2023-2024学年吉林省舒兰一中、吉化一中、九台一中、榆树实验中学等八校联考高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2023-2024学年吉林省舒兰一中、吉化一中、九台一中、榆树实验中学等八校联考高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.3 B.5C.6 D.102．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（）A. B.C. D.3．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.4．若，则x的值为（）A.4 B.6C.4或6 D.85．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）A. B.C. D.6．设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限内的点，直线交椭圆于点，为原点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为A. B.C. D.7．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）A. B.C. D.18．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.9．“，”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A. B.C. D.11．在长方体中，若，，则异而直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.12．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在圆M：中，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________.14．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.15．已知数列的前项和则____________________16．已知双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，若，则=___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值18．（12分）已知圆,直线（1）判断直线与圆的位置关系；（2）若直线与圆交于不同两点,且,求直线的方程19．（12分）在如图三角形数阵中第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中).已知.（1）求m及；（2）记，求.20．（12分）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，且是锐角三角形，求c的值21．（12分）已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长22．（10分）已知等差数列的前n项和为Sn，S9=81，，求：（1）Sn；（2）若S3、、Sk成等比数列，求k

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为数列为等差数列，由，可得，，则.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前项和的基本量运算，属于基础题型.2、B【解析】利用求解.【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B3、C【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.【详解】则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C4、C【解析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C5、A【解析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.6、B【解析】如上图，设AC中点为M,连OM，则OM为的中位线，易得∽，且,即可得，选B.点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，本题的关键是利用中位线定理和相似三角形定理7、B【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B8、A【解析】利用空间向量的三角形法则可得，结合平行六面体的性质分析解答【详解】平行六面体中，M为与的交点，，，，则有：，所以.故选：A9、A【解析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由，可知方程表示焦点在轴上的双曲线；反之，若表示双曲线，则，即，或，所以“，”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件故选：A10、B【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，由韦达定理得所以的解集为，故选B.11、C【解析】通过平移把异面直线平移到同一平面中，所以取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线与所成角为和所成角，通过解三角形即可得解.【详解】根据长方体的对称性可得体对角线过中心点，取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线和所成角为和所成角，连接，在中，，，，所以则异而直线与所成角的余弦值为：，故选：C.12、D【解析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，则，，，，成等差数列，设公差为，整理上面两个算式，得：，解得，故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而可得点在圆内，即可得到过点的最长弦、最短弦弦长，即可求出四边形的面积；【详解】解：圆M：，即，圆心，半径，点，则，所以点在圆内，所以过点的最长弦，又，所以最短弦，所以故答案为：14、【解析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.【详解】，当时，，所以切线方程为，即；令可得，令可得；所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.15、【解析】根据数列中与的关系，即可求出通项公式.【详解】当时，，当时，，时，也适合，综上，，（），故答案为：【点睛】本题主要考查了数列前n项和与通项间的关系，属于容易题.16、18或2##2或18【解析】先由双曲线的方程求出，再利用双曲线的定义列方程求解即可【详解】由，得，则，因为双曲线C：的两焦点分别为，，P为双曲线C上一点，所以，即，所以或，因为，所以或都符合题意，故答案为：18或2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)推导出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由题意知，因为点A、D分别为MB、MC中点，所以，又，所以，所以.因为，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】因为，，，所以两两垂直，以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，设直线DE与平面所成角为，则，所以直线DE与平面所成角的正弦值为.18、（1）直线与圆相交；（2）或【解析】（1）通过比较圆心到直线的距离与半径的关系，不难发现直线和圆相交．（2）根据垂径定理，得到圆心与直线的距离，进而列方程求解即可试题解析：（1）将圆方程化为标准方程,所以圆的圆心,半径,圆心到直线的距离,因此直线与圆相交（2）设圆心到直线的距离为,则,又,解得所求直线为或考点：直线与圆的位置关系19、（1），；（2）【解析】（1）根据题意以m表示出，由即可求出，进而求出；（2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出，再利用错位相减法即可求出.【详解】（1）由已知得，，，，，即，又，，，；（2）由（1）得，当时，，又，，满足，，，两式相减得，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.20、（1）或（2）【解析】（1）利用正弦定理边化角，然后可解；（2）利用余弦定理求出c，然后检验可得.【小问1详解】，即或【小问2详解】因为是锐角三角形，所以因为所以由余弦定理得：即，解得或若，则，所以，不满足题意；若，因为，且，所以，此时是锐角三角形.所以.21、（1）见解析；（2）2＋4.【解析】（1）由抛物线的简单几何性质易得结果；(2)由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|=2.设A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周长【详解】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2或m＝－2.所以A(3,2)，B(3，－2