简并半导体中载流子浓度的一般表达式

简并半导体中载流子浓度的一般表达式此时，费米分布函数不能简化为玻尔兹曼函数，同时积分函数不能简化，将积分上限扩充至无限。则有：令：并做积分变换，则：令：则：被称为费米积分，其值可以数值积分得到。非简并情况弱简并情况简并情况同理，可推导简并半导体价带空穴浓度表达式：求解简并半导体的电子与空穴浓度十分困难。数值求解----利用电中性条件，列出EF满足的方程，通过计算机编程求解。电子浓度随温度增加而增加，不会出现饱和温区（简并时杂质未充分电离）。杂质浓度越高，电离率越低。ND越接近或大于NC，或NA接近或大于NV，半导体发生简并化。半导体简并化的杂质浓度与杂质电离能有关。电离能越小，半导体简并化的杂质浓度越少。简并情况的计算程序也适应于非简并情况，计算结果相同。§4.4载流子的漂移运动有外加电压时，导体内部的载流子受到电场力的作用，沿着电场作定向运动形成电流。均匀半导体中，不加电场时，载流子的运动是随机的，速度的平均值为零。电子在电场力作用下的定向运动称为漂移运动，定向运动的速度称为漂移速度。4.4.1迁移率考虑空穴在半导体中的运动。下面讨论的空穴的速度矢量是平均值。在dt时间内空穴的运动距离为：vpdt在dt时间内小柱体断面A、B间流过的电荷量：电流密度----单位时间流过单位面积的电荷：

P:单位体积空穴数，q：空穴电量加电场后，空穴速度的平均值不再为零。一般情况下，漂移速度正比于外加电场强度，所以，对于空穴，电流密度对于电子，电流密度比例系数称为空穴的迁移率；称为电子的迁移率。电子的漂移速度与电场强度方向相反，但电子电流与电场相同。

在严格周期性势场（理想）中运动的载流子在电场力的作用下将获得加速度，其漂移速度应越来越大。

实际晶体中的势场偏离严格周期性（杂质，晶格缺陷，晶格振动），载流子在晶体中运动受到碰撞（散射）而改变运动方向。在稳定外场下有稳定的漂移速度。电场加速不断碰撞（散射）迁移率的意义：表征了在单位电场下载流子的平均漂移速度。它是表示半导体电迁移能力的重要参数。迁移率的决定因素：载流子的有效质量（影响电场的加速作用）。散射几率。不同散射机构对载流子的散射概率不同：电离杂质对载流子的散射概率。晶格振动对载流子的散射概率。T↑，载流子的运动速度↑，散射几率↓；电离杂质的散射几率Pi与温度T和杂质浓度Ni的关系：杂质浓度↑，电离杂质数↑，散射中心↑，散射几率↑。晶格振动的声学波散射几率Ps与温度T的关系：Ps∝T3/2

T↑，晶格振动↑，散射几率↓；光学波对载流子散射也随温度升高而增强，变化甚至更明显。较低温度下占主导较高温度下占主导散射越强，迁移率越小。迁移率与散射概率成反比：杂质浓度Ni较低，迁移率随温度上升而下降。Ni增大，迁移率随温度不再快速变化。Ni很大，迁移率随温度增大略有上升。4.4.2电导率半导体中同时存在电子和空穴时的总电流：根据欧姆定律的微分形式：则：N型半导体：P型半导体：本征半导体：材料的电导率由载流子浓度和迁移率共同决定。较低温度，电导率随温度迅速增加。

杂质电离随温度升高而增加，载流子数目随之增加。中间温度区，电导率随温度升高而降低。

杂质基本电离，载流子数目不再增多，而晶格散射作用增大。

高温区，电导率随温度升高而增加。

本征激发占主导，与杂质无关，载流数目随温度升高而增大。

载流子数目的增大占主导，晶格散射作占次要。电阻率ρ为电导率σ的倒数：

ρ=1/σ。室温下，常用半导体的电阻率与杂质浓度的关系。4.4.3霍尔效应仅依靠电导的测量极大的限制了对半导体材料的深入分析和研究。霍尔效应对半导体的性能分析提供了特别重要的信息。下面介绍霍尔效应（考虑空穴导电）：受到磁场的洛伦兹偏转力：（方向沿-y方向）沿-y方向运动，导致半导体切片两边电荷积累。稳定时产生沿y方向的电场E。电流密度：横向电场正比于电流密度与磁感应强度的乘积，比例系数为霍尔系数。同理，对于N型半导体：电场沿-y方向：霍尔系数是负值：半导体的霍尔效应比金属强的多。由霍尔系数确定导电类型。电子和空穴对霍尔系数的贡献彼此抵消。

电子和空穴的运动方向相反，受洛伦兹力方向相同，因此对侧面电荷积累起抵消作用。电子和空穴的浓度差不多时，霍尔系数公式要重新推导。稳定条件的确定只有一种载流子横向电场力与洛伦兹力平衡有两种载流子总的横向电流为零电子和空穴在x方向的速度：-μnEx和μpEy

。电子和空穴在y方向的电流：稳定条件下，总的横向电流为0，即：则有：得出：

x方向的电流密度为：得出：霍尔系数为：

§4.5非平衡载流子及载流子的扩散运动4.5.1稳态与平衡态稳态：系统状态不随时间变化。平衡态：系统状态不随时间变化，且与外界没有物质及能量交换。平衡态下，能带中的电子分布服从费米分布。载流子浓度满足。下标0代表平衡态。平衡态是一种动态平衡。产生率G：单位时间单位体积产生的电子-空穴对数。复合率R：单位时间单位体积复合掉的电子-空穴对数。平衡状态下，导带电子和价带空穴都是由热激发产生的，G0=R0。材料内的电子和空穴数目达到稳定值。非平衡载流子：除去热激发之外，还可以借助其他方法产生载流子，使载流子电子和空穴的浓度超过热平衡是的数值n0和p0。这种过剩的载流子称为非平衡载流子。通常可以用光学或电学的方法产生非平衡载流子。对半导体照射光子能量超过禁带宽度的光波----光注入。对PN节施加正向偏压----电注入。以光注入为例：产生率与复合率相等时再次达到稳态。以稳定的光照射半导体，光照开始时，G>R。电子空穴浓度升高。复合率升高。

非平衡少子浓度远大于平衡少子浓度。达到稳态后的某个时刻：产生率与复合率相等时再次达到稳态。将光撤除，即撤除对热平衡的扰动。产生率下降载流子浓度降低下面针对N型半导体中的少子空穴，定量计算非平衡载流子的浓度和随时间的衰减规律。4.5.2寿命光照停止后，热激发仍然存在，因此载流子的产生率不为零。净复合率γ=复合率R-产生率G，其中G=G0。载流子复合的途径：直接复合：导带电子直接落入价带与空穴复合。（能带角度）

电子和空穴在运动中相遇而复合，使一对电子和空穴同时消失。间接复合：导带电子先落入禁带中的杂质能级再落入价带与空穴复合。（能带角度）净复合率γ正比于（pn-ni2）。平衡态时：γ=0。

Si，Ge等半导体材料，直接复合概率较小，间接复合起主导作用。间接复合率：间接复合率：其中：

由：得出：间接复合率主要取决于少数载流子。分子最有效的复合中心位于禁带中央附近的深能级。因此n1和p1也较小。分母净复合率正比于非平衡少子浓度。任意时刻t，少子浓度为p(t)；时刻t+δt，少子浓度为p(t+δt)。用γ代表空穴的净复合率，其中δp代表空穴浓度的增量，光照停止后为负值。极限情况：由此得到空穴浓度p满足的微分方程：解为：设光照停止的时刻为t=0，得出积分常数C=∆p(0)，则有：非平衡载流子浓度随时间指数衰减。非平衡载流子的浓度不是突然降为0的行为说明非平衡载流子具有“生存时间”。在t~t+δt，时间内消失的非平衡载空穴数为：平均生存时间为：非平衡载流子的寿命。1、非平衡少数载流子的影响处于主导、决定地位——τp即为非平衡少数载流子寿命。2、当t=τp时，，故寿命标志着非平衡载流子浓度减小到原值的1/e所经历的时间；寿命越短，衰减越快。3、τp:

高纯Si≥103μs；高纯Ge≥104μs；高纯GaAs≤10-8~10-9s4、晶格不完整性的存在会促使非平衡载流子的复合进而寿命降低。非平衡载流子寿命的测量称为鉴定半导体材料晶体质量的常规手段。

一维扩散方程4.5.3扩散运动以N型半导体为例：空穴—非平衡少子Δp(x)扩散流密度（单位时间通过单位面积（垂直x轴）的粒子数）反映非平衡少数载流子扩散本领假设半导体对光的吸收相当强，只在表面极薄的一层产生非平衡载流子，从而在表面与体内形成载流子的浓度差异。

表明：非平衡载流子扩散速度与其浓度的梯度成正比，扩散方向与梯度方向相反。在x→x+dx范围内，单位时间内增加的空穴数增加的空穴密度净复合空穴密度

设底面积为A单位时间通过x处小体积元的空穴密度单位时间通过x+dx处小体积元的空穴密度一维扩散方程同时考虑扩散与复合过程，则有

一维扩散方程的稳态解稳态通解其中

样品足够厚边界条件平均扩散距离1、非平衡少数载流子从光照表面向内部按指数式衰减2、Lp表示空穴在边扩散边复合过程中，减少至原值1/e时扩散的距离Lp标志非平衡少子深入样品的平均距离，称为扩散长度。3、著名的爱因斯坦关系非平衡少子浓度的空间分布。其中3、通常μn

>μp

→Dn

>Dp

电子与空穴的扩散不同步，电子快，空穴慢1、表明了非简并情况下载流子迁移率与扩散系数之间的关系2、实验证明，爱因斯坦关系适合于非平衡载流子

解平衡空穴浓度：平衡电子浓度：由于，则有：X=0处，电子浓度与空穴浓度的比值为：4.5.4连续性方程下面分析非平衡载流子同时存在扩散运动和漂移运动时的运动规律。N型半导体外场下漂移电流：电子、空穴电流都与电场方向一致总电流

扩散电流+漂移电流=

空穴电流

电子电流

扩散流密度

扩散电流密度

连续性方程

——扩散、漂移、复合与产生同时存在时，少数载流子所遵守的运动方程。

单位体积内空穴随时间的变化率为少子p(x,t)单位时间单位体积内空穴变化量g为除热激发外其他外界作用的产生率。热平衡时的产生率等于复合率，即G0=R0。N型半导体；P型半导体。得出空穴的运动连续性方程空穴流密度：同理，P型半导体中电子流密度为：电子运动的连续性方程：连续性方程反应了半导体中载流子运动的普遍规律，是研究半导体器件原理的基本方程之一。由电子和空穴的扩散运动和漂移运动所产生的总电流为：【例】设有一均匀的N型硅样品，在左半部用一稳定的光照射，均匀产生电子空穴对，产生率为g0，若样品两边都很长，试求稳态时样品两边的空穴浓度分布。解设左右分界处为x=0，写出连续性方程稳态时，解上面左式得，

同理得出X=0处，p(x)及其导数dp/dx连续：解得：代入作业：2.掺施主浓度ND=1015

cm−3

的n型硅，由于光的照射产生了非平衡载流子Δn=Δp=1014cm−3

。试计算这种情况下准费米能级的位置，并和原来的费米能级做比较。假定Si本征浓度ni=7.8×109cm-3.3.一块电阻率为3Ω·cm的n型硅样品（对应空穴迁移率up=500cm2/V.S)

，空穴寿命τp

=5μs，在