于英建筑力学21-平面汇交力系合成与平衡的解析法3

建筑力学第二章第二节平面汇交力系的解析法合肥铁路工程学校机电教研室10/31/20231平面汇交力系合成与平衡的解析法（下）

温故知新学习探究知识强化课堂延伸提纲挈领四、平衡的解析条件五、例题讲解六、课堂练习10/31/20232本节课需要解决的问题:1、平衡的解析条件2、掌握用平衡方程求解物体受力的方法10/31/20233第二章平面汇交力系第二节合成与平衡的解析法

10/31/20234一、知识回顾1、两个汇交力的合成方法力的三角形法则2、多个汇交力的合成方法？力的多边形法则10/31/20235一、知识回顾3、力的投影的运算正负号的判断；角α代表什么；公式4、解析法求合力步骤投影、求和、代公式、判角度10/31/20236力的投影判断力是哪个象限投影正负号判断投影的性质投影计算公式角α代表什么10/31/202371.建立直角坐标系，确定力F所在象限以及跟X轴的夹角α（0°≤α≤90°）2.根据力的方向，判断投影的正负号3.运用计算公式力的投影的计算思路如下：

Fx=±Fcosα

Fy=±Fsinα总结10/31/20238总结1.不变性：力进行平移，投影不变2.等大性：当力平行某坐标轴时，力在该轴上的投影为力本身的大小3.为零性：力垂直于某坐标轴时，力在该坐标轴上的投影为零力的投影的性质（重点内容）10/31/20239当应用合力投影定理求出力系合力的投影Fx、Fy后，可用下式求出合力的大小和方向式中表示合力F与

x

轴间所夹的锐角。合力指向由

的正负号用图判定。这种运用投影求合力的方法，称为解析法。公式（2-8）用解析法求汇交力系的合力10/31/202310解析法求合力步骤：投、和、代、判、画2.求出各力在X、Y轴的投影之和3.把Fx、Fy代入合力计算公式

4.通过FRx、Fry的符号来判断合力

（与X轴夹角α）所在象限，将合力F画在图上。1.求出每个力的投影10/31/202311作业1:求如图所示各力的合力。F1=50N，F2=30N，F3=60N，F4=100N。解：F2F4F1xyOF3①求出四个力在坐标轴上的投影10/31/202312作业1:求如图所示各力的合力。F1=50N，F2=30N，F3=60N，F4=100N。解：F2F4F1xyOF3②求出各力在X、Y轴的投影之和10/31/202313作业1:求如图所示各力的合力。F1=50N，F2=30N，F3=60N，F4=100N。解：F2F4F1xyOF3②求出各力在X、Y轴的投影之和10/31/202314xyO作业1:求如图所示各力的合力。F1=50N，F2=30N，F3=60N，F4=100N。解：③求出合力的大小和方向②求出各力在X、Y轴的投影之和由于FRx大于零而FRy小于零，故α在第四象限FR10/31/202315F=5KNF1F2【解】①作出受力图，建立坐标系xy②求出两个力在坐标轴上的投影③列出合力投影定理的方程10/31/202316四、平衡的解析条件10/31/202317思考？我们前面学习了平面汇交力系及其合力的求法（平行四边形法则、三角形法则、几何法、解析法），那么我们想一想：一个平面汇交力系在什么情况下它会处于平衡状态呢？平衡时，合力又等于什么呢？10/31/202318复习：一个物体受到两个力平衡的条件是什么？二力平衡公理：等大、反向、共线、同体F1F2求投影xy公式（2-9）平面汇交力系平衡的充要条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零.10/31/202319平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。

或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代数和分别等于零。平衡方程两个独立方程可求解两个未知量公式（2-9）10/31/202320例题讲解10/31/20232122水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如下图所示，试求固定铰支座A和可动铰支座B的约束力。梁的自重不计。A60ºFB30ºaaC例题110/31/20232223FBFADC60º30ºF1.取梁AB作为研究对象。2.画出受力图。3.建立坐标系。BA解：4.列出平衡方程：例题1DC60º30ºFBAXY受力图顺时针旋转210度解析法10/31/20232324FBFADC60º30ºFEFFBFA60º30ºHK1.取梁AB作为研究对象。

FA=Fcos30

=1.73kN

FB=Fsin30

=1kN2.画出受力图。3.作出相应的力三角形。BA解：4.由力多边形解出：例题1几何法10/31/202324解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选脱离体，画受力图（对未知力先假设一个方向）选取的脱离体应最好含题设的已知条件。2.建立合适的坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程求解。2个方程解能求解2个未知力。

4.对结果进行必要的分析和讨论。对于求出的力，如果是负的，证明于假设方向相反。10/31/202325例题2：课本23页习题1-1图（e）的钢架：求支座A、B的约束反力的大小和方向（F=20KN，AC=CD=DB）F3图1-28（e）ABDCFFABCDFBFA10/31/202326F3FABCDFBFA10KNFabcFB①画出水平力线段ab

表示C点的主动力F（根据比例尺长度已确定）②从b点接着画出竖直线段bc表示B点可动铰的约束力FB（c点未确定）③确定A点固定铰的约束力FA

的角度（三角形ADC是等腰直角）④从a点画出45度倾斜线段就表示A点固定铰的约束力FA（长度可以确定）⑤确定c点，画上箭头，测量约束力的大小。FA测量得，FA=28.3KN，FB=20KN。注意：FA的方向不和开始假设一致

。注意：利用自行封闭的力多边形可以求出两个未知数。几何法10/31/202327例题2：（F=20KN，AC=CD=DB）F3FABCDFBFA解：1）取刚架为研究对象2）画受力图解析法3）建立坐标系，列方程求解先将三个力平移到D点再建立坐标系DFFAFBXY10/31/202328例题2：（F=20KN，AC=CD=DB）解：1）取刚架为研究对象2）画受力图解析法3）建立坐标系，列方程求解DFCFAFBXYFA为负，说明假设和实际相反，固定绞A的约束力方向是左下。10/31/202329例题2：（F=20KN，AC=CD=DB）解：1）取刚架为研究对象2）画受力图解析法3）建立坐标系，列方程求解DFCFAFBXYFB为正数，说明假设和实际相同，可动绞B的约束力方向就是竖直向上。10/31/202330

例题3：求课本32页习题2-3图（a）的AB、AC杆所受的力，并说明是拉力还是压力①选圆柱铰链（销钉）A为研究对象解：②取脱离体画受力图习题2-3图2-14（a）ABCWA同学们看看铰链（销钉）A受到了几个力？铰链A受到三个力，W已知，AB杆、AC杆各给了一个约束力FAB、FAC，这两个约束力沿着什么方向呢？10/31/202331

例题3：解：习题2-3图2-14（a）ABCWABAB杆是二力杆，假设受到拉力ACAC杆也是二力杆，也假设受到拉力AFABFACW10/31/202332

例题3：解：ABCWAFABFACW③建立坐标系，列方程求解XYFAB是正值，说明假设正确，杆件AB为受拉杆。10/31/202333

例题3：解：ABCWAFABFACW③建立坐标系，列方程求解XYFAC是负值，说明假设和实际相反，杆件AB为受压杆。10/31/202334几点说明：（1）坐标轴常选择与未知力一致或垂直，最好使每个方程中只有一个未知数；

（2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。（3）用解析法求解平面汇交力系平衡问题的技巧：坐标轴尽量与未知力的作用线平行或垂直10/31/202335

1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。

总结：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。10/31/2023365、解析法解题时，力的方向可以先做假设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。总结：10/31/202337例题4：课本30页例题2-3，简易起重机匀速吊起W=20KN的重物，不计摩擦，求杆AB、AC的力。ABDCW解：1）取滑轮（含销钉）为研究对象2）画受力图（不考虑滑轮的尺寸）FT1FT2FABFAC不计摩擦，FT1和FT2等于W=20KNAC杆是二力杆，FAC将沿着AC杆轴线10/31/202338例题4：课本30页例题2-3，简易起重机匀速吊起W=20KN的重物，不计摩擦，求杆AB、AC的力。解：3）利用封闭的力多边形求解约束力FT1FT2FABFAC5KNFT1FT2FABFAC测量ad长度，得到FAC=8.09×3.33=26.9KN测量cd长度，得到FAB=2.18×3.33=7.26KNacbd几何法10/31/202339例题4：3）建立坐标系，列方程求解FT1FT2FABFAC解析法XY坐标轴常选择与未知力一致或垂直FAB和FAB都为正，说明假设和实际相符，AC杆受压，AB杆受拉。10/31/202340小技巧：为避免解联立方程，可把一个轴设置成与一个未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数，不必解联立方程。

图(b)这样建立坐标系每个方程两个未知数∑Fx=0,FT－P·sin30°=0可求得FT图(c)

图(a)求柔索约束FT

和光滑斜面约束FN10/31/202341课外作业：课本32页2-3（a），2-4（b）（只要求用解析法---合力投影定理解题）10/31/202342

支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上，如图所示。已知杆AC=CB；杆DC与水平线成45o角；载荷F=10kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。

练习FADCB10/31/202343

取AB为研究对象，其受力图为：解：

练习FADCBABCEFFCFA10/31/202344ABCEFFCFAXY求解方程组，可得3）建立