北京市2022-2023学年上学期高二期末数学试题汇编-12等比数列（含解析）

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一、单选题

1．（2023春·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，则其前n项和（）

A．B．C．D．

2．（2023春·北京房山·高二统考期末）设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2023春·北京顺义·高二统考期末）已知为等比数列，下面结论中正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．D．

4．（2023春·北京顺义·高二统考期末）某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（）

A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8

5．（2023春·北京海淀·高二统考期末）已知为等比数列，公比，则（）

A．81B．27C．32D．16

6．（2023春·北京西城·高二统考期末）某钢厂的年产量由2023年的40万吨增加到2023年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2023年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（）

A．80万吨B．90万吨C．100万吨D．120万吨

7．（2023春·北京西城·高二统考期末）在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（）

A．6B．3C．4D．2

8．（2023春·北京丰台·高二统考期末）设等比数列的公比为q，前n项和为.若，则（）

A．B．C．2D．8

9．（2023春·北京丰台·高二统考期末）如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（）

A．121B．122C．123D．124

10．（2023秋·北京通州·高二统考期末）在等比数列中，，，则数列的前5项和为（）

A．40B．80C．121D．242

二、填空题

11．（2023春·北京房山·高二统考期末）在各项均为正数的等比数列中，若，则．

12．（2023春·北京怀柔·高二统考期末）已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则.

13．（2023春·北京西城·高二统考期末）在等比数列中，若，，则．

14．（2023秋·北京·高二校考期末）已知等比数列的公比，且，则使成立的正整数的最大值为.

15．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，恒成立，则q的值可以是．（只需写出一个）

16．（2023春·北京石景山·高二统考期末）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；②为等比数列；

③为递减数列；④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是．

三、双空题

17．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，前项乘积为，，，则公比；满足的正整数的最大值为．

18．（2023春·北京·高二北大附中校考期末）在等比数列中，若则公比；

.

四、解答题

19．（2023春·北京房山·高二统考期末）设数列是等差数列，记其前n项和为．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前n项和．

条件①：，；

条件②：，．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．（2023春·北京海淀·高二统考期末）已知等差数列前项和为，满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

21．（2023春·北京顺义·高二统考期末）已知为等差数列，为其前项和．若，设．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设，求数列的前项和．

22．（2023春·北京丰台·高二统考期末）数列的前n项和为，其中.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：

(1)求的通项公式；

(2)设，求.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分.

参考答案：

1．A

【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式求解作答.

【详解】数列的通项公式为，则，即数列是首项为2，公比为3的等比数列，

所以.

故选：A

2．C

【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案.

【详解】由题设且，则，

若为递减数列，故，则，充分性成立；

若，则，易知为递减数列，必要性也成立；

所以“为递减数列”是“”的充分必要条件.

故选：C

3．D

【分析】对于AB，利用等比数列的通项公式分析判断，对于CD，利用等比数列的通项公式结合基本不等式分析判断即可.

【详解】设等比数列的公式为，

对于A，若，则，得，所以或，

所以或，所以A错误，

对于B，若，则，即，

所以，则其正负由的正负确定，所以B错误，

对于C，，当同正时，，当且仅当时取等号，当时，所以C错误，

对于D，因为，当且仅当时取等号，所以D正确，

故选：D

4．B

【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案.

【详解】存入元（大额存款），按照复利，

可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，

所以，可得.

故选：B.

5．A

【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.

【详解】根据可得，所以或，

若，则不符合要求，

若，则符合要求，故，

故选：A

6．B

【分析】利用等比数列的通项公式求解.

【详解】设年平均增长率为，由已知条件可知，各年的产量成等比数列，记为，首项为2023年的产量，公比，

所以2023年的年产量为，解得，

则该钢厂2030年的年产量为万吨，

故选：.

7．A

【分析】由题可得，即可得答案.

【详解】由题，，则.

故选：A

8．C

【分析】根据等比数列求和公式，然后相比即可求答案.

【详解】当时，因为，所以，不成立.

当时，因为，所以，

两式相除得，

所以.

故选：C

9．A

【分析】根据已知，利用构造法以及等比数列求数列的通项，再根据选项进行计算求解.

【详解】因为，所以，

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，

所以，所以，

对于A，当时，，解得，故A正确；

对于B，当时，，此时，故B错误；

对于C，当时，，此时，故C错误；

对于D，当时，，此时，故D错误.

故选：A.

10．C

【分析】先计算等比数列的首项和公比，再代入前n项和公式计算即可.

【详解】因为，

所以公比，首项.

则前n项和,

所以数列的前5项和为.

故选：C.

11．

【分析】由等比数列的性质求解即可.

【详解】由可得：，

则，因为等比数列的各项均为正数，

则.

故答案为：

12．2

【分析】依题意可得，再根据通项公式计算可得.

【详解】因为，所以，即，

所以.

故答案为：

13．

【分析】利用等比数列的通项公式求解.

【详解】设等比数列的公比为，

由已知条件得，

，

以上两式相比得，

则，

故答案为：.

14．

【分析】根据等比数列通项代入等式化简得，再分别求出数列和的前项的和，代入不等式即可求出的范围，则得到其最大值.

【详解】解：因为等比数列的公比，且，

所以，整理得:，解得，

因为为等比数列，

所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以原不等式等价为:①，

因为，

所以，将其代入①式整理得:，解得，

由，所以正整数的最大值为，

故答案为：

15．-3（答案不唯一，即可）

【分析】根据已知可推出恒成立，进而得到，.

【详解】由可得，恒成立，

因为，显然有，

又，所以，.

故答案为：-3.

16．①③④

【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.

【详解】由题意可知，，，

当时，，可得；

当时，由可得，两式作差可得，

所以，，则，整理可得，

因为，解得，①对；

假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，

所以，，可得，解得，不合乎题意，

故数列不是等比数列，②错；

当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；

假设对任意的，，则，

所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

17．210

【分析】设等比数列的公比为（），然后由题意列方程组可求出，再由解不等式可求出的范围，从而可正整数的最大值.

【详解】设等比数列的公比为（），

因为，，

所以，，

因为，

所以，所以，即，

所以代入，得，

解得或（舍去），

所以，则，

所以，

，

所以由，得，

所以，

所以，

所以只要，即，

解得，

所以满足的正整数的最大值为10，

故答案为：2，10.

18．2

【分析】利用等比数列通项公式和求和公式直接求解

【详解】：由是等比数列得，又所以

故答案：2；

19．(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）选条件①，利用等差数列通项及前n项和公式列出方程组求解即可；选条件②，求出数列首项求解作答.

（2）由（1）的结论，再利用等比数列前n项和公式求和作答.

【详解】（1）选条件①，设等差数列的公差为，由，，得，

解得，因此，

所以数列的通项公式是.

选条件②，由，得等差数列的公差，由，得，

所以数列的通项公式是.

（2）选条件①，由（1）知，，则，显然数列是等比数列，首项、公比均为4，

所以数列的前n项和.

选条件②，由（1）知，，，显然数列是等比数列，首项为4，公比为2，

所以数列的前n项和.

20．(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解；

（2）根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解.

【详解】（1）设等差首项和公差分别为，

由得，

所以；

（2）设等比首项和公差分别为，

若选①②，由得；

由得，

所以公比为，故，

故，

故；

若选②③，

由可知公比不为1，所以，

由得，

所以，

故，

故；

若选①③，由可知公比不为1，所以，

由得；

所以，

故，

故.

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，则由可求出公差，从而可求得，则可得，然后计算即可得结论；

（2）由（1）可得，然后利用分组求和法可求得.

【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，则通项公式为，

又，则

即数列是等比数列，公比为2，首项．

（2）由（1）知数列是等比数列，公比为2，首项

数列的