电力电子系统建模及控制4 DCDC 变换器反馈控制设计

第4章DC/DC变换器反馈控制设计第4章DC/DC变换器反馈控制设计4.1频率特性的概念4.2闭环控制与稳定性4.3补偿网络的设计4.4本章小结24.1频率特性的概念一般DC/DC变换器要加上负反馈构成闭环系统以提高输出精度和动态特性。因此，DC/DC变换器系统可视为负反馈系统。为了使DC/DC变换器系统满足静态和动态指标的要求，一般需要设计良好的补偿网络。34.1频率特性的概念补偿网络的设计可以采用时域法或频域法。在频域法中，最有影响的方法是波特图法，根据波特图可以设计出满意的补偿器。波特图一般可通过两种方法得到：一是用网络频谱分析仪等仪器测量得到；二是通过前面介绍的建模方法理论推导得到系统传递函数，再得到幅频特性和相频特性。本文主要介绍后一种方法。4系统的传递函数一般形式为式中，R(s)为系统的输入；C(s)为系统地输出。比值C(s)/R(s)表示系统输出信号的拉普拉斯变换对输入信号的拉普拉斯变换之比，如图4—1所示。5将系统传递函数G(s)分解因子表示如下形式：式中，Z1，Z2，…，Zm为系统的零点；P1，P2，…，Pn为系统的极点。1/T1，1/T2，…，1/Tm称为零点的转折频率；1/Ta，1/Tb，…，1/Tn称为极点的转折频率。系统频率特性为式中是其幅频特性，为相频特性。由极点或零点的转折频率，能够决定幅频特性和相频特性。6幅频图幅值为20lg|G(jω)|(以dB为单位)与logω或logf

的关系图；相频图相位为∠G(jω)(“°”为单位)与logω或logf的关系图。7由于幅值用分贝(dB)表示，因此，在传递函数中乘与除因子取对数后变成加与减；相位也是传递函数中乘与除因子的相位加与减而求得。幅频图用幅频特性的渐近线近似的折线图表示。每遇到一个极点，幅频特性折线图的斜率就向下增加转折20dB/dec；遇到零点，幅频特性曲线的斜率是向上增加转折20dB/dec。相频图每遇到一个极点，设极点频率为fp，在频率fp/10与10fp之间相频图会产生90°的相位落后；对于零点，设零点频率为fz

，在频率fz/10与10fz之间相频图会产生90°的相位超前。84.2闭环控制与稳定性由DC/DC变换器构成的负反馈控制系统如图4—2所示，其中Gvd(s)为DC/DC变换器的占空比至输出的传递函数，Gm(s)为PWM脉宽调制器的传递函数，H(s)表示反馈分压网络的传递函数，Gc(s)为补偿网络的传递函数。9可将DC/DC变换器的闭环系统框图表示成标准的闭环系统框图形式，如图4—3所示，其中G(s)为Gc(s)Gm(s)Gvd(s)。在标准的闭环系统框图中，输出信号C(s)经H(s)得到反馈信号B(s)，反馈信号B(s)与参考信号R(s)相减得到误差信号E(s)，然后输入至框图G(s)，最后输出C(s)信号。10输出信号、反馈信号和误差信号分别为由式(4—7)得到闭环传递函数的表示形式闭环系统的特征方程为11对于稳定系统，特征方程式F(s)的根都在s平面的左半平面，或是说闭环传递函数的极点都是位于s平面的左半平面。若闭环传递函数有极点在虚轴上或是s平面的右半边，则系统不稳定。12特征方程式中，G(s)H(s)称为回路增益函数，包含了所有闭环极点的信息，可以通过分析G(s)H(s)的特性全面把握系统的稳定性。波特图法就是基于分析G(s)H(s)幅频图和相频图研究系统的稳定性。G(s)H(s)包含了从误差信号E(s)至反馈信号B(s)之间回路中各环节的传递函数，即：B(s)/E(s)=反馈信号/误差信号=G(s)H(s)

在波特图法中，为了表示系统相对稳定度引入增益裕量(GainMargin，GM)和相位裕量(PhaseMargin，PM)的概念。增益裕量：当回路增益函数的相位为-180°时，在满足系统稳定的前提下，回路增益幅度所容许增加的量，如图4-4所示。13相位交越频率：回路增益函数的相位为-180°时的频率ωc=2πfc增益交越频率：回路增益函数的幅值为0dB时的频率ωg=2πfg增益裕量(dB)可以说增益裕量就是在G(s)H(s)平面上相位交越点对(-1，j0)点接近程度的一种量度，如图4—5所示。14在极坐标图中表示增益裕量与相位裕量，该图也称耐奎斯特图。但是，有时增益裕量并不一定能够充分反映系统的稳定度。15一般来说，增益裕量大的系统比增益裕量小的系统稳定。因此，为了提高对相对稳定度描述的准确性，还需引入相位裕量，以弥补仅用增益裕量描述的不足。相位裕量是在G(s)H(s)平面上为了使G(s)H(s)轨迹的增益交越点通过(-1，j0)点，则G(s)H(s)图必须以原点为中心顺时针旋转一角度，如图4—5所示。相位裕量当闭环系统达到不稳定之前，其回路内所能容许增加的相位。即当回路增益函数G(s)H(s)的幅值为零分贝(单位增益)时，回路增益函数的相移与-180°之差，如图4-4所示。16

(4-11)即在G(s)H(s)平面上连接原点与增益交越点所成的相量与负实轴所夹的角度。对于DC/DC变换器系统，其回路增益函数G(s)H(s)为式中，G0(s)=Gm(s)Gvd(s)H(s)为未加补偿网络Gc(s)时回路增益函数，称为原始回路增益函数，是控制信号Vc(s)至反馈信号B(s)之间的传递函数；Gvd(s)为DC/DC变换器的占空比至输出的的传递函数；Gm(s)为PWM脉宽调制器的传递函数；H(s)表示反馈分压网络的传递函数；Gc(s)是误差B(s)至控制量Vc(s)的传递函数，为待设计的补偿网络的传递函数。Gvd(s)可以利用前面介绍的状态空间平均法、平均开关网络等方法求得。17PWM调制器的传递函数为式中，Vm为PWM调制器中锯齿波的幅值。如图4—6所示典型反馈分压网络H(s)的传递函数为将上面已知的传递函数结合在一起，则原始回路增益函数G0(s)18

（4—15）以Buck变换器系统为例，推导原始回路增益函数G0(s)。利用小信号动态交流模型方法，可以推出Buck变换器占空比至输出的传递函数Gvd(s)将上式代入式(4-15)，得到Buck变换器系统原始回路增益函数G0(s)原始回路增益函数G0(s)是一个二阶系统，有两个极点。幅频图在低频段为水平线，幅值为

，高频段以-40dB/dec斜率下降，转折点由LC滤波器的谐振频率决定。19设Buck变换器系统的参数为：输入电压Vg=48V，输出电压V0=12V，输出负载R=0.6Ω，输出滤波电感L=60μH，电容值C=4000μF，开关频率fs=40kHz，即开关周期T=25μs。PWM调制器中锯齿波幅值Vm=2.5V。反馈分压网络传递函数H(s)=0.5。可求出工作占空比：D=V0/Vg=12/48=0.25。将以上参数代入式(4-16)，得到Buck变换器占空比至输出的传递函数Gvd(s)20原始回路增益函数G0(s)21原始回路增益函数G0(s)的波特图如图4-7所示。幅频图低频图为幅值约20dB的水平线，高频段为斜率-40dB/dec穿越0dB线的折线。幅频图的转折频率22增益交越频率ωg=2πfg，fg≈1kHz，相位裕量PM≈4°，可见原始回路增益函数G0(s)频率特性的相位裕量太小。虽然系统是稳定的，但存在较大的输出超越量和较长的调节时间。因此需要加入补偿网络Gc(s)，提高相位裕量和增益裕量。一般原始回路增益函数G0(s)不能满足系统静态和动态特性的要求，为了使系统满足静态和动态的指标，需要加入补偿网络Gc(s)，根据G0(s)设计补偿网络。23虽然补偿网络只是系统中极小的一部分，但是对系统静态和动态特性而言却是非常重要的部分，会影响到系统的输出精度、电压调整率、频带宽度以及暂态响应。根据最小相位系统理论，最小相位系统的幅频特性和相频特性之间存在一一对应关系，如幅频图中水平线对应相频图中相移为0°；幅频图中斜率为-20dB/dec折线对应相频图中相移为-90°；幅频图中斜率为-40dB/dec折线对应相频图中相移为-180°；幅频图中斜率为+20dB/dec折线对应相频图中相移为90°。也即知道了幅频特性也就知道了相频特性，反之亦然。

24对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点和零点的实部都小于或等于零，则称它是最小相位系统为使DC/DC变换器系统满足稳定性要求，可以通过外加补偿网络Gc(s)，使DC/DC变换器系统的回路增益函数G(s)H(s)=Gc(s)G0(s)的幅频图在增益交越频率ωg处(增益为0dB)的斜率为-20dB/dec。幅频图的斜率为-20dB/dec折线对应相移为-90°，这样一般可以使G(s)H(s)的相频图在增益交越频率ωg处的相移大于-180°，即系统相位裕量PM大于零。还需验证在相位交越频率ωc处(相位在-180°时)，G(s)H(s)的增益必须小于0dB，也即增益裕量必须大于零。25若相位裕量与增益裕量的值只是稍稍大于零，虽然对系统而言也是稳定的，却会具有较大的超越量和调节时间。下一节将介绍如何设计补偿网络Gc(s)，使DC/DC变换器系统的回路增益函数Gc(s)G0(s)的幅频图以-20dB/dec斜率穿越0dB(单位增益)线，即增益交越频率ωg处(增益为零dB)幅频图的斜率为-20dB/dec。26通常选择相位裕量在45°左右，增益裕量在10dB左右。4.3补偿网络的设计补偿网络的结构一般可以分为三种：①超前补偿网络；②滞后补偿网络；③超前—滞后补偿网络。27相位4.3补偿网络的设计超前补偿网络具有超前相位的补偿网络，称为超前网络。28相位：应用超前网络补偿，使带宽增加，还可以加大相位裕量，改善了系统的瞬态响应性能，减小超调量，但高频噪声增大；4.3补偿网络的设计滞后补偿网络具有滞后相位的补偿网络，称为滞后网络。29相位：应用滞后网络补偿，可以显著改善系统的稳态精度，但减缓了系统的瞬态响应；4.3补偿网络的设计超前—滞后补偿网络在不同频段表现出滞后或超前网络特性；

30相位：“超前—滞后”补偿网络输出正弦信号的相位在不同频率范围有落后又有超前于输入信号的特性，它结合超前补偿与滞后补偿的特性，发挥滞后补偿特性提高静态性能，利用超前补偿特性提高相对稳定性和动态性能。图4-8a所示为利用RC网络组成的典型超前一滞后补偿网络，其传递函数为

31式中(1+sT2)/(1+sT2/β)项产生超前补偿效果，而(1+sT1)/(1+sβT1)项产生滞后补偿效果。超前—滞后传递函数Gc(s)的零点与极点则分别有两个。32超前—滞后补偿网络零点与极点的分布如图4-8b所示，而波特图如图4-8c所示。33有源超前—滞后补偿网络由于利用RC网络所组成的超前—滞后补偿网络的增益只能衰减不能增加，一般要求增益也可任意改变。因此，采用运算放大器构成超前—滞后补偿网络，即所谓有源超前—滞后补偿网络。34有源超前—滞后补偿网络除零、极点的位置可以任意安排外，增益也可任意选择。图4—9a所示为一种采用运算放大器的有源超前—滞后补偿网络，其传递函数为35利用补偿网络幅频特性的低频积分特性，可以使经补偿后的系统成为无差系统，使静差为零，同时减少了低频误差。利用补偿网络幅频图在fz2至fp2之间的斜率为20dB/dec上升特性，补偿原始回路函数G0(s)以斜率-40dB/dec穿越0dB线的特性，使补偿后的回路函数G(s)H(s)=Gc(s)G0(s)以-20dB/dec穿越0dB线，这样才能使DC/DC变换器系统具有较好的相对稳定性。因此，需把补偿后系统的增益交越频率fg设定在补偿网络的fz2与fp2之间。36图4—10a所示为另一种有源超前—滞后补偿网络，其传递函数为37其中有源超前—滞后补偿网络二有两个零点、三个极点。38其中有源超前一滞后补偿网络二的幅频图如图4-l0b所示39与有源超前一滞后补网路一的差异是在高频部分增加了一个极点fp3，而使其向下反折为-20dB/dec。频率fz1与fz2之间的增益可近似为

在频率fp2与fp3之间的增益则可近似为与前相同，一般将补偿后系统的增益交越频率fg设定在补偿网络的fz2与fp2之间40补偿网络的设计方法以有源超前—滞后补偿网络二为例(1)选择Gc(s)G0(s)的增益交越频率fg首先选择补偿后的回路函数G(s)H(s)=Gc(s)G0(s)的增益交越频率fg，在此增益为0dB，而且幅频特性的波特图以-20dB/dec穿越0dB线。理论上补偿后的回路函数G(s)H(s)=Gc(s)G0(s)的增益交越频率fg可设定为开关频率的1/2，但是实际上考虑到抑制输出开关纹波，增益交越频率fg以小于1/5的开关频率fs较为恰当。这里推荐采用公式fg=fs/5，其中fs为DC/DC变换器的开关频率。补偿后的回路函数fg愈大，DC/DC变换器系统动态速度愈快。41(2)选择零点频率

若原始回路函数G0(s)有两个相近的极点，极点频率为

，可将补偿网络Gc(s)两个零点频率设计为原始回路函数G0(s)两个相似的极点频率的1/2，即42(3)选择极点频率如果原始回路函数G0(s)没有零点，则可以将补偿网络Gc(s)的两个极点设定为fp2=fp3=(1～3)fs，以减小输出高频开关纹波。43在没有零点变换器中，补偿网络Gc(s)的极点fp3也可省略。(3)选择极点频率若原始回路函数G0(s)有零点，如输出滤波电容的等效串联电阻(ESR)引起的零点fZESR或升压型变换器或反激式变换器在右半平面存在零点fZR，可用补偿网络Gc(s)的极点来补偿，即令补偿网络Gc(s)的一极点或44极点频率fp2

、fp3最好能大于原始回路函数G0(s)极点频率的5倍，以避免在增益交越频率fg造成更大的相位滞后。(4)确定Gc(s)在Gc(s)G0(s)的增益交越频率fg增益至此，补偿网络Gc(s)所有零点和极点的位置已经确定，但补偿网络Gc(s)的幅频图仍可在垂直方向上下移动。一旦固定补偿网络Gc(s)幅频图上的一个点的位置，Gc(s)的幅频图就确定了。通过确定Gc(s)在补偿后的回路函数G(s)H(s)=Gc(s)G0(s)的增益交越频率fg增益来最后确定补偿网络。45(4)确定Gc(s)在Gc(s)G0(s)的增益交越频率fg增益补偿后的回路函数G(s)H(s)=Gc(s)G0(s)在fg处增益为0dB。如果原始回路函数G0(s)在增益交越频率fg的增益为-AdB，为使补偿后回路函数G(s)H(s)=Gc(s)G0(s)在fg为0dB，Gc(s)在fg的增益必须等于AdB，即也就是46(5)求两特殊点的增益由于补偿后系统的fg位于Gc(s)的零点fz2与极点fp2之间，于是可求出在零点fz1与fz2之间的增益为极点fp2的处增益则为47(6)求出补偿网络电路各元件的参数首先假设R2值。由AV2=R2/R3，求出R3值。由fz1=1/(2πR2C1)，求出C1值。由fp2=1/(2πR3C3)，求出C3值。由fp3≈1/(2πR2C2)，求出C2值。由fz2≈1/(2πR1C3)，求出R1值。补偿网络电路的实现大都利用PWM控制IC芯片内部的误差放大器外加RC无源元件构成，或者将PWM控制IC芯片内部误差放大器当作缓冲器，利用外加的运算放大器加RC无源元件构成补偿网络电路。48例题4—1Buck变换器工作在CCM方式，如图4—11所示。49电路参数：输入电压Vg=48V，输出电压V=12V，滤波电感L=0.1mH，滤波电容C=500μF，负载电阻R=1Ω，反馈电阻Rx=100kΩ，Ry=100kΩ。开关频率fs=100KHz。PWM调制器锯齿波幅度Vm=2.5V，参考电压Vef=6V。下面给出补偿网络设计的主要步骤。解

Buck变换器占空比至输出的传递函数Gvd(s)

原始回路增益函数G0(s)G0(s)的直流增益20lg|G0(0)|=20lg|9.6|=19.6dB；幅频特性的转折频率50作出波特图幅频特性如图4-12所示。在低频时G0(s)增益为19.6dB，在频率为712Hz时发生转折，斜率为-40dB/dec。原始回路增益函数G0(s)在2300Hz穿越0dB线，相