，判断方程的实数根的个数.解：依题意方程有四个根，而函数在R上连续、可导，所以一定有三个极值点，即有三个根，函数也是多项式函数，在R内连续可导，其图像和轴有三个交点，一定有两个极值点，也就是有两个根.若函数在内满足关系式.习题4—2用罗比达法则求下列各极限：验证极限存在但不能用罗比达法则求出.习题4—3确定下列函数的单调区间：内列表讨论函数的单调性：(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)+——0+y↗极大值17↘极小值-101↗所以函数的单调增加区间为(-∞,-1)、(3,+∞)，单调减少区间为(-1,3).列表表示函数的单调区间：(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)+0—0+↗极大值↘极小值0↗函数单调增加区间是(-∞,-2)、(0,+∞)，单调减少区间是(-2,0).列表讨论如下：1(1,+∞)+0—0+↗极大值↘极小值↗∴、(1,+∞)为函数的单调增加区间，为函数单调减少区间.∴为函数的单调增加区间，

（k∈Z）为函数单调减少区间.证明下列不等式：讨论下列方程根的情况：求下列函数的极值：1—0+↘极小值y=4↗即.(也可以利用)注：（1）在求函数极值时，首先考虑用第二充分条件（即使用二阶导数的符号）来判断，若，再考虑用第一充分条件（即一阶导数的符号）来判断，这样可能简便一些；（2）在讨论函数的极值时，不要忘记讨论一阶导数不存在的点.求下列曲线的凹凸区间和拐点：2—0+凸拐点(2,-10)凹2—0+凸拐点凹-1(-1,1)1—0+0—凸拐点凹拐点凸注：有的教材称函数的凹凸，有的教材函数图像的凹凸，这两种叫法都可以.利用函数图形的凹凸性证明下列不等式：解下列各题：描绘下列函数图像：-2(-2,-1)-1(-1,1)1—0++0+++0—0+↘凹极小值y=-24↗凹拐点

(-1,-13)↘凸拐点

(1,3)↗凹无水平、铅直、斜渐近线.画出函数图像如右图1：(-∞,)-101——0++0———0++0——0+↘凸拐点

↘凹极小值

↗凹拐点↗凸极大值

↘凸拐点

↘凹描出函数图像如图2：-1++0——+0——0+↗凹拐点

↗凸极大值

↘凸拐点↘凹描出函数图像如图3-10———0++0—++↘凹拐点(-1,0)↘凸↘凹极小值

↗凹描出函数图像如上图4：注：在求函数的单调区间、极值、函数的凹凸、拐点及函数图形的渐近线时，只要认真地描绘一两个函数的图像，问题就可以解决，这样可以节省很多时间.习题4—4求下列函数的最大值和最小值：讨论下列函数的最大值、最小值：求下列经济问题中的最大值和最小值：（1）假设某种商品的需求量Q是单价P的函数Q=12000-80P,商品的总成本C是需求量的函数C=25000+50Q,每单位商品需纳税2，试求使销售利润最大的商品价格及最大利润.解:总收入函数成本函数C(P)=25000+50(12000-80P),纳税:T(P)=2Q=24000-160P（2）设价格函数;（3）某工厂生产某种商品，其中销售量为100万件，分N批生产，每一批生产需要增加准备费1000元，而每件商品的一年库存量为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后立即生产出下一批（此时商品库存量的平均值是商品批量的一半），问N为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？（4）设某企业在生产一种产品件时的总收益总成本函数：，问政府对每件商品征收税费为多少时在企业获取最大利润情况下，总税额最大？解:（1）设每件产品征收税费t个货币单位，总税费为（2）取得最大利润时的税收：（5）设生产某商品的总成本为，问产量为多少时每件产品的平均成本最低？注：在应用问题中，求函数的最值，如果函数在定义区间内有唯一的驻点，且根据实际意义函数最值一定存在，可以肯定驻点一定是极值点、也可以肯定极值点一定为所求的最值点.习题4—5按照的乘幂展开多项式：应用麦克劳林公式按照的幂展开函数：.解：求函数的二阶麦克劳林公式.求函数的n阶麦克劳林公式.应用三阶泰勒公式计算下列各函数的近似值，并估计误差：总复习题四求下列极限：证明下列不等式：讨论下列方程的根：用中值定理证明下列各题：求下列函数的极值和最值：写出处的n阶泰勒公式（n>3）.其中求下列经济应用问题的最大值、最小值：（1）某商场一年内要分批