2024届池州市重点中学高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

2024届池州市重点中学高二数学第一学期期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（）A. B.C. D.2．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）A.16 B.8C.2 D.13．若椭圆与直线交于两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则A. B.C. D.24．考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（）种A.360 B.630C.2520 D.151205．直线的斜率为（）A.135° B.45°C.1 D.-16．函数在上的极大值点为（）A. B.C. D.7．椭圆上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A. B.C. D.8．已知等比数列的各项均为正数，且，则（）A. B.C. D.9．若，在直线l上，则直线l一个方向向量为（）A. B.C. D.10．若1，m，9三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或211．棱长为1的正四面体的表面积是（）A. B.C. D.12．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第2个数为____________.14．抛物线C：的焦点F，其准线过（-3，3），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p=___________；弦AB的长为___________.15．与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是______16．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），且椭圆C过点（﹣）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.18．（12分）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的点，且.（1）求抛物线方程；（2）直线与抛物线交于、两点，且.求△OPQ面积的最小值.19．（12分）已知圆C的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上（1）求圆C的方程；（2）直线l：与圆C相交于M，N两点，P（异于点M，N）为圆C上一点，求△PMN面积的最大值20．（12分）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（12分）已知函数.（1）若与在处有相同的切线，求实数的取值；（2）若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.22．（10分）已知双曲线及直线（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、，则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，所以，，故、、三点共线，由椭圆定义，，有，所以，则，再由椭圆定义，有，因为，所以，在中，即，所以，离心率故选：A.2、C【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.【详解】因为双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，所以，因此该双曲线的虚轴长为，故选：C3、D【解析】细查题意，把代入椭圆方程，得，整理得出，设出点的坐标，由根与系数的关系可以推出线段的中点坐标，再由过原点与线段的中点的直线的斜率为，进而可推导出的值.【详解】联立椭圆方程与直线方程，可得，整理得，设，则，从而线段的中点的横坐标为，纵坐标，因为过原点与线段中点的直线的斜率为，所以，所以，故选D.【点睛】该题是一道关于直线与椭圆的综合性题目，涉及到的知识点有直线与椭圆相交时对应的解题策略，中点坐标公式，斜率坐标公式，属于简单题目.4、C【解析】，先安排复习节的科目，然后安排其余科目，由此计算出不同的复习安排方法数.【详解】第步，门科目选门，安排节课，方法数有种，第步，安排其余科目，每门科目节课，方法数有种，所以不同的复习安排方法有种.故选：C5、D【解析】由斜截式直接看出直线斜率.【详解】由题意得：直线斜率为-1，故选：D6、C【解析】求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点【详解】，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴函数在的极大值点为故选：C7、A【解析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可.【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则所以所以椭圆上点P到直线的最短距离为故选：A8、B【解析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.【详解】是各项均为正数的等比数列，，，，.故选：B9、C【解析】利用直线的方向向量的定义直接求解.【详解】因为，在直线l上，所以直线l的一个方向向量为.故选：C.10、D【解析】运用等比数列的性质可得，再讨论，，求出曲线的，，由离心率公式计算即可得到【详解】三个数1，，9成等比数列，则，解得，，当时，曲线为椭圆，则；当时，曲线为为双曲线，则离心率故选：11、D【解析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果【详解】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以，所以可知：正四面体的表面积为，故选：D12、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】通过观察、分析、归纳，找出规律运算求解即可【详解】前行共有正整数个，即个，因此第行第个数是全体正整数中第个，即为故答案为：14、①.6；②.48.【解析】先通过准线求出p，写出抛物线方程和直线方程，联立得出，进而求出弦AB的长.【详解】由知准线方程为，又准线过（-3，3），可得，；焦点坐标为，故直线方程为，和抛物线方程联立，，得，故，又.故答案为：6；48.15、【解析】设双曲线的方程为，将点代入方程可求的值，从而可得结果【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，该双曲线经过点，所求的双曲线方程为：，整理得故答案为【点睛】本题考查双曲线的方程与简单性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．与共渐近线的双曲线方程可设为，只需根据已知条件求出即可.16、【解析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.【详解】因为对任何，，所以对任何，，所以在上为减函数.，，所以恒成立，即对恒成立，所以，所以.即的取值范围是.故答案为：.【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或.【解析】（1）设标准方程代入点的坐标，解方程组得解.（2）设直线方程代入椭圆方程消元，韦达定理整体思想，可得直线斜率得解.【小问1详解】因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为，又点在椭圆C上，所以，解得，因此，椭圆C的方程为；【小问2详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，因为，所以，因为，，所以，所以，①联立方程，消去得，则，代入①，得，解得，经检验，此时直线与椭圆相交，所以直线l的方程是或.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的定义列方程，由此求得，进而求得抛物线方程.（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.【详解】（1）依题意.（2）与联立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，当k=0时，S最小，最小值为.19、（1）；（2）.【解析】（1）设直径两端点分别为，，由中点公式求参数a、b，进而求半径，即可得圆C的方程；（2）利用弦心距、半径、弦长的几何关系求，再由圆心到直线l的距离求P到直线l的距离的最大值，即可得△PMN面积的最大值【小问1详解】设直径两端点分别为，，则，，所以，，则圆C半径，所以C的方程为【小问2详解】圆心C到直线l的距离，则，点P到直线l的距离的最大值为，所以，△PMN面积的最大值为20、（1），（2）【解析】（1）设数列公差为，由成等比数列求得，可得.利用求得；（2）利用错位相减求和即可.【小问1详解】设数列公差为，由成等比数列有：，解得：，所以，数列，当即，，解得：，当时，有，所以，得：.又，所以数列为以为首项，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】，，，得，，化简得：.21、（1）（2）【解析】（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.【小问1详解】设公切线与的图像