2023-2024学年江苏省大丰市南阳中学高二上数学期末考试试题含解析

2023-2024学年江苏省大丰市南阳中学高二上数学期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，设，若P到平面的距离为2d，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分2．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.3．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）A.1 B.C. D.24．1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，则有(n＞2)，．设数列{an}满足：an＝，则数列{an}的前36项和为（）A.11 B.12C.13 D.185．设点P是双曲线，与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.36．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.7．下列关于函数及其图象的说法正确的是（）A.B.最小正周期为C.函数图象的对称中心为点D.函数图象的对称轴方程为8．命题：“，”的否定形式为（）A.， B.，C.， D.，9．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10．命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，11．如图，在棱长为1的正方体中，点B到直线的距离为（）A. B.C. D.12．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则的外接圆E的方程是________14．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.15．无穷数列满足：只要必有，则称为“和谐递进数列”，已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则__________，若数列前项和为，则__________.16．曲线围成的图形的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.（1）求渔船甲的速度；（2）求的值.18．（12分）已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）19．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；（2）设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积20．（12分）同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体）（1）求两颗骰子向上的点数相等的概率；（2）求两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率21．（12分）在中，角、、C所对的边分别为、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值.22．（10分）已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，直线交抛物线E于两点（1）求E的方程；（2）若以BC为直径的圆过原点O，求直线l的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】取的中点，得出平面，作，在直角中，求得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，连接，得到平行于平面且过点的平面，如图（1）（2）所示，作，则P1与E重合，则，在直角中，可得，在图（3）中，设直三棱柱的所有棱长均为，且，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，所以，即所以，整理得，所以点P的轨迹是椭圆的一部分.故选：B.2、C【解析】设出椭圆的标准方程，根据已知条件，求得，即可求得结果.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，根据题意可得，，故可得，故所求椭圆方程为：.故选：C.3、B【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，∴，∴，则圆柱的体积，∴，由得，由得，∴当时，取极大值，也是最大值，即故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.4、B【解析】由奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数可知，数列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n为偶数，其余项都为奇数，再根据an＝，即可求出数列{an}的前36项和【详解】由奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数可知，数列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n为偶数，其余项都为奇数，∴前36项共有12项为偶数，∴数列{an}的前36项和为12×1+24×0＝12.故选：B5、C【解析】根据几何关系得到是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.【详解】点到原点的距离为，又因为在中，，所以是直角三角形，即.由双曲线定义知，又因为，所以.在中，由勾股定理得，化简得，所以.故选：C.6、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点，方程有两个根，，分离参数得，与图象有两个交点，令，，令，解得当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，且在处取得极大值及最大值，可以画出函数的大致图象如下：观察图象可以得出.故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.7、D【解析】化简，利用正弦型函数的性质，依次判断，即可【详解】∵∴，A选项错误；的最小正周期为，B选项错误；令，则，故函数图象的对称中心为点，C选项错误；令，则，所以函数图象的对称轴方程为，D选项正确故选：D8、D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“，”的否定形式为：，，故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.9、B【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项B.由，，则，故正确.选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.故选：B10、B【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】命题，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，所以命题，，则为：，.故选：B11、A【解析】以为坐标原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，取，，利用向量法，根据公式即可求出答案.【详解】以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，取，，则，，则点B到直线AC1的距离为.故选：A12、C【解析】依据正态曲线的对称性即可求得【详解】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线由，可得则，故故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求.【详解】令，得或，则，∴外接圆的圆心的横坐标为2，设，半径为r，由，得，则，即，得，.∴的外接圆的方程为.故答案为：.14、（1）；（2）.【解析】（1）根据，且，，成等比数列，利用等比中项由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，且，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以数列的通项公式；（2）由（1）知：，所以.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解15、①.2②.7578【解析】根据前四项成等比数列及定义可求得，根据新定义得数列是周期数列，从而易求得【详解】∵成等比数列，，，又，为“和谐递进数列”，，，，，…，数列是周期数列，周期为4，故答案为：2，757816、##【解析】曲线围成图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）14海里小时；（2）.【解析】（1）由题意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小问1详解】(1）依题意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故渔船甲的速度为海里小时.即渔船甲的速度为14海里小时.【小问2详解】在△中，因为，，，，由正弦定理，得，即.值为.18、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即可得到轨迹方程；（2）设直线方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，则，代入韦达定理，即可求出面积最小值；【小问1详解】解：由已知可得，，即点到定点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为【小问2详解】解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，，，所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；19、（1）（2）或【解析】（1）设圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为，由题意，，从而可得，由椭圆的定义即可求解；（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及点为线段的中点，可得，利用弦长公式求出及到直线AB的距离即可得的面积.【小问1详解】解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，由题意，，所以，由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，则，所以，所以动圆圆心的轨迹的方程为；【小问2详解】解：由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，由，可得，所以①，②，且，即，因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，所以，即③，联立①②③可得，所以，因为到直线AB的距离，，所以，所以当时，，当时，.所以的面积为或.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出同时掷两颗骰子的基本事件数、及骰子向上的点数相等的基本事件数，应用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列举出两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数的基本事件，应用古典概型的概率求法，求概率即可.【小问1详解】同时掷两颗骰子包括的基本事件共种，掷两颗骰子向上的点数相等包括的基本事件为6种，故所求的概率为；【小问2详解】两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数时，用坐标记为，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16个基本事件，故两颗骰子向上的点数不相等，且