2024届甘肃兰化一中数学高二上期末综合测试试题含解析

2024届甘肃兰化一中数学高二上期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（）A. B.C. D.2．已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则（）A.1011 B.2020C.2021 D.20223．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（）A.4 B.6C. D.4．如图，已知直线AO垂直于平面，垂足为O，BC在平面内，AB与平面所成角的大小为，，，则异面直线AB与OC所成角的余弦值为（）A. B.C. D.5．圆的圆心和半径分别是（）A.， B.，C.， D.，6．已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.7．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.8．如图，在直三棱柱中，，，E是的中点，则直线BC与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.9．椭圆的长轴长是（）A.3 B.6C.9 D.410．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.2 B.2C.1 D.111．数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.12．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，，，则__________.14．已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________.15．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为_____.16．圆和圆的公切线的条数为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.18．（12分）已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.（1）求抛物线E的方程；（2）点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点，且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点，求m的取值范围.19．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点求证：（1）共面；（2）求证：20．（12分）设，为双曲线：（，）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△为等腰直角三角形（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，①求双曲线方程；②已知直线，分别交直线于，两点，当直线倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由21．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大22．（10分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.（1）若长为，把蒙古包的体积表示为的函数；（2）求蒙古包体积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：、、、、、、、、、，因此，这组数据的中位数为.故选：B.2、C【解析】结合向量坐标运算以及抛物线的定义求得正确答案.【详解】设，因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，准线为：，因此，所以，即，由抛物线的定义可得，所以故选：C3、C【解析】由抛物线的定义转化后求距离最值【详解】抛物线的焦点，准线为过点作准线于点，故△PAF的周长为，，可知当三点共线时周长最小，为故选：C4、B【解析】建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式计算即可.【详解】如图，以O为坐标原点，过点O作OB的垂线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，，，，设的夹角为，则，所以异面直线AB与OC所成角的余弦值为，故选：B.5、D【解析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.6、C【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率【详解】由题意又则有：可得：，，中，中．可得：解得：则有：故选：C7、C【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.【详解】则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C8、D【解析】以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【详解】解：由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则令，得.因为，所以，故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选：D.9、B【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B10、C【解析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.【详解】由题设，，则且，所以，即，可得.故选：C11、A【解析】根据规律，总结通项公式，即可得答案.【详解】根据规律可知数列的前三项为，所以该数列一个通项公式为故选：A12、C【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲、乙的平均数相同；故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【详解】解：因为在中，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，则故答案为：14、##【解析】先求出的范围，再利用面积公式可求面积的最大值.【详解】圆即为，直线为过原点的直线，如图，连接，故，解得，此时，故的面积为，当且仅当时等号成立，此时即，故答案为：.15、【解析】由面积公式求得，结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长.【详解】，从而，由正弦定理得：，解得：故答案为：16、3【解析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数.内含关系0条公切线，内切关系1条公切线，相交关系2条公切线，外切关系3条公切线，外离关系4条公切线。【详解】由题知圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，所以，，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.故答案为：3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析，定值为【解析】（1）由题意得，从而写出椭圆的方程即可；（2）易知直线斜率存在，令，，，，，将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得值，从而解决问题.【小问1详解】（1）由条件得，所以方程为【小问2详解】易知直线斜率存在，令，，，由，因为，所以，即-1-x1因为，所以，即-4-x1由①，由②将，代入上式，得18、（1）（2）【解析】（1）由焦半径公式可得，求解即可得答案；（2）由题意，直线AB斜率不为0，设，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及可得，从而可得直线AB恒过定点，进而可得定点在椭圆内部或椭圆上即可求解.【小问1详解】解：因为抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4，所以，解得，所以抛物线E的方程为；【小问2详解】解：由题意，直线AB斜率不为0，设，，由，可得，所以，因为，即，所以，所以，即，所以，所以直线，所以直线AB恒过定点，因为直线AB与椭圆恒有公共点，所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，所以.19、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，，0，，，，，从而，由此能证明共面（2）求出，0，，，，，由，能证明【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，，，则0，，0，，2b，，2b，，0，，为AB的中点，F为PC的中点，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题20、（1）；（2）①；②定点有两个，【解析】（1）由双曲线方程有、、，根据已知条件有，即可求离心率.（2）①由题设有，结合（1）求双曲线参数，写出双曲线方程即可；②由题设可设为，，，联立双曲线方程结合韦达定理求，，，，再由、的方程求，坐标，若在为直径的圆上点，由结合向量垂直的坐标表示列方程，进而求出定点坐标.【小问1详解】由题设，若，且，又△为等腰直角三角形，∴，即，则又，可得.【小问2详解】由题设，，由（1）有，则，即，①由上可知：双曲线方程为.②由①知：，且直线的斜率不为0，设为，，，联立直线与双曲线得：，∴，，则，∴，∴直线为；直线为；∴，，若在为直径的圆上点，∴，且，∴，令，则，∴，即，∴或，即过定点.【点睛】关键点点睛：第二问的②，设直线为，联立直线与双曲线，应用韦达定理求，，，，进而根据、的方程求，坐标，再由圆的性质及向量垂直的坐标表示求定点坐标.21、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）见解析【解析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元∴蓄水池的总建造成本为元所