2023-2024学年陕西省商洛市第3中学数学高二上期末学业质量监测试题含解析

2023-2024学年陕西省商洛市第3中学数学高二上期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（）A. B.C. D.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形3．已知，，，若、、三个向量共面，则实数A3 B.5C.7 D.94．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C. D.5．在等差数列中，，，则的值是（）A.130 B.260C.156 D.1686．已知是等比数列，则（）A.数列是等差数列 B.数列是等比数列C.数列是等差数列 D.数列是等比数列7．数列中，，，若，则（）A.2 B.3C.4 D.58．若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．若不等式在上有解，则的最小值是（）A.0 B.-2C. D.10．椭圆的焦点坐标是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）11．已知直线，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则12．圆上到直线的距离为的点共有A.个 B.个C.个 D.个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点A，B，M为y轴上一点且满足|MA|=|MB|，则点M的纵坐标的取值范围是___________.14．在等差数列中，前n项和记作，若，则______15．等差数列中，若，，则______，数列的前n项和为，则______16．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，点关于坐标原点对称，过点作轴的垂线，为垂足，直线与抛物线交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与轴交点分别为，求的值；（3）若，求.18．（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和19．（12分）已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及相应的的值.20．（12分）设数列的前项和为，已知，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，是否存在正整数，使得对任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，说明理由.21．（12分）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为、右交点为.（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.22．（10分）设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.（1）求动点D的轨迹E的方程；（2）直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.【详解】由题意可得平面，，则两两垂直以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，又，则故选：B2、C【解析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C3、A【解析】由空间向量共面原理得存在实数，，使得，由此能求出实数【详解】解：，，，、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数故选：【点睛】本题考查空间向量共面原理的应用，属于基础题4、A【解析】根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知：，该双曲线的焦点坐标为：，双曲线的渐近线方程为：，所以焦点到渐近线的距离为：，故选：A5、A【解析】由等差数列的性质计算得到，进而利用求和公式，变形求出答案.【详解】由题意得：，故故选：A6、B【解析】取，可判断AC选项；利用等比数列的定义可判断B选项；取可判断D选项.【详解】若，则、无意义，A错C错；设等比数列的公比为，则，（常数），故数列是等比数列，B对；取，则，数列为等比数列，因为，，，且，所以，数列不是等比数列，D错.故选：B.7、C【解析】由已知得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案.【详解】∵，∴，所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴，∴，则，解得.故选：C.8、B【解析】由题意可知且，构造函数，可得出，由函数的单调性可得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，则且，由已知可得，构造函数，其中，，所以，函数为上的增函数，由已知，所以，，可得，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，所以，，解得.故选：B.9、D【解析】将题设条件转化为在上有解,然后求出的最大值即可得解.【详解】不等式在上有解,即为在上有解,设,则在上单调递减,所以,所以,即,故选:D.【点睛】本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论.10、A【解析】根据椭圆的方程求得的值，进而求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由椭圆，可得，则，所以椭圆的焦点坐标为和.故选：A.11、C【解析】对于A,可能在内，故可判断A；对于B,可能相交，故可判断B;对于C,根据线面垂直的判定定理，可判定C;对于D,和可能平行，或斜交或在内，故可判断D.【详解】对于A,除了外，还有可能在内，故可判断A错误；对于B,，那么可能相交，故可判断B错误；对于C,根据线面平行的性质定理可知，在内一定存在和平行的直线，那么该直线也垂直于，所以，故判定C正确;对于D，，，则和可能平行，或斜交或在内，故可判D.错误，故选：C.12、C【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设直线的方程为，由消去并化简得，设，，，解得..由于，所以是垂直平分线与轴的交点，垂直平分线方程为，令得，由于，所以.也即的纵坐标的取值范围是.故答案为：14、16【解析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，所以，所以；故答案为：15、①.②.【解析】设等差数列公差为d，根据等差数列的性质即可求通项公式；，采用裂项相消的方法求.【详解】设等差数列公差为d，，，；∵，∴.故答案为：；.16、8【解析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4，所以故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线的方程，与抛物线的方程联立，可求得点和的纵坐标，结合直线点斜式方程、两点间距离公式进行求解即可；（3）利用弦长公式求得，由两点间距离公式求得和，再解方程即可.【小问1详解】抛物线的准线方程为：，因为点到抛物线焦点的距离为，所以有；小问2详解】由题意知，，，设，则，，，，所以直线的方程为，联立，消去得，，解得，设，，，，不妨取，，直线的斜率为，其方程为，令，则，同理可得，所以，而，所以；【小问3详解】，其中，，，因为，所以，化简得，解得（舍负），即，所以【点睛】关键点睛：运用抛物线的定义、弦长公式进行求解是解题的关键.18、（1）（2）【解析】（1）设数列的公差为，由，且，，，利用“”法求解；（2）由，利用裂项相消法求解.【小问1详解】解：，，设数列的公差为，则，，，由题知，整理得，解得，（舍去），，则.【小问2详解】，则=.19、（1）（2）当或时，有最大值是20【解析】（1）用等差数列的通项公式即可.（2）用等差数列的求和公式即可.【小问1详解】在等差数列中，∵,∴，解得，∴；【小问2详解】∵，∴，∴当或时，有最大值是2020、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由已知条件有，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出及，进而可得，利用二次函数的性质即可求解的最小值，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2公比为2的等比数列；【小问2详解】解：由（1）知，，所以，所以，检验时也满足上式，所以,所以，令，所以，故当即时，取得最小值，所以.21、（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.【解析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,联立两个曲线，得，，即，当焦点是右焦点时，线段的方程当焦点时左焦点时，，，线段的方程（2），假设点在曲线上单调递增∴所以点不可能在曲线上所以点只可能在曲线上，根据得可以得到当左焦点，，同样这样的使得不存在所以这样的点一共2个（3）设直线方程，圆方程为直线与圆相切，所以，，根据得到补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，∵，当，存在，否则不存在这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时存在不存在.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.22、（1）；（2）.【解析】(1)设出点D的坐标，借助向量运算表示出点P的坐标代入圆O的方程计算作答.(2)在直线的斜率存在时设出其方程，与轨迹E的方程联立，借助韦达定理表示出，再利用二次函数性质计算得解，然后计算直线的斜率不存在的值作答.【小问1详解】设点，则，因，则有，又点