2023-2024学年青海省西宁市部分学校数学高二上期末综合测试模拟试题含解析

2023-2024学年青海省西宁市部分学校数学高二上期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，向量在一条直线上，且则()A. B.C. D.2．已知直线交圆于A，B两点，若点满足，则直线l被圆C截得线段的长是（）A.3 B.2C. D.43．已知直线和互相平行，则实数的取值为（）A或3 B.C. D.1或4．如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（）A. B.C. D.5．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A. B.C. D.6．甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞7．己知命题；命题，则下列命题中为假命题的是（）A. B.C. D.8．已知数列为等比数列，若，则的值为（）A.-4 B.4C.-2 D.29．设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（）A. B.C. D.10．直线：和圆的位置关系是（）A.相离 B.相切或相交C.相交 D.相切11．中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且C.a，b，c依次成公比为的等比数列，且D.a，b，c依次成公比为的等比数列，且12．如图，双曲线的左，右焦点分别为，，过作直线与C及其渐近线分别交于Q，P两点，且Q为的中点．若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距．则C的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则5a+b＝__14．已知函数，则______15．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为，，则的面积________，的值为________.16．已知等差数列的前n项和为公差为d，且满足则的取值范围是_____________，的取值范围是_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l是的外角平分线，过左焦点作l的垂线，垂足为N，延长交直线于点M，（其中O为坐标原点），椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点T在线段AB上，且，点B关于原点的对称点为R，求面积的取值范围.18．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求的长.19．（12分）已知等差数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，求k的值20．（12分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，且.（1）求数列{an}的通项公式an（2）记数列的前n项和为Tn，若，求n的最小值.21．（12分）已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.22．（10分）设数列的前项和为，已知，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，是否存在正整数，使得对任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据向量加法的三角形法则得到化简得到故答案为D2、B【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上，根据已知及向量数量积的定义求的大小，进而判断△的形状，即可得直线l被圆C截得线段的长.【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上，又，∴，∴，又，∴，故△为等边三角形，∴直线l被圆C截得线段的长是2故选：B3、B【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故选B【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，，则，4、D【解析】由离心率求得，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论【详解】由题意，则，即，由圆方程知，设，，则，，又，两式相减得，所以，直线方程为，即故选：D5、C【解析】由五角星的内角为，可知，又平分第三颗小星的一个角，过作轴平行线，则，即可求出直线的倾斜角.【详解】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为，可知，过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查直线倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.6、A【解析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断、及、的大小.【详解】由统计图知：甲总成绩比乙总成绩要高，则＞，又甲成绩的分布比乙均匀，故＜.故选：A.7、A【解析】根据或且非命题的真假进行判断即可.【详解】当,故命题是真命题，，故命题是真命题.因此可知是假命题，是真命题，，均为真命题.故选:A8、B【解析】根据，利用等比数列的通项公式求解.【详解】因为，所以，则，解得，所以.故选：B9、D【解析】连接Q和右焦点，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，写出两直线方程，联立可得Q点坐标，Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒【详解】设椭圆右焦点为，连接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ过F(－c，0)，Q过(c，0)，则，由，∵Q在椭圆上，∴，又，解得，∴离心率故选：D10、C【解析】直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率存在，故可知直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系【详解】圆C：x2+y2﹣2y＝0可化为x2+（y﹣1）2＝1∴圆心为（0，1），半径为1∵直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上且直线的斜率存在∴直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系是相交，故选C【点睛】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线恒过定点，此题易误选B，忽视直线的斜率存在11、D【解析】由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.12、C【解析】先根据等腰三角形的性质得，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.【详解】连接，由为等腰三角形且Q为的中点，得，由知．由双曲线的定义知，在中，，（负值舍去）故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、36【解析】根据方向向量和平面法向量的定义即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，进而求出5a+b的值【详解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案为：3614、【解析】根据导数的定义求解即可【详解】由，得，所以，故答案为：15、①.6②.3【解析】由题意得，由内切圆面积为可得其半径，根据焦点三角形面积公式可得第一空答案，结合面积公式和等面积法建立等式化简即可.【详解】解：由得由内切圆面积为可得其半径，设其内切圆圆心为则又所以.故答案为：6；3【点睛】椭圆中常用面积公式：（1）(表示边上的高)；（2）；（3）(为三角形内切圆半径)；（4）.16、①.②.【解析】通过判断出，进而将化为基本量求得答案；然后用基本量将化简，进而通过的范围求得答案.【详解】由，，，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据题意可得到的值，结合椭圆的离心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，进一步推得，于是设直线方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求得弦长，表示出三角形AOB的面积，利用换元法结合二次函数的性质求其范围.【小问1详解】由题意可知：为的中点，为的中点，为的中位线，，,又,故,即,，又，，，椭圆的标准方程为；【小问2详解】由题意可知，，,①当过的直线与轴垂直时，，,②当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为,联立,可得：.,,,由弦长公式可知，到距离为,故，令，则原式变为，令，原式变为当时，故，由①②可知.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时的三角形的面积问题，考查学生的计算能力和数学素养，解答的关键是计算三角形面积时要理清运算的思路，准确计算.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.【详解】（1）因为曲线（为参数），所以曲线的普通方程为：.（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，得.，.所以.19、（1）（2）10【解析】(1)设等差数列的公差为d，利用已知建立方程组，解之可求得数列的通项公式；(2)利用等差数列的前项和公式，化简即可求解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，由已知，，得，解得，则；小问2详解】解：由（1）得，则由，得或（舍去），所以的值为10.20、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）由裂项相消求和法得出，再由不等式的性质得出n的最小值.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，依题意有解得，所以an=2n.【小问2详解】由（1）得，则，所以因为，即，解得n>99，所以n的最小值为100.21、(1)(2)，或【解析】（1）由椭圆的性质可知：，解得a和c的值，即可求得椭圆C的标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得：，，λ，根据向量的坐标坐标，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得实数m的取值范围【详解】(1)由已知，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由已知,设，联立方程组，消得，由韦达定理得①②因为，所以，所以③，将③代入①②，，消去得，所以.因为，所以，即，解