高一数学上半学期复习提纲

复习提要第二章不等式2.1不等式的基本性质1、两个实数a与b之间的大小关系2、不等式的基本性质：传递性：如果那么加法的单调性：如果那么即不等式两边同时加上或减上同一个数，不等号方向不改变。不等式的乘法单调性：如果那么如果，那么即不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不改变。不等式两边同时乘以或-除以同一个负数，不等号方向要改变。同向不等式相加：如果，那么。即同向不等式相加，不等号方向不变。正数同向不等式相乘：如果那么。倒数性质：：如果a>b>0那么。如果，那么如果两数同正，那么大的倒数反而小，且倒数都为正。如果两数同负，么大的倒数反而小，且倒数都为负性质：如果a>b>0，那么性质：如果a>b>0，那么。重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)2.2、一元二次不等式的解集当 时二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象y=ax2+bx+cy=ax2+bx+cy=ax2+bx+c一元二次方程有两相异实根x1、x2，(x1<x2)有两相等实根无实根ax2+bx+c>0（a>0）的解集（-，x1）(x2，+)(-，-)(-，+)Rax2+bx+c≥0（a>0）的解集（-，x1］［x2，+)RRax2+bx+c<0（a>0）的解集(x1，x2)ax2+bx+c≤0（a>0）的解集［x1，x2］{x1}注意：解一元二次不等式先考虑的系数是否为正，若为负则两边同乘以—1将系数变为正，同时不等号方向改变。2、再看能否因式分解，若不能则算出，并结合图像。，解出不等式的解。一元二次不等式的考法：3、其他的不等式解法一、分式不等式四种主要类型1、（注意前面的系数是否为正若为负要先变正）2、3、（1）、（若分母的正负不能判定）则先移项，再通分（2）转化为4、（1）、（若分母的正负不能判定）则先移项，再通分为例题：（可看课本）二、绝对值不等式绝对值的代数意义：（能通过零点去掉绝对值）绝对值的几何意义：表示实数X在数轴上所对应的点到原点的距离。（注意解决关于含有绝对值的题目一般是先考虑去掉绝对值可通过零点或是几何意义去掉绝对值，通过零点或几何意义去掉绝对值后往往能将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，（这就是数学里所强调的转化思想）。绝对值不等式：、 R若若2、若3零点分段法（若不等式中出现了两个或两个以上的绝对值往往用零点分段法去掉绝对值）例题：2.4、基本不等式：基本不等式1：应注意四点：①形式上左边是两个完全平方数的和，右边是积的形式②、③当且仅当时等号成立④逆向使用公式基本不等式2：应注意四点①形式上左边是两数之和，右边是两数之积几何平均数的形式②、③当且仅当时等号成立④逆向使用公式⑤变形使用为：（自己可用做差法证明一下）注意1、运用基本不等式在用的时候不要拘泥于,两个字母。一般来说，只要满足两个基本不等式的形式和条件，,两个字母可任意用数（式）去代换如：题型归纳：（可看相应内容自己的笔记本）第三章函数3.1函数的定义一、函数的定义：两个变量、，如果对于D（D）内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与对应，那么就是的函数，记做，,叫做自变量，叫做因变量。2、定义域：的取值范围D叫做定义域，定义域是非空集合，必须用区间或集合的形式来表示。3、函数值：和的值对应的值叫做函数值。值域：函数值的全体组成的集合叫做值域，值域是集合，必须用区间或集合的形式来表示。说明：(1)定义域D是实数集R的一个非空子集；(2)重点字句：每一个确定的，唯一确定的；(3)f表示一种对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样；4、.函数的三要素：定义域、值域和对应法则。(1)函数的定义域是函数的重要组成部分，如果两个函数的定义域不同，不论对应法则相同与否，都是不同的函数。如:是不同的两个函数.(2)对应法则是函数的核心.一般地，在函数y=f(x)中，f代表对应法则，x在f的作用下可得到y，因此f是使对应得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，从而是函数的核心，f有时可用解析式来表示，有时只能用数表或图象表示.(3)当x=a时，函数y=f(x)的值f(a)叫做x=a时的函数值，函数值的全体称为函数的值域.一般地，函数的定义域与对应法则确定后，函数的值域也就随之确定了.（其实只需定义域、对应法则二要素分别相同即可）二、运用：1、函数的定义域如何求：函数的基础是函数的定义域，研究函数的任何一条性质，都离不开函数的定义域.函数的定义域一般由问题的实际背景而定，一般分四种情况（1）使实际问题具有实际意义（如买本子只能一本本的买那么在这个背景下定义域必须是正整数），往往用于求应用题中的函数定义域。(2)若已给函数的解析式则定义域是指是这个式子有意义的实数的集合，目前有以下几点①、偶次根式下被开方数非负；②、分母不为零；③、零次幂的底数不为零：（3）若函数解析式是几个函数式子的和或积则定义域是这几个函数式定义域的交集。2、如何判断同一函数：（1）如果有两个函数它们的定义域、值域和对应法则都相同，那么这两个函数是同一函数．（2）如果他们的图像完全相同则为同一函数。说明：1)对于两个函数y＝f（x）和y＝g（s）当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，那么不论表示自变量和函数所用的字母是否相同，则y＝f（x）和y＝g（x）表示同一函数．若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同；反之亦然．2)对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数．3、、如何判断图像为函数图像：（抓住一个对应一个）即在图像上过定义域中的任何一个点作垂直于轴的直线，它与图像只有一个交点的，则图像为函数图像，若有两个或两个以上的交点，则不是函数图像。3.2函数的关系式：3.3函数的运算一、和函数的定义：已知两个函数与则和函数为（1）定义域取两个函数的交集D=，（2）解析式相加二、积函数的定义：已知两个函数与则和函数为（1）定义域取两个函数的交集D=，（2）解析式相乘3.4偶函数与奇函数一、偶函数的定义：若对于函数的定义域D内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数。二、偶函数的性质：①定义域关于原点对称②③偶函数的图像关于轴对称④偶函数在对称的定义域内单调性相反⑤（即绝对值加在自变量上）是偶函数。三、、奇函数的定义：若对于函数的定义域D内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数。四、奇函数性质：①定义域关于原点对称②③图像关于原对称（即图像关于原点逆时针旋转180度会重合）④奇函数在对称的定义域内单调性一致⑤奇函数函数的奇偶性是研究函数的对称性研究的是函数的整体。五运用：判断函数的奇偶性的方法：①、（把图表画出）②、利用函数的图像③、利用函数的性质：在公共的定义域内奇函数奇函数=-奇函数，.偶函数偶函数=偶函数奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数。奇函数偶函数=奇函数（用于做填空、选择题）3.5与函数有关的函数的图像一、与函数有关的对称：1、的图像与的图像关于对称，2、的图像与的图像关于轴对称。3、的图像与的图像关于原点对称。二、如何通过的图像画与的图像1、如何通过的图像画出其步骤是：（因为绝对值加在自变量上，所以对于定义域关于原点对称的前提下有即是偶函数）①当可以去掉绝对值即画出的图像取轴右半部分（因为）②再把右边的图像沿轴翻折是偶函数)2通过的图像画出其步骤是：①先画出的图像②保留轴的上半部分的图像，轴下半部分沿轴翻折上去。如：函数的大致图象是3、如何通过的图像画出的图像：将图像通过左加右减平移得到（注意左右平移也可逆向即通过的图像得到的图像）举例：4、如何通过的图像画出的图像：将图像通过上加下减平移得到（注意上下平移也可逆向即通过的图像得到的图像）举例：*（注意不管是上下平移还是左右平移如果图像有渐近线的话，渐近线一定要跟着平移）3.6函数的单调性一、函数的单调性定义：1、単调增函数定义：函数，定义域，给定区间，对于任意的，若，有，则函数在区间I上是单调递增函数，2、単调减函数的定义：函数，定义域，给定区间，对于任意的，若，有，则函数在区间I上是单调递减函数：如果函数f(x)在某个区间上是增函数或者减函数，那么就说函数f(x)在这个区间上是单调函数，这个区间叫做函数f(x)的单调区间。）注：函数的单调性是指函数在某个区间上的单调性，一个函数在定义域上可以有多个增减性不同的单调区间。函数的单调性是研究函数图像在某个区间内随着的增大图像上升或下降，若上升则在该区间内为增函数，若图像下降，则在该区间内为减函数。函数的単调性是针对某些区间它是局部的性质。二、模型函数的单调区间记住下列函数的单调区间：一次函数：：时，在为增区间，时，在为减区间，反比列函数：：当时，在，为减区间。（注意不能写成为减区间）当时，在，为增区间二次函数：（二次函数的单调性与对称轴有关）若：则在单调递减，在单调递减增。（即在对称轴的左边减右边增）若：则在单调递增，在单调递减减。（即在对称轴的右边减左边增）4、耐克函数：（（要求画出图像）在为增区间，在减区间。5函数（），在，为增区间。三、性质：1、偶函数在对称的定义域内単调性是相反的。奇函数在定义域内单调性是一致的。2、（1）若函数是增函数，定义域是，是增函数，定义域是，，则在D内+=增函数（即增函数+增函数=增函数。（2）若函数是减函数，是减函数，在公共的定义域内，+=减函数（即减函数+减函数=减函数）变形：（3）若函数是减函数，是增函数，在公共的定义域内-为减函数（4）、若函数是增函数，是减函数，在公共的定义域内-为增函数。（5）若是增函数，则-是减函数、四、运用：、1、若在题目的条件中已知函数是增函数，且已知，则，若已知则推出2、若在题目的条件已知函数是减函数，且已知，则注意：若已知有则推出。运用题型是：（1）已知抽象函数单调性通过自变量的大小关系来判断函数值的大小关系。如：（2）已知抽象函数单调性通过函数值的大小关系，得到自变量的大小关系从而求出未知数的范围。如：2、如何判断函数的单调性:①根据定义证明：②图象法（用来做填空选择）：判断下列函数单调性并写出函数的单调区间例1：y=|x|yx∈（-∞，0），y=|x|是减函数；x∈[0，+∞]，y=|x|是增函数ox例2：y递增区间：[-2，2]和[3，5]递减区间：[-5，-2]和[2，3]-5-20235x注意：不能写成递增区间：[-2，2]∪[3，5]的形式。③根据模型函数求单调性（用来做填空选择）：如④根据函数的性质（用来做填空选择）：3、复合函数求单调区间：解题思路是：第一步用换元法将复合函数分离为内层函数和外层函数，第二步：在定义域内求内层函数的单调增和减区间，第三步：再写出外层函数的单调性，第四：根据口诀：这些口诀概括为：同增异减.16、（1）最小值定义：一般地，设函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果对于定义域内任意x，不等式f(x)≥f(x0)都成立，那么f(x0)叫做函数y=f(x)的最小值，记作=f(x0)；（2）最大值定义：如果对于定义域内任意x，不等式f(x)≤f(x0)都成立，那么f(x0)叫做函数y=f(x)的最大值，记作=f(x0)。说明：1.从形的角度看，在函数定义域内图象的最高(低)点即为最值点的纵坐标.2.函数的最值与函数的值域之间有密切的联系.运用：17、求最值的几种方法：（1）运用不等式的基本性质，（2）利用单调性（3）用换元法（4）用基本不等式或耐克函数（5）用图像（6）用反表示法注这几种方法是求最值的基本方法，要求记住，若是碰到到求最值，方法一般是从里面挑一种，对于什么方法求什么类型函数的最值一定要牢记与心，希望各位的笔记本上每一种方法空用一张纸，做最值题时有意识的把题目进行分类，写在相应的方法下。18、分式函数求最值：（1）1、函数的零点：对于函数y=f(x)(x∈D)，如果存在实数c（c∈D），当x=c时，f(c)=0，那么就把x=c叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。注：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的解，也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。2、函数的零点存在的条件：如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域D内的一个区间[a,b]上的图像是一段连续的曲线，且有f(a)•f(b)<0，那么在区间[a,b]内至少有一个实数c，使f(c)=0，也就是在[a,b]内，函数y=f(