2023高一数学暑假精讲精练2.3二次函数与一元二次方程不等式新人教A版

2．3二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅知识点四解一元二次不等式①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；③有根求根；④根据图象写出不等式的解集.知识点五解分式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)eq\f(fx,gx)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0；))(3)eq\f(fx,gx)≥a⇔eq\f(fx－agx,gx)≥0.知识点六一元二次不等式恒成立问题恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.题型一、解不含参数的一元二次不等式1．解不等式：=1\*GB2⑴.=2\*GB2⑵.=3\*GB2⑶.=4\*GB2⑷.=5\*GB2⑸=6\*GB2⑹；=7\*GB2⑺.【详解】=1\*GB2⑴所以，即解集为.=2\*GB2⑵等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；=3\*GB2⑶，，，所以原不等式的解集为.=4\*GB2⑷设函数，令，则，即函数的图象与x轴无公共点，又二次函数图象开口向下，不等式恒成立，所以不等式的解集是：R.=5\*GB2⑸因为，所以的解集为.=6\*GB2⑹，可得，∴不等式解集为.=7\*GB2⑺原不等式造价变形为，即，设函数，则函数的图象与x轴交点的横坐标为或，又二次函数图象开口向上，由得：得或，所以不等式的解集是：.2．解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)或；(2)【详解】(1)因为，所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.所以原不等式的解集为或.(2)因为，所以方程有两个相等实根x1＝x2＝所以原不等式的解集为.3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，即，解得，即，又，所以；故选：C题型二、解含有参数的一元二次不等式1．解关于的不等式：【详解】方程的解为，，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.2．解关于的不等式：.【详解】①当时，原不等式可化为：,可得不等式的解集为，②当时，原不等式可化为：，不等式的解集为：；③当时，原不等式可化为：,当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为:.3．解下列关于x的不等式(1)；(2)；(3)；【详解】(1)因为，即，所以，解得∴原不等式的解集为.(2)因为，若，即，解得或，当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；当，即，解得时，所以原不等式的解集为；当，即，解得或时，方程有两不相等实数根、，由，解得或，所以原不等式的解集为；(3)因为，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．题型三、由一元二次不等式的解确定参数1．不等式的解集为，则__________．【答案】【详解】由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且，所以，，解得.故答案为：.2．已知函数，的解集为或，(1)求a､b的值；(2)若对一切，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【详解】(1)∵的解集为或∴-2，b为方程的两个根∴，解得(2)由（1）可知，∴不等式在R上恒成立，等价于在R上恒成立，即，∴∴m的取值范围为3．已知不等式的解集为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由不等式的解集知：和是方程的两根，.故选：A.题型四、一元二次方程根的分布问题1．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______【答案】【详解】的两个根都大于，解得可求得实数的取值范围为故答案为：2．若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________.【答案】【详解】首先，设方程的两根为，则，所以，又，解得．故答案为：．题型五、一元二次不等式与二次函数的关系1．当时，请填下表：判别式方程的根二次函数的图象二次函数的零点【详解】判别式方程的根2个不等实根两个相等实根无实根二次函数的图象与x轴有两个交点与x轴有一个交点与x轴无交点二次函数的零点2个零点1个零点无零点2．二次函数（）的部分对应值如下表：则关于的不等式的解集为______.【答案】（或）【详解】代入，可得，再代入和，可得，得，所以，解得.故答案为：或3．已知，设集合，若，求的取值范围.【答案】.【详解】因为，所以不等式有解；即有解，当时，不成立，所以不符合题意；当时，，解集为，不符合题意；当即或时，有解，符合题意；当时，若不等式有解，则，解得：或，综上所述：的取值范围为.题型六、解分式不等式1．（1）.(2).(3)．(4).【详解】（1）原不等式化为：方程的2个解为，根据函数的图像，可知：原不等式解集为.（2）由得，∴，解得，故不等式的解集为.(3)依题意：,,,,解集为.(4)原不等式可变形为，即，设函数，由得或，即函数的图象与x轴交点的横坐标为或，又二次函数图象开口向上，由，且得：，所以不等式的解集是：.2．解不等式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)或；(2)；(3).【详解】(1)由，可得，∴，解得或，所以原不等式的解集为或.(2)由可得，，∴，解得，所以原不等式的解集为.(3)，原不等式化为：，解得：，所以的解集是.3．解不等式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【详解】(1)由可得，即，解得，所以不等式的解集为。(2)由，可得，即，解得或所以的解集为。题型七、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【详解】当时，恒成立，符合题意；当时，由题意有，解得，综上，.故选：B.2．（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】因为为真命题，所以或，所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，所以是命题“”为真命题充要条件，B错，所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，故选：AC3．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题，一元二次不等式对一切实数恒成立则，即，解得故选：B题型八、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题1．已知函数．(1)若不等式的解集是实数集，求的取值范围；(2)若不等式的解集是实数集，求的取值范围；(3)时，，求的取值集合．【详解】(1)因为不等式的解集是实数集，所以，对恒成立，当a=0时，，不成立，当时，，解得．综上：的取值范围是．(2)因为不等式的解集是实数集，所以不等式对恒成立当a=0时，，不成立，当时，，解得．综上：的取值范围是．(3)因为时，，则即解得．若，时，恒成立，符合要求．所以的取值集合是．2．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.3．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C题型九、一元二次不等式在某区间上有解问题1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，，，即，故问题转化为在上有解，设，则，，对于，当且仅当时取等号，则，故，故选：A2．关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．【答案】【详解】在内有解，，其中；设，则当时，，，解得：，的取值范围为.故答案为：.3．设二次函数．（1）若方程有实根，则实数的取值范围是______；（2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______；（3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______．【答案】

或.

【详解】对于（1），因为方程有实根，故，解得或.对于（2），因为不等式的解集为，故，解得.对于（3），不等式的解集为R，故，故.题型十、一元二次不等式的应用1．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．故选：B．2．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【详解】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以，又，所以，解得，所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得，，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米1．“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【详解】由，可得或则由“”可以得到“”；由“”不能得到“”则“”是“”的充分非必要条件故选：A2．求下列关于的不等式的解集：(1)；(2)【详解】(1)由得，解得或，故不等式的解集为或.(2)当时，原不等式即为，该不等式的解集为；当时，，原不等式即为.①若，则，原不等式的解集为或；②若，则，原不等式的解集为或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或.3．解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】(1)由题，即，解得或，即；(2)由题，解得或，即4．求下列不等式的解集：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】(1)不等式等价于，解得.∴不等式的解集为.(2)不等式等价于，解得或.∴不等式的解集为.5．解不等式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【详解】(1)不等式，可化为，解得或，不等式的解集为；(2)不等式，可化为，等价于，解得，不等式的解集为.6．若，解关于的不等式．【答案】【详解】原不等式等价于，因，则，即，于是解得：，所以原不等式的解集为.7．已知函数，的解集为．(1)求的解析式；(2)当时，求的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】(1)因为函数，的解集为，那么方程的两个根是，，且，由韦达定理有

所以．(2)，由，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当时取等号，∴当时，．8．若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．【答案】【详解】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，设，根据二次函数的性质，可得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.9．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】当时，不等式为，满足题意；当，需满足，解得，综上可得，的取值范围为，故答案为：.10．若命题“关于的不等式的解集为R”是真命题，则实数的取值范围是___________【答案】【详解】因为命题“关于的不等式的解集为R”是真命题，所以，解得，即.故答案为：11．若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题可得对于恒成立，即解得:.故选：B.12．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】，则要满足，解得：，因为，但故“”是“”的必要不充分条件.故选：B13．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，即函数的最小值小于0即可，，故，解得：故选：D1．（1）解关于的不等式组：；（2）解关于的不等式：.【答案】（1）解集为；（2）或.【详解】（1）由可得，所以不等式的解集为或.因为方程的，所以不等式的解集为，所以原不等式组的解集为；（2）由得，等价于，所以，，解得或.故原不等式的解集为或.2．解下列关于x的不等式：(1)；(2)（）.【答案】(1)(2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为【详解】(1)由，得，即则且，解得：(2)当时，原不等式，解的；当时，原不等式，又所以解集为；当时，因为所以解集为.综上有，时，解集为；时，解集为；时，解集为.3．已知命题和命题，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】命题即命题即，所以，p是q的充分不必要条件故选：A4．已知函数(1)若不等式的解集为空集，求m的取值范围(2)若，的解集为，的最大值【答案】(1)；(2)【详解】(1)由题意，函数，不等式的解集为空集等价于恒成立，即，解得，即m的取值范围为．(2)若，的解集为，所以有两个不同实根，即是方程的两个实根，故，，故同为负值，则，当且仅当时，即，时等号成立，故的最大值为．5．已知关于的方程的两个实根、，满足，则实数的取值范围为___________.【答案】【详解】不妨令，其对称轴为，且的图像开口向上，因为的两个实根、，满足，所以，解得.故实数的取值范围为.故答案为：.6．已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.【答案】【详解】令函数，则其图象开口向上，顶点坐标为，对称轴是，若二次函数有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于1，要使另一个零点比1大，则需满足，解得，即时，二次方程有一个根比1大，另一个根比1小.所以满足题意的实数a的取值范围是.故答案为：．7．若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．【答案】【详解】当时，不等式为满足题意；当时，需满足，解得综上可得，a的取值范围为，故答案为：8．若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.【答案】【详解】关于的不等式的解集为.当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.9．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___．【答案】【详解】由题意，，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，即a的最大值是．故答案为：.10．若不等式对一切都成立，则a的最小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【详解】记，要使不等式对一切都成立，则：或或解得或或，即.故选：D11．当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】．【详解】由题意不等式对恒成立，可设，，则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．12．已知函数，若时，恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】【详解】由题意，当时，恒成立，等价于当时，恒成立，进一步等价于，等价于，设，，由勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，又当时，当时，，，故答案为：．13．若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】.【详解】对于任意的，不等式，即，因此，对于任意的，恒成立，当时，，，当且仅当，即时取“=”，即当时，取得最小值4，则，所以实数的取值范围是.14．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（

）A． B． C．） D．【答案】D【详解】由题意，命题“，”是真命题故，解得或.则实数的取值范围是故选：D.15．已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】命题p：“，”，即，设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，故选：B．16．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则，令，所以当，单调递增，当，单调递减，又，所以，所以.故选：C17．若，使成立，则实数的