Fisher-判别法及-主成分分析法-论文

地沟油的识别问题摘要本文要解决的问题是根据所给的油的成分，判断该油属于地沟油还是优质油，以及在保证一定的准确率的条件下，用最少的化验指标来判断该油的类别。问题一模型的建立，通过fisher算法，依次计算出了地沟油、优质油的样本均值，类内离散度矩阵和类间离散度矩阵，根据类间离散度矩阵与类内离散度矩阵的比值最大，求得最佳投影矩阵。利用样本数据与最佳投影矩阵的乘积与阈值进行比较，得出判定油类别的判别式。问题二根据第一问题中所建立的模型，通过matlab编写程序，与阈值进行比较后，得出最后的16组测试数据，前8组属于优质油，后8组属于地沟油。问题三即需要减少化验指标。因为影响油的类别的因素十分复杂，该题中给了7种判别油类别的成分，我们需要用为数极少的互补相关的新变量来反映原变量所提供的绝大部分信息。本题中我们采用了主成份分析法，依次求解出相关系数矩阵、特征值、特征向量、贡献率和累计贡献率，最后通过对综合比重数据的分析，得出将第4种成分、第6种成分和第7种成分作为化验指标比较合理。模型建立合理，结构清晰，逻辑性强，能够反映实际问题。本文要解决的问题是根据所给的油的成分，判断该油属于地沟油还是优质油，以及在保证一定的准确率的条件下，用最少的化验指标来判断该油的类别。本文要解决的问题是根据所给的油的成分，判断该油属于地沟油还是优质油，以及在保证一定的准确率的条件下，用最少的化验指标来判断该油的类别。对于问题一模型的建立，通过fisher算法，依次计算出了地沟油、优质油的样本均值，类内离散度矩阵和类间离散度矩阵，根据类间离散度矩阵与类内离散度矩阵的比值最大，求得最佳投影矩阵。利用样本数据与最佳投影矩阵的乘积与阈值进行比较，得出判定油类别的判别式。问题二根据第一问题中所建立的模型，通过matlab编写程序，与阈值进行比较后，得出最后的16组测试数据，前8组属于优质油，后8组属于地沟油。问题三即需要减少化验指标。因为影响油的类别的因素复杂的，该题中给了7种油的类别，我们需要用较少的新的变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量代替原来较多的变量所反映的信息。因此我们采用主成份分析法，依次求解出相关系数矩阵、特征值、特征向量、贡献率和累计贡献率，最后通过对综合比重数据的分析，得出将第4种成分、第6种成分和第7种成分作为化验指标比较合理。模型建立合理，结构清晰，逻辑性强，能够反映实际问题。关键字：fisher算法、主成分分析、地沟油、优质油一、问题重述问题背景近年来，我国许多地方都存在一个令人发指的问题——“地沟油”问题，这个问题可以说已经成为一个公开的“秘密”。有些人长期以倒卖“地沟油”为生，他们把这些地沟油经过化学处理后装入成品油流入餐桌，这些地沟油入餐桌严重威胁到我国公众的生命健康。“地沟油”事件频频发生，已震惊全国，其涉及范围之广，生产规模之大，出乎人们的想象。虽然我国有关部门经过严厉打击，但“地沟油”事件依然阴魂不散，据专家统计每年返回餐桌的地沟油达百万吨级。在利益的驱使下，“地沟油”制售从小作坊升级到大工厂，产业分工细化为掏捞、粗炼、倒卖、深加工、批发、零售等多个环节，“地沟油”生意不但打不死，甚至越做越大。这个事件背后折射出的政府监管缺失、立法体制不完善、社会道德缺失严重等等都是值得我们深思的。因此，怎么鉴别地沟油显得尤为重要。题目要求地沟油，泛指在生活中存在的各类劣质油，如回收的食用油、反复使用的炸油等。地沟油最大来源为城市大型饭店下水道的隔油池。长期食用可能会引发癌症，对人体的危害极大。下面一组数据（见附件1），分别是优质食用油（编号1-60）和地沟油（编号61-84）的7种化学物质成分的含量，请利用数据解决下面问题。本文要解决的问题（1） 建立判别地沟油的数学模型，并对你建立的模型进行评价。（2） 利用你所建立的模型对编号85-100的样品进行判别。（3） 化验7种化学物质含量花费较大，能否在保证一定的准确率条件下，减少化验指标数。二、模型的假设假设1：假设一组样本数据中有一种成分数值明显错误，该组的数据无参考意义假设2：本题中所给的数据真实假设3：假设采集的样本具有一定的参考价值假设4：各成分之间对判别结果的影响是相互独立的。假设5：样本数据是在相同条件下测得的。三、数据处理通过对前84组数据的分析，发现其中5组数据存在问题，我们利用题中所给的84组数据，测出油的类别的成功率为91.67%。当用每种成分的均值代替这5组有问题的数据后，重新计算成功率，依然为91.67%，因此我们还是用题中所给的数据进行计算，来判定油的类别。三、符号说明符号符号说明优质油的样本数据集合地沟油的样本数据集合i油中包含的每一种成分优质油中成分为i样本均值地沟油中成分为i样本均值优质油的样本均值矩阵地沟油的样本均值矩阵优质油的样本类内离散度矩阵地沟油的样本类内离散度矩阵总类内离散度矩阵类间离散度矩阵在最优方向上的投影最优投影方向向量θ分类阈值优质油中成分i的样本组数地沟油中成分i的样本组数R相关系数矩阵E单位矩阵e特征向量矩阵特征值l主成分载荷矩阵Q综合比重矩阵B1前四个主成份的贡献率矩阵c第四个主成分对应的累计贡献率符号符号说明优质油的样本数据集合地沟油的样本数据集合i油中包含的每一种成分优质油中成分为i样本均值地沟油中成分为i样本均值优质油的样本均值矩阵地沟油的样本均值矩阵优质油的样本类内离散度矩阵地沟油的样本类内离散度矩阵总类内离散度矩阵类间离散度矩阵在最优方向上的投影最优投影方向向量θ分类阈值优质油中成分i的样本组数地沟油中成分i的样本组数R相关系数矩阵E单位矩阵e特征向量矩阵特征值l主成分载荷矩阵Q综合比重矩阵B1前四个主成份的贡献率矩阵c第四个主成分对应的累计贡献率四、模型的建立及求解4.1问题（一）我们根据fisher算法建立模型。首先，分别求出优质油和地沟油的样本均值。然后根据离散度计算公式:计算出优质油和地沟油各自的类内离散度矩阵，进而求出总的类内离散度矩阵。接下来令类间离散度最大，总类内离散度最小来求得最佳投影方向向量的计算公式：。已知了最佳投影矩阵、优质油和地沟油的样本组数和两种油的均值矩阵，依据fisher算法，可知阈值θ。最后由投影公式计算出每组测试数据的投影与阈值θ作比较，可得出该组数据是属于优质油还是地沟油。4.1.1建立判别模型首先，根据样本数据得到两类油的样本数据集合及。1）优质油中成分为i的样本均值为：则优质油的样本均值向量为：同理：地沟油中成分为i的样本均值为：地沟油的样本均值向量为：2）优质油中样本的类内离散度矩阵：地沟油中样本的类内离散度矩阵：类内总离散度为：3）求出最佳投影方向上的向量，则需使得类内离散度最小，类间离散度最大，即：得最佳投影方向的向量为：4）阈值θ的计算方法为：5）测试数据xx在最佳投影向量上的投影为（），则判断测试数据xx属于优质油还是地沟油的判别式如下：4.2问题（二）通过问题一的分析可知，若要判断该油属于地沟油还是优质油，需要求出测试数据中每组数据在上的投影，然后将与进行比较，判断大小。通过Matlab编程，我们可以得出16组测试数据的和－。如果－大于等于0，该油属于优质油；如果小于0，则属于地沟油。得出的结果如表1所示：表1：判定结果－(＝0.6596)油的类别0.73520.0756优质油0.68600.0265优质油0.67040.0109优质油0.68680.0272优质油0.69980.0402优质油0.68070.0211优质油0.72100.0614优质油0.71560.0560优质油0.5939-0.0657地沟油0.6044-0.0552地沟油0.5551-0.1045地沟油0.5409-0.1186地沟油0.5561-0.1035地沟油0.5573-0.1023地沟油0.5674-0.0922地沟油0.5124-0.1472地沟油4.3问题（三）该问题要求在保证一定的准确率条件下，减少化验指标数，实际上就是一种降维的思想。在实际问题的研究中，往往会涉及众多有关的变量，但是变量太多会消耗大量资源，因此人们希望通过为数极少的互补相关的新变量来反映原变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的，这便是主成分分析法的思想。本题就采用了主成分分析法。4.3.1建立模型1）由题知每个样本有7个描述变量，记这些变量为。这些变量的协 方差矩阵即相关系数矩阵R为：为原来变量与的相关系数，其计算公式为：由于，所以R只需要计算其上三角元素或下三角元素即可。2）计算特征值和特征向量，根据特征方程求出并使其按从大到小顺序排列，即。根据关系式：可求出对应于特征值的特征向量。3)计算贡献率及累计贡献率，根据主成份分析法，主成份的贡献率为:累计贡献率：原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，方差越大，表示包含的信息越多，因此取累计贡献率达85－95%的特征值所对应的第一、第二、第三……，第p个主成分。4)计算主成份载荷：5）参考综合得分模型，计算出综合比重：Q＝l*B1/c综合比重的正负表示该变量对最后结果起到正影响或是负影响，比重绝对值越大，表明该成分对化验结果的影响越大。4.3.2求解模型根据建立的模型，通过主成份分析法，在matlab上编写程序，计算得到相关系数矩阵R如表2所示：表2：相关系数矩阵变量x1x2x3x4x5x6x7x11.00000.94270.0721-0.5673-0.0365-0.56780.4683x20.94271.00000.0382-0.50470.0228-0.53140.4103x30.07210.03821.0000-0.22340.08690.1001-0.0428x4-0.5673-0.5047-0.22341.00000.15690.8703-0.8173x5-0.03650.02280.08690.15691.00000.1547-0.1296x6-0.5678-0.53140.10010.87030.15471.0000-0.8268x70.46830.4103-0.0428-0.8173-0.1296-0.82681.0000由矩阵R计算出其特征值以及相应的特征向量如表3所示：表3：特征向量及特征值特征值特征向量0.05120.6923-0.18350.1094-0.3185-0.2863-0.32580.43080.0716-0.67200.16940.0278-0.2999-0.3574-0.36610.40900.17700.03280.25130.0559-0.19040.7898-0.52120.03010.85100.03280.70920.3203-0.1502-0.3271-0.0797-0.47191.01610.0322-0.0391-0.04120.7657-0.1968-0.6037-0.07911.2032-0.1735-0.59690.5319-0.2311-0.0290-0.2285-0.47353.6299-0.03350.11660.77260.33190.14140.25520.4394根据特征值和特征向量，求出R的贡献率如表4所示：表4：贡献率及累计贡献率主成份特征值贡献率（%）累计贡献率（%）F13.629951.855251.8552F21.203217.188869.0440F31.016114.515983.5599F40.851012.156995.7169F50.17702.528298.2451F60.07161.023499.2685F70.05120.7315100.0000由上表可知，第一、第二、第三、第四主成份的累计贡献率已经高达95.7%，故只取前四个主成分F1，F2，F3，F4即可。计算各变量在前四个主成分上的载荷得到主成分载荷矩阵及综合比重如表5：表5：主成分载荷矩阵及综合比重原变量主成分综合比重F1F2F3F4x10.8208-0.3573-0.2886-0.29380.2994x20.7792-0.4016-0.3602-0.27660.2602x30.0573-0.57170.7962-0.17570.0268x4-0.8991-0.0874-0.3297-0.1386-0.5704x5-0.1507-0.6622-0.19840.7063-0.1410x6-0.9021-0.2507-0.0292-0.2132-0.5652x70.83720.27990.14250.30610.5643通过对综合比重数据的分析可知，原变量x4、x6、x7的综合比重的绝对值较大，而其它原变量的综合比重较小，因此取变量x4、x6、x7作为化验指标比较合理。四、模型的建立及求解4.1问题（一）我们根据fisher算法建立模型。首先，分别求出优质油和地沟油的样本均值。然后根据离散度计算公式:计算出优质油和地沟油各自的类内离散度矩阵，进而求出总的类内离散度矩阵。接下来令类间离散度最大，总类内离散度最小来求得最佳投影方向向量的计算公式：。已知了最佳投影矩阵、优质油和地沟油的样本组数和两种油的均值矩阵，依据fisher算法，可知阈值θ。最后由投影公式计算出每组测试数据的投影，和阈值θ作比较，可得出该组数据是属于优质油还是地沟油。4.1.1建立判别模型首先，根据假设1删除了5组错误的样本数据，进而得到两类油的样本数据集合及。1）优质油中成分为i的样本均值为：则优质油的样本均值矩阵为：同理：地沟油中成分为i的样本均值为：地沟油的样本均值向量为：2）优质油中样本的类内离散度矩阵：地沟油中样本的类内离散度矩阵：类内总离散度为：3）因为需要求出最佳投影方向上的向量，需使得类内离散度最小，类间离散度最大，即：得最佳投影方向的向量为：4）阈值θ的计算方法为：5）测试数据xx在最佳投影向量上的投影为，则判断测试数据xx是否属于 优质油或者地沟油的判别式如下：其中，。4.2问题（二）通过问题一的分析可知，若要判断该油属于地沟油还是优质油，需要求出测试数据中每组数据在上的投影，然后将与进行比较，判断大小。通过Matlab编程，我们可以得出16组测试数据数据的，－。如果－大于0，该油属于优质油，如果小于0，则属于地沟油，否则不能判断。得出的结果如表1所示：表1：判定结果－(＝0.6596)油的类别0.73520.0756优质油0.68600.0265优质油0.67040.0109优质油0.68680.0272优质油0.69980.0402优质油0.68070.0211优质油0.72100.0614优质油0.71560.0560优质油0.5939-0.0657地沟油0.6044-0.0552地沟油0.5551-0.1045地沟油0.5409-0.1186地沟油0.5561-0.1035地沟油0.5573-0.1023地沟油0.5674-0.0922地沟油0.5124-0.1472地沟油4.3问题（三）该问题要求在保证一定的准确率条件下，减少化验指标数，实际上就是一种降维的思想。在实际问题的研究中，往往会涉及众多有关的变量，但是变量太多会消耗大量资源，而且这些变量包含信息量往往有重叠部分，因此人们希望通过为数极少的互补相关的新变量来反映原变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的，这便是主成分分析法的思想。本题就采用了主成分分析法。4.3.1建立模型1）由题知每个样本有7个描述变量，记这些变量为。这些变量的协 方差矩阵即相关系数矩阵R为：为原来变量与的相关系数，其计算公式为：由于，所以R只需要计算其上三角元素或下三角元素即可。2）计算特征值和特征向量：根据特征方程求出并使其按从大到小顺序排列，即。根据关系式：可求出对应于特征值的特征向量。3)计算贡献率及累计贡献率:根据主成份分析法，主成份的贡献率为:累计贡献率：原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，方差越大，表示包含的信息越多，因此取累计贡献率达85－95%的特征值所对应的第一、第二、第三……，第p个主成分。4)计算主成份载荷：5）参考综合得分模型，计算出综合比重：Q＝l*B1/c综合比重的正负表示该变量对最后结果起到正影响或是负影响，比重绝对值越大，表明该成分对化验结果的影响越大。4.3.2求解模型根据建立的模型，通过主成份分析法，在matlab上编写程序，计算得到相关系数矩阵R如表2所示：表2：相关系数矩阵变量x1x2x3x4x5x6x7x11.00000.94270.0721-0.5673-0.0365-0.56780.4683x20.94271.00000.0382-0.50470.0228-0.53140.4103x30.07210.03821.0000-0.22340.08690.1001-0.0428x4-0.5673-0.5047-0.22341.00000.15690.8703-0.8173x5-0.03650.02280.08690.15691.00000.1547-0.1296x6-0.5678-0.53140.10010.87030.15471.0000-0.8268x70.46830.4103-0.0428-0.8173-0.1296-0.82681.0000由矩阵R计算出其特征值以及相应的特征向量如表3所示：表3：特征向量及特征值特征值特征向量0.05120.6923-0.18350.1094-0.3185-0.2863-0.32580.43080.0716-0.67200.16940.0278-0.2999-0.3574-0.36610.40900.17700.03280.25130.0559-0.19040.7898-0.52120.03010.85100.03280.70920.3203-0.1502-0.3271-0.0797-0.47191.01610.0322-0.0391-0.04120.7657-0.1968-0.6037-0.07911.2032-0.1735-0.59690.5319-0.2311-0.0290-0.2285-0.47353.6299-0.03350.11660.77260.33190.14140.25520.4394根据特征值和特征向量，求出R的贡献率如表4所示：表4：贡献率及累计贡献率主成份特征值贡献率（%）累计贡献率（%）F13.629951.855251.8552F21.203217.188869.0440F31.016114.515983.5599F40.851012.156995.7169F50.17702.528298.2451F60.07161.023499.2685F70.05120.7315100.0000由上表可知，第一、第二、第三、第四主成份的累计贡献率已经高达95.7%，故只取前四个主成分F1，F2，F3，F4即可。计算各变量在前四个主成分上的载荷得到主成分载荷矩阵及综合比重如表5：表5：主成分载荷矩阵及综合比重原变量主成分综合比重F1F2F3F4x10.8208-0.3573-0.2886-0.29380.2994x20.7792-0.4016-0.3602-0.27660.2602x30.0573-0.57170.7962-0.17570.0268x4-0.8991-0.0874-0.3297-0.1386-0.5704x5-0.1507-0.6622-0.19840.7063-0.1410x6-0.9021-0.2507-0.0292-0.2132-0.5652x70.83720.27990.14250.30610.5643通过对综合比重数据的分析可知，原变量x4、x6、x7的综合比重的绝对值较大，而其它原变量的综合比重较小，因此取变量x4、x6、x7作为化验指标比较合理。五模型分析在本模型中，对于问题一的建模，我们用fisher算法建立模型，首先求出最佳投影矩阵，其次求出阈值θ。根据计算出的数据在最佳投影向量上的投影得出的结果与θ比较大小，所得结果比θ大，则为优质油，比θ小则为地沟油，否则不能判定属于哪种油。问题二可根据问题一建立的模型直接求出。对于问题三，我们通过主成分分析的方法，最终计算出综合比重。通过综合比重的绝对值的大小来判断哪些成分作为化验指标比较合理。通过spss软件计算得到的主成份的特征值和累计贡献率如表6：表6：spss软件计算出的特征值和累计贡献率特征值贡献率累计贡献率F13.66352.32752.327F21.18516.93269.258 F31.05815.11884.377F40.78411.20295.578F50.187 2.67498.252F60.0690.983 99.235F70.0540.765100.000 经过对比，运用主成份分析法所计算的特征值、贡献率和累计贡献率与spss软件计算出的结果差别较小，因此可以验证模型的正确性。本题采用了fisher算法和主成分分析的方法，所建立的模型结构清晰明了，实用性强。六、模型的误差分析本题中我们首先对数据进行处理分析，前84组数据中有5组数据较大，为了验证这五组数据能否参与计算，我们首先用题中的84组数据计算判定油属于哪种类别的成功率，然后用均值代替这5组数据重新计算成功率，经过对比，发现两者的成功率相同。因此，通过分析，这5组数据能够参与计算，以此来减少因改变实验数据带来的误差。删掉了五行较其它数据相比明显错误的数据，减少了样本的数量，会使最终结果精确度降低。其次，样本数据有限，在进行计算时会导致误差。在运用此模型对数据进行计算的过程中，采用四舍五入，会对结果产生一定的误差。最后，在利用综合比重对化验指标进行判定时，我们只取了前三个绝对值较大的数据对应的成分作为化验指标，也会对结果产生误差。七、模型的评价与推广7.1模型的优点1．建立的模型结构清晰，并且在操作中切身可行。2.该模型的实用性强，对日常生活有较强的指导意义。3.模型中采用spss等软件进行数据分析，所得的数据误差较小，数据准确合理。4.本文在建立模型过程中充分考虑了各个因素的影响，得出了最佳的模型。5.将数据公式化，使模型的建立更加准确。6.本文逻辑性强，易于理解和运用7.2模型的缺点1.本文运用的算法比较复杂，不利于理解。2.样本数据有限，在进行计算时会导致误差。八、模型的改进与推广本文只通过一组试验数据分析得出结果，会有误差，所以在此基础上，用多组数据分析，会更好的减小误差，也可以对做模型进行进检验。本文之采用了一种方法来判定油的类别，如果能用更多的方法计算，然后对比，可以减少实验的误差，提高实验的准确性。在问题一中模型详细叙述了判定油属于哪种类别以及同类问题的过程和方法，在问题二中运用主成分分析方法，讲述了怎样利用最少的化验指标来判别油的类别。这两种方法逻辑清晰，在实际问题中，具有较大的参考价值。九、参考文献[1]模式识别方法及其比较分析，信阳农业高等专科学校学报：第14卷第3期2004年9月;[2]主成份分析方法在多因素经济分析评价中的应用，北京邮电大学学报（社会科学版）：第2卷第2期2000年5月[3]基于主成份分析方法的风险投资项目评估模型，科技进步与对策：3月号2004十、附件附录一：编号成分1成分2成分3成分4成分5成分6成分7118.1225.6118.8727.8624.2126.6681.94212.4022.2318.1626.7819.4128.5177.57313.2722.6115.6031.0425.9729.7975.10418.3124.5720.4423.3723.0728.8880.32516.6323.9422.3723.0522.7429.6077.79618.3624.8616.3530.6440.1027.7484.46716.8924.0223.9724.9119.3527.9184.06813.5021.7817.4528.6422.7328.2078.93913.0821.8217.2428.4038.5626.1875.251017.9824.4415.2228.1616.3531.2781.711112.4921.4515.5530.1426.2128.0183.371219.4425.7415.0527.8916.7629.5884.711317.9625.9119.1027.1228.9826.0375.571416.08130.4522.9523.6624.9025.5379.501515.0123.0819.6327.6526.7827.7980.821616.3722.9220.6524.2521.3827.4281.871728.2030.5022.1624.8624.4230.7582.191814.5823.5510.2634.3031.5429.3981.50199.1819.1017.4825.909.8029.2482.272022.1727.7419.0926.4213.5324.6878.742117.2823.5820.2227.9625.4125.7780.822212.5821.8813.9630.3019.2028.4676.162324.7928.6414.8828.8921.2827.2075.582417.0624.1420.4525.8814.3230.9784.802516.1024.8217.6426.8217.7531.0877.852612.0923.0019.7126.4220.66230.8780.952711.0221.0315.0229.0718.7930.0184.62288.3818.5612.9430.8717.9731.2176.862913.4221.9920.3625.9520.5528.7476.933011.0620.5121.7026.4317.5331.7378.423117.4223.8323.0623.8630.7830.4484.333213.8121.7713.2533.4217.2728.4978.913321.6226.4513.8626.8033.5430.0277.733420.6527.0613.4329.7720.8328.4576.523515.6122.9317.8727.4914.5827.0578.973613.9422.3016.0927.0719.4128.8278.753719.3125.8522.0721.7328.4228.0876.313810.7121.4513.4931.5129.1227.1679.353917.5224.5612.6032.1923.9332.0775.924012.5022.2718.6426.9924.6728.5181.154113.5022.7021.7024.8126.6734.2875.114212.49240.0015.5127.4614.5427.3280.734317.1524.3414.0829.1919.6329.3082.904412.0921.3417.5427.1812.3931.6477.354511.0220.4612.9329.7620.4034.2879.484617.0724.4118.0527.5128.5128.7080.694713.4222.2220.5728.9827.1626.1875.614816.3523.5918.6725.6736.2729.8579.964913.6822.4812.0832.6423.9724.9681.425016.0124.0616.3426.5510.4927.3777.21515.4018.2817.0629.9632.8028.6383.375216.7424.0023.6221.0530.4431.4384.715323.3429.7914.9717.2422.6714.8693.465418.9225.6316.7215.1428.9519.1290.065521.7929.8016.2716.6913.7712.6787.795618.0324.6716.1516.3927.0416.6792.475720.9927.7817.0515.44219.0016.0087.375824.7830.7116.2216.0615.1214.8794.575919.4725.1916.2515.5526.8816.6191.206018.0924.8717.7214.2023.0214.8191.006117.4925.7317.9314.1019.2117.2986.736221.1628.2019.8810.3135.2716.1085.906323.0327.7517.3614.7425.6313.5487.556425.4132.7217.0715.7620.1612.3693.596519.1625.0516.3215.7123.1115.5794.116619.4925.2016.7716.7121.6617.7292.006717.0922.5716.9415.5822.3216.2792.256823.8629.1314.9217.0824.4516.0887.306918.7724.2916.7015.2216.4117.0390.767017.5722.30238.1213.7014.9413.9193.117125.5931.7816.3216.0223.7418.1489.047221.4427.8717.5814.9935.3314.6694.887321.1627.6418.1713.3418.6716.0685.907415.9721.3318.2713.9113.3015.4588.217520.3126.2317.9215.5119.1916.2290.117620.5726.7914.3319.0217.3213.0885.617715.7122.0016.3316.5418.5118.2992.267818.3226.0718.0712.9924.6116.8290.577917.7824.5317.4713.9620.0119.0190.298020.5926.3517.0115.2116.4818.1393.308115.9622.4917.5214.3017.6316.0293.598222.2928.2918.3411.9310.9514.5992.898324.3828.4217.1813.4014.4713.3988.188418.0820.6416.1017.0010.2616.0389.528512.9423.0416.0928.9025.3429.6682.528610.6619.6614.6729.1829.9226.0576.108712.1721.3918.9124.0713.2326.1776.108813.7921.1621.2323.9025.4029.6777.708910.2020.5421.5922.2825.9131.8880.259014.9221.8117.2125.7123.4827.1184.739116.3623.1117.9329.6223.9226.8482.109211.1520.6217.2527.4619.9428.9488.129322.2328.7815.9517.668.7115.4987.919421.9230.0717.1015.6921.1414.6193.509519.8125.2016.2914.6417.7616.0194.129617.0921.9916.5614.995.5417.7191.399720.9025.7