几何与代数历年真题

PAGE1-01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一（30%）填空题：设，，则；=；；设矩阵，，则行列式；若向量组线性无关，则当参数时，也线性无关；矩阵的伴随矩阵=；设矩阵及均可逆，则，且；与向量，均正交的单位向量为；四点共面的充要条件为；设实二次型，则当满足条件时，是椭球面；当满足条件时，是柱面。二（8%）记为由曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面,为以与平面的交线为准线，母线平行于-轴的柱面。试给出曲面，并画出所截有界部分在平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。三（8%）求经过直线且与平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程的解，其中，.五（12%）设线性方程组问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出其通解。六（12%）设矩阵，已知。求参数的值；求一问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？七（12%）设实对称矩阵求参数；求一正交阵八（6%）已知阶方阵相似于对角阵，并且，的特征向量均是矩阵的特征向量。证明：。

20．设是３维非零实列向量，．又．（１）求的秩；（２）求的全部特征值；（３）问是否与对角阵相似？（４）求．

0３-0４学年第二学期几何与代数期终考试试卷（24%）填空题1．若向量，，共面，则参数满足.2．过点且包含轴的平面方程为.3．已知矩阵满足，则的逆矩阵=.4．设矩阵，，则行列式.5．设向量组，则当时，线性相关.6．向量空间中向量在的基，下的坐标为.7．满足下述三个条件的一个向量组为，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量均与向量正交；③凡与正交的向量均可由它们线性表示.8．已知矩阵，若对任意2维列向量有，则满足条件.（12%）假设矩阵满足，其中.求.（15%）设向量，，，.问：当参数满足什么条件时1．能用唯一线性表示？2．不能用线性表示？3．能用线性表示，但表示法不唯一？求这时用线性表示的一般表达式.（8%）设实二次型问：实数满足什么条件时，方程表示直角坐标系中的椭球面？（12%）设3阶方阵的特征值为，，，矩阵。求参数的值，使得矩阵不可逆；问：矩阵是否相似于对角阵？请说明你的理由.（12%）已知二次曲面的方程为：，的方程为：。问：，分别是哪种类型的二次曲面？求与的交线在平面上的投影曲线方程；画出由及所围成的立体的草图.（10%）假设实对称矩阵的秩为2，并且，其中，。求的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵及.（7%）证明题：设是齐次线性方程组的线性无关的解向量，不是其解向量。证明：也线性无关.设是阶正定矩阵，证明：.

04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷(24%)填空题以，，为顶点的三角形的面积为；设3阶矩阵，。若的行列式，则的行列式；若向量，，共面，则参数；若为阶方阵，则方阵的逆矩阵；已知向量是矩阵的特征向量，则参数，相应的特征值等于；假设矩阵，则在实矩阵中，与相抵的有；与相似的有；与相合的有．（8%）计算行列式．（10%）假设，，求矩阵方程的解．（14%）假设矩阵，，．已知齐次线性方程组的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数的值，并求这时的一个基础解系．若在非齐次线性方程组的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数及的值，并求的通解．（10%）已知直线过点，与平面平行，且与直线相交。求直线的方向向量，并写出直线的方程．（10%）假设二次曲面的方程为：；平面的方程为：．与的交线向平面作投影所得的投影曲线的方程为；该投影曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为；在坐标系中画出投影曲线的草图（请给坐标轴标上名称）；在坐标系中画出与所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）．（14%）设二次型试就参数不同的取值范围，讨论二次曲面的类型；假设．若经正交变换，可以化成标准形，求参数及一个合适的正交矩阵．（10%）证明题假设维向量，。若线性无关，证明：线性无关，并且，行列式。假设都是阶实对称矩阵，并且，的特征值均大于，的特征值均大于，证明：的特征值均大于。

05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷(24%)填空题直角坐标系中向量与的向量积为；过点且与直线垂直的平面的方程为；设，，，则=；若矩阵的秩为,是线性方程组的解向量,并且,,则线性方程组的通解是；设是维列向量，则阶方阵的行列式的值为；设是矩阵，若矩阵均不可逆，则行列式；若3是矩阵的特征值,,是的伴随矩阵，则矩阵的一特征值为；若表示一单叶双曲面，则满足条件。二（12%）设，，，求以及矩阵，使。式中的均指相应的零矩阵。三（10%）设向量组线性无关,问:参数满足什么条件时,向量组，，也线性无关？四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：,,问：当取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？当它们交于一直线时，求直线的方程。五（12%）已知矩阵有一个二重特征值。试求参数的值，并讨论矩阵是否相似于对角阵。如果相似于对角阵，求可逆矩阵，使得是对角阵。六（10%）假设是实对称矩阵。证明：分块矩阵是正定矩阵的充分必要条件是都是正定矩阵。七（8%）由与平面及点等距离运动的动点所生成的曲面记为，将平面上曲线以轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为。则：1.的方程是：；的方程是：；与的交线在平面上的投影曲线方程是：；在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图．八（10%）证明题：若实矩阵的行列式，证明：必定相似于对角阵．假设实对称矩阵的特征值为，是的属于特征值单位特征向量，矩阵．证明：的特征值为．06-07第二学期几何代数期终考试试卷(30%)填空题（表示单位矩阵）向量共面时参数的值为，此时，与这三个向量都正交的一个单位向量是；向量组的秩等于，这个向量组的一极大线性无关组是；假设矩阵，若是的特征值，则参数的值为；二次型的正、负惯性指数分别为，下列图形中，能表示二次曲面的图形的标号为：（A），（B），（C），（D）；由曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面方程为；若向量组与向量组等价，则参数必定满足条件；若与相似，则。（10%）已知向量组线性无关，问：当参数取何值时，向量组也线性无关？（15%）假设是参数，空间直角坐标系中平面的方程分别如下：，，问：当取何值时,这三个平面的公共点构成一直线？当它们的公共点构成一直线时，求直线的方向向量，并给出该直线的对称方程。（15%）设，，并且，