排列组合初步

学习奥数的优点学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的爱好，更容易让学生体验成功，树立自信。2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使通过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。3、锻炼学生优良的意志品质。能够培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。能够养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和发明力的最大空间。 学科培优数学 “排列组合初步”学生姓名授课日期教师姓名授学时长知识定位理解加乘原理的根本，分辨何时使用加法原理、何时使用乘法原理知识梳理一、乘法原理：我们在完毕一件事时往往要分为多个环节，每个环节又有多个办法，当计算一共有多少种完毕办法时就要用到乘法原理.乘法原理：普通地，如果完毕一件事需要n个环节，其中，做第一步有m1种不同的办法，做第二步有m2种不同的办法，…，做第n步有mn种不同的办法，则完毕这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的办法．乘法原理运用的范畴：这件事要分几个彼此互不影响的独立环节来完毕，这几步是完毕这件任务缺一不可的，这样的问题能够使用乘法原理解决．我们能够简记为：“乘法分步，步步有关”.二、加法原理：无论自然界还是学习生活中，事物的构成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途径，每一类途径往往又包含多个办法，如果要想懂得一共有多少种解决办法，就需要用到加法原理.加法原理：普通地，如果完毕一件事有k类办法，第一类办法中有m1种不同做法，第二类办法中有m2种不同做法，…，第k类办法中有mk种不同的做法，则完毕这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的办法.加法原理运用的范畴：完毕一件事的办法分成几类，每一类中的任何一种办法都能完毕任务，这样的问题能够使用加法原理解决．我们能够简记为：“加法分类，类类独立”.加乘原理的区别：加法原理运用的范畴：完毕一件事的办法分成几类，每一类中的任何一种办法都能完毕任务，这样的问题能够使用加法原理解决．我们能够简记为：“加法分类，类类独立”.乘法原理运用的范畴：这件事要分几个彼此互不影响的独立环节来完毕，这几步是完毕这件任务缺一不可的，这样的问题能够使用乘法原理解决．我们能够简记为：“乘法分步，步步有关。”例题精讲【试题来源】【题目】用2、4、5、7这4个不同数字能够构成24个互不相似的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？【答案】7254【解析】由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始，易知第19个是7245，第20个7254。【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】用0、1、2、3、4这5个数字，构成各位数字互不相似的四位数，例如1023、2341等，求全体这样的四位数之和。【答案】259980【解析】这样的四位数共有×=96个1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000；

1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；

1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；

1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；总和为240000＋18000＋1800＋180=259980【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选用2本不同窗科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？【答案】47【解析】由于强调2本书来自不同的学科，因此共有三种状况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；因此共有12＋15＋20=47【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】有5个标签分别对应着5个药瓶，正好贴错3个标签的可能状况共有多少种？【答案】20【解析】第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴，共有=10，第二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴办法，因此可能状况共有10×2=20种。【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排次序？⑵如果规定每两个舞蹈节目之间最少安排一种演唱节目，一共有多少种不同的安排次序？【答案】604800【解析】⑴4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈?在一起当作一种节目，这样和6个演唱共有7个节目，全排列7！，加上4个舞蹈本身也有全排4！，因此共有7！×4！=120960种。⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱涉及头尾共有7个空档，7个空档取出4个放舞蹈共有，加上6个演唱的全排6！，共有×6！=604800种。

【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完毕。现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会。从7人中挑选4人完毕这项工作，共有多少种办法？【答案】27【解析】分两类状况讨论：1.都会的这1人被挑选中，则有：（1）如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种办法，再选2名电工也有3种办法；因此有3×3=9（种）。（2）同样，这人做电工，也有9种办法。2都会的这一人没有被挑选，则也有3×3种办法。因此一共有9+9+9=27(种)办法。【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？【答案】22【解析】由于B在A在左下方，由标号法可知，从A到B的最短途径上，达成任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和.有积水的街道不可能有路线通过，能够认为积水点的走法数是0.接下来，能够从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数.如图，从A到B的最短路线有22条.【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】我们学习好们学习好玩学习好玩的习好玩的数好玩的数学【题目】以下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，规定你选择的9个字里能持续（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法。【答案】70【解析】第一种字只能选位于左上角的“我”，后来每一种字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，因此本题也能够使用标号法来解：（在格子里标数）共70种不同的读法。【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】①有5个人排成一排摄影，有多少种排法？

②5个人排成两排摄影，前排2人，后排3人，共有多少种排法？

③5个人排成一排摄影，如果某人必须站在中间，有多少种排法？

④5个人排成一排摄影，某人必须站在两头，共有多少种排法【答案】1.1202.1203.244.48【解析】①5个人排成一排摄影，从左到右共5个位置。第一种位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个位置只能从剩余的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有5×4×3×2×1=120种排法。

②5个人排成两排摄影，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似①的办法可得共有5×4×3×2×1=120种排法。

③这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其它4人能够任意站位，类似①的分析可知共有4×3×2×1=24种排法。

④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完毕，第一步，安排限定的人，有2种办法；第二步，安排其它的4人，类①的分析，有4×3×2×1=24种办法，根据乘法原理，共有2×（4×3×2×1）=24×2=48种排法.注：对于①和②其实是一种题，算法能够归为一种，由于每个位置都是独一无二的，没有重复，因此5人一排和两排办法是没有分别的【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】1.迎春杯决赛2.爱好杯少年数学邀请赛决赛【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一种棋子，规定它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置办法？（2）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一种“兵”，每一行至多有一种“兵”．有多少种不同的放法？【答案】648016【解析】（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方能够把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90种不同的放置办法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩余的任意位置，因此乙方有：9×8=72种不同的放置办法．因此，总共有：72×90=6480种不同的放置办法．（2）第一列有2种放法．第一列放定后，第二列又有2种放法．…如此下去，共有2×2×2×2=16种不同的放法．注：对于第（2）题，一定要从第一列开始考虑，也就是从取值范畴小的开始入手，如果从范畴大的入手，那么就会出现两种状况：包含小范畴的和不包含小范畴的。分类考虑起来可能会比较麻烦，因此碰到这类题，从小范畴的开始考虑比较容易得到答案【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】有10块糖，每天最少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？【答案】512【解析】将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表达10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第五天吃2块。由于每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线办法共有29＝512（种）。由于每一种加线办法对应一种吃糖的办法，因此不同的吃法共有512种。【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、……、10000时，不幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x，问其中被错误打印的共有多少个数？【答案】3439【解析】共有10000个数，其中不含数字3的有：五位数1个，四位数共8×9×9×9=5832个，三位数共8×9×9=648个，二位数共8×9=72个，一位数共8个，不含数字3的共有1＋5832＋648＋72＋8=6561所求为10000－6561=3439个【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【答案】89【解析】例如登上一级台阶有1种走法，登上第二级台阶有2种走法(一步走两级或者走两步每步走一级)；由此得出登上第三级台阶的走法数为1+2=3．又懂得走上第四级台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和，又能够算出登上第四级台阶共有2+3=5种办法，依这类推：1级2级3级4级5级6级7级8级9级10级123581321345589因此，登上第10级台阶的走法数为89．【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【答案】927【解析】取1根火柴有1种办法，取2根火柴有2种办法，取3根火柴有4种取法，后来取任意根火柴的种数等于取到前三根火柴全部状况之和，以这类推，参考上题列表以下：1根2根3根4根5根6根7根8根9根10根11根12根124713244481149274504927取完这堆火柴一共有927种办法.【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，并且4个数字各不相似的四位数有多少个？【答案】840【解析】1□3□构造：8×7=56，3□1□同样56个，计112个；

2□4□构造：8×7=56，4□2□同样56个，计112个；

3□5□构造：8×7=56，5□3□同样56个，计112个；4□6□构造：8×7=56，6□4□同样56个，计112个；

5□7□构造：8×7=56，7□5□同样56个，计112个；

6□8□构造：8×7=56，8□6□同样56个，计112个；

7□9□构造：8×7=56，9□7□同样56个，计112个；

2□0□构造：8×7=56，

以上共112×7×56=840个【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】大林和小林共有小人书不超出50本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的状况？【答案】1326【解析】大林有0本书，小林有0～50本书，51种状况；大林有1本书，小林有0～49本书，50种状况；大林有2本书，小林有0～48本书，49种状况；…………大林有49本书，小林有0～1本书，2种状况；大林有50本书，小林有0本书，1种状况；因此共有：1+2+3+……+51=1326种状况.【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】（1）如右图（1），从学校到少年宫的最短路线有多少条？（2）小君家到学校的道路如右图（2）所示。从小君家到学校的最短路线有多少种不同的走法？【答案】见分析【解析】标数法【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】某沿海都市管辖7个县，这7个县的位置以下图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色，规定任意相邻的两个县染不同颜色．共有_____种不同的染色办法．【答案】4860【解析】把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如图1)．为了便于观察，能够把图1改画成(图2)(相邻关系不变化)．我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的次序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860种不同的染色办法．【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】用1～9能够构成______个不含重复数字的三位数：如果再规定这三个数字中任何两个的差不能是1，那么能够构成______个满足规定的三位数．【答案】504210【解析】（1)9×8×7=504个（2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×6-7×6=210个（减去有2个数字差是1的状况，括号里8个数分别表达这2个数是12，23，34，45，56，67，78，89的状况，×6是对3个数字全排列，7×6是三个数持续的123234345456567789这7种状况）【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】数3能够用4种办法表达为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。问：1999表达为1个或几个正整数的和的办法有多少种？【答案】【解析】我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号。例如对于数3，上述4种和的体现办法对应：111，11＋1，1＋11，1＋1＋1。显然，将1999表达成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间一对一，而每一种空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999能够表达为正整数之和的不同办法有种【知识点】排列组合初步【合用场合】当堂例题【难度系数】3习题演习【试题来源】【题目】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园再去图书馆；第三天公园修路不能通行．问：这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？【答案】16条；8条；8条．【解析】16条；8条；8条．【知识点】排列组合初步【合用场合】随堂课后练习【难度系数】1【试题来源】【题目】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着。请问一共有多少种不同的放法？【答案】66【解析】66【知识点】排列组合初步【合用场合】随堂课后练习