一类集合的构造

一类集合的构造

1差3种运算所产生的最小部分集在本文中，我们介绍了集合宇宙中的过程、集合的基本过程以及新集合的结构。设X是拓扑空间,A⊂X,A的补集,内部,闭包分别记A′,A0,A-其定义见,又(A′)-简记为A′-。其余类推,用Z+表示正整数集。本文将给出一个结论:对于任何拓扑空间中的任何子集A,经过取补集、闭包、内部3种运算后再进行并,交,差3种运算最多能产生2214-1个个不同的集合。引理1设X是拓扑空间,A⊂X,,则下列等式成立:1)A--=A-2)A-′-′-′-=A-′-3)A′-′-′-′-=A′-′-4)(A∪B)′=A′∩B′5)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6)A∩A′=∅7)(A∩B)′=A′∪B′8)A∩(B∩C)=(A∩B)∩C9)A0=A′-′10)A∪A′=X11)A′′=A12)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)13)A∪(B∪C)=(A∪B)∪C(注:产生的新集合用Ai(i∈Z+)表示)定义1设A1,A2…,An是全集合U的子集,形为∩i=1nAi∩i=1nAi的集合称为由A1,A2…,An所产生的最小部分集,其中每个Ai或A′i。例,由集合A,B,C所产生的全部最小部分集为A∩B∩C,A∩B∩C′,A∩B′∩C,A∩B′∩C′,A′∩B∩C,A′∩B∩C′,A′∩B′∩C。引理2n个集合所产生的最小部分集最多为2n-1个。(n∈Z+,k∈Z+)。证明由数学归纳法证明1n.1时，当n.1时，最大最小值的最小组件将合并为1，并可描述为21-1如图1。2n.2时，将生成的最小最多部分组为三个，可以表示为22-1如图2。3n.3时，将生成的最小部分组为7个，可以表示为23-1如图3。4最小部分集的生成那么当n=k+1时,由4)可知。k个集合最多可以产生2k-1个最小部分集。要得到k+1个集合产生的最小部分集,则可增加一个集合与产生的2k-1个集合作交集得到。由图1～3看出,当添加一个集合与原部分作交集时,添加的集合把原来的集合分成2个部分,且多出相交以外的部分,即如图2的第3部分和图3的第7部分。则由上述可知,当n=k+1是最多能产生的最小部分集数为2(2k-1)+1个。即2k+1个。所以,当n=k+1时,所产生的最小部分集最多为2k+1-1个。引理3由A1,A2…,An产生的每个非空集合恒可以表示为由A1,A2…,An所产生的不同最小部分集的并集。2主要结果定理1设X是任意拓扑空间,A⊂X,,则A经过取补集,闭包,内部运算可产生14个集合。证明分3种情况讨论:1以aaa为a,a-------------------------------------------------------------------------------------------------------------对A2进行闭包,补集,内部运算:∵A0-=A′-′-,A0′=A′-′′=A′-,A00=A0=A′-′∴可能产生的新集合为:A2=A0=A′-′,A3=A′-′-,A4=A′-对A2、A3、A4进行闭包、补集、内部运算:∵A′-′-=A3,A′-′′=A′-=A4,A′-′0=A′-′′-′=A00=A0=A′-′=A2,A′-′--=A′-′-=A3,A′--=A′-=A4,A′-′=A2,A′-0=A′-′-′∴可能产生的新集合为:A5=A′-′-′,A6=A′-′-0=A′-′-′-′对A5、A6进行闭包、补集、内部运算:∵A′-′-′′=A′-′-=A3,A′-′-′0=A′-00=A′-′-′=A5,A′-′-′-′-=A′-′-=A3,A′-′-′-′′=A′-′-′-=A′-′-′-′0=A′-′-′-′∴可能产生的新集合为:A7=A′-′-′-对A7进行闭包、补集、内部运算:∵A′-′-′--=A′-′-′-=A7,A′-′-′-′=A6,A′-′-′-0=A′-′-′=A5∴不会产生新的集合由上述,对A先作内部运算,再任意进行闭包、补集、内部运算可能产生的新集合如下:——A′-′——A′-′-——A′-——A′-′-′——A′-′-′-——A′-′-′-′2a-a,a------1、b---、a------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------对A8进行补集、闭包、内部运算:∵A--=A-=A8,A-0=A-′-′∴可能产生的新集合为:A9=A-′,A10=A-′-′对A9、A10进行补集、闭包、内部运算:∵A-′′=A-=A8,A-′0=A-′′-′=A-′=A9,A-′-′′=A-′-=A-′-′0=A-00=A-0=A-′-′=A10∴可能产生的新集合为:A11=A-′-,A12=A-′-′-对A11、A12进行补集、闭包、内部运算:∵A-′-′=A10,A-′--=A-′-=A11,A-′-0=A-′-′-′,A-′-′--=A-′-′-A12,A-′-′-0=A-′-′=A10∴可能产生的新集合为:A13=A-′-′-′对A13进行补集、闭包、内部运算:∵A-′-′-′′=A-′-′-=A12,A-′-′-′-=A-′-=A11,A-′-′-′0=A-′-0=A-′-′-′=A13∴不会产生新的集合;由上述,对A先作闭包运算,再任意进行补集、闭包、内部运算可能产生的新集合如下:A-——A-′——A-′-——A-′-′——A-′-′-——A-′-′-′3定理2:2n个集合最多能生成21n-1个互补相同对A14进行闭包、补集、内部运算:∵A′-=A4,A′′=A=A1,A′0=A′′-′=A-′=A9∴不会产生新的集合。定理2n个集合经过交、并、差3种运算最多能生成22n-1个互