随机数学基础-东南大学

概率论讲义1.确定性现象.

在一定条件下可能发生这种结果也可能发生那种结果的，因而无法事先断言出现那种结果的现象称为随机现象。

第一章随机事件及其概率3.概率规律和统计规律性。2.随机现象:§1.1随机事件

随机试验:

可在相同的条件下重复进行;(2)重复试验有多个可能结果,且能事先明确所有可能的结果;(3)一次试验只出现一个结果，且试验前

不能确定出现哪个结果。样本空间随机试验中，每一个可能结果称为该试验的一个样本点,记为

.全体样本点组成的集合称为该试验的样本空间，记为

。E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.

1={H,T}

1=H,

2=T

E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.

4={0，1，2，

}

1=0,

2=1,

3=2

E3:掷一颗骰子,观察点数.则

3={1,2,3,4,5,6}

1=1

2=2

6=6E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.

2={HHH,THH，

HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT}E5:从一批电子元件中任取一只测试其寿命.

5={t|t≥0}1.离散样本空间.2.连续样本空间.如E1中,“出现正面”;E3中，“出现偶数点”;E5中{1000<t<3000}(小时).随机事件“在一定条件下可能发生也可能不发生事情”叫做随机事件,简称事件.随机事件：样本空间中样本点的集合基本事件:由单个样本点组成如:{H},{T}.必然事件:样本空间

自身复合事件:多个样本点组成

如:E3中{出现正面次数为偶数}.

不可能事件：空集

事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系:A

B:

A发生必然导致事件B发生

若A

B且A

B,则A=B2.事件的并:3.事件的交：A

B:“事件A与B同时发生”4.事件的差:A-B:“A发生而B不发生”5.互不相容(互斥):注：基本事件两两互不相容6.互逆事件：7.事件的运算律:交换律:结合律:分配律：解释:德摩根公式推广：德摩根公式:例1高射炮对模型飞机射击三次，设Ai表示“第i次击中飞机”，用Ai表示下列事件(1)B1“只有第一次击中飞机”（2）B2“恰有一次击中飞机”（3）B3“至少有一次击中飞机”（4）B4

“至多两次击中飞机”解(1)§2.频率与概率(一)

频率

1.定义：将一试验E在相同的条件下重复进行n次,如果事件A发生了nA次,则比值

Fn(A)=nA/n称为事件A发生的频率.抛币试验频率的特性:波动性和稳定性.(1)波动性:对于同一个试验,不同的试验序列其频率不同;(2)稳定性:随着n逐渐增大,事件A的频率总在某一定值P(A)的附近摆动而逐渐稳定。P(A)通常称为频率的稳定值。(二)概率频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A的概率。1统计定义：2公理化定义：设

为样本空间，A为事件，对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满足如下三条公理：则称P(A)为事件A的概率。概率的性质:

P(B)=P(A)+P(B-A),这个式子称为“加奇减偶公式”.例1设A,B为两个事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.§3.古典概型古典概型的特点:(1)有限样本空间:

={

1,

2,

,

n}(2)等可能样本点:P(

1)=P(

2)=

P(

n)计算公式:

由概率定义及等可能性,可得例１.设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,现从中任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（记为事件A）(2)最小号码为5的概率.（记为事件B）解：从9个球中任取3只球,共有种取法.（2）最小号码为5,共有种取法.（1）取到1号球共有种取法推广：有N件产品,其中M件次品,从中任取n件,求取到k件次品的概率.M件次品中取k件,取法数为从N-M件正品中取n-k件,取法数为,于是解:记Ak:取到k件次品

N件中任取n件,共有取法,

例2将n只球一只一只随机地放入N(N≥n)个盒子中去,试求

A:1-n号盒子各有一球的概率B:每个盒子至多有一只球的概率.(设盒子的容量不限)假定每个人的生日在一年365天的任一天都等可能,随机选取n(<365)个人,求A:“至少有两个人生日相同”的概率。生日问题例3n把看起来一样的钥匙，只有一把能开门，用这些钥匙试开门（不重复），求第第k次开门成功的概率。解：A表示“第k次试开成功”方法1:考虑n把钥匙的全排列，第j个位置对应第j次试开用的钥匙。方法2:考虑第k个位置上钥匙出现的情况

则总样本点数为n!,A包含(n-1)!个样点。于是P(A)=1/n.例415名新生中有3名是党员,将这15名新生随机地平均分配到三个班级中去,问每一个班级各分配到一名党员的概率是多少(记为事件A)?解:15名新生平均分配总的分法数为:3名党员的分配数为3!,另12名新生的分配数为§4.

条件概率

设试验E的样本空间为

,A,B是事件,要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率,这就是条件概率,记为P(B|A).(一)定义:在古典概型中:样本空间

由n个样本点组成,若事件A包含nA个样本点，AB包含nAB个样本点，则定义:

设A,B是两个事件,且P(A)>0,称为在A发生的条件下B发生的条件概率.

性质(条件概率是一个概率)例1根据长期气象纪录，甲乙两城市一年中雨天的比例分别为20%和18%,同时下雨的比例为12%。问甲乙两城市气候是否相关？解：以A,B分别表示甲乙两城市出现雨天。则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是所以两城市气候有一定的相关性。例2袋中有某产品５件，其中一等品３件二等品２件，不放回从中连续抽两件，A表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽到一等品，求P(AB).(二)乘法定理:推广:若P(AB)>0,则有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般,设A1,A2,…,An是n个事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,则有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).例３透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为获0.7,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9,试求透镜落下三次而未打破的概率.练习：设盒中有a(a>2)个黑球，b个白球，连续从盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。解：以Ai

表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),(三)全概率公式和贝叶斯公式:例1.某电子设备厂所用的晶体管由三家元件制造厂提供,数据如下:元件制造厂次品率提供的份额

10.020.1520.010.8030.030.05从中任取一只晶体管,它是次品的概率是多少？全概率公式:例1(续).Ａ:产品为次品,Bi:产品由工厂i生产元件制造厂次品率提供的份额

10.020.1520.010.8030.030.05运用全概率公式可得例2某产品整箱出售每箱20个，各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1。顾客购买时选取一箱从中任取4只检查，若无次品则买下该箱产品，若有次品则退回，求顾客买下该箱产品的概率。解：以Bj表示“选取的一箱产品中有j个次品”(j=0,1,2),则Bj构成样本空间的一个划分.A表示“顾客买下该箱产品”练习:甲箱中装有3只红球和2只白球,乙箱中2只红球和2白球,从甲箱中取两只球放入乙箱中,再从乙箱中取1球,求A:“从乙箱取得白球”的概率.解设Bi={从甲箱中取出i只白球}i=0,1,2.则B0,B1,B2构成样本空间的一个划分。有由全概率公式贝叶斯公式:例3(续1)任取一只晶体管,若它是次品,则它由1号工厂生产的概率分别是多少?10.020.1520.010.8030.030.05注:1.P(Bi)称为先验概率。事件B1,B2,…,Bn被看作是引起事件A发生的n个原因。2.P(Bi|A)通常称为后验概率。事件A表示结果，P(Bi|A)表示A的发生是由第i个原因引起的概率。求结果：全概公式求原因：贝叶斯公式

例４在数字通讯中，发送信号０和１的概率分别为0.7和0.3;发送0收到1的概率为0.2;发送1收到1的概率为0.9。求收到信号为1时发送信号为1的概率。解：A—接收信号为1练习：机器良好时,生产的产品的合格率为90%,而当机器有故障时,其合格率为30%,每天开机时机器良好的概率为75%。已知某日第一件产品是合格品,问机器良好的概率是多少?解:A表“产品合格”,B为“机器良好”,=(0.90.75)/(0.90.75+0.30.25)=0.9.§1.5

独立性若P(B|A)=P(B),由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).一般地,P(B|A)≠P(B).例1设袋中有a只红球和b只白球，今从袋中取球两次,每次各取一球,记:A,B分别表示“第一、二次取得红球”。2.有放回时:1.不放回时:定义1:设A,B是两事件,如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件.注：必然事件

和不可能事件

与任何事件A都独立定理：如果事件A,B相互独立，且P(B)>0,则

P(A|B)=P(A)例2甲、乙两射手向同一目标独立射击,甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。解：A—甲击中目标，B—乙击中目标，定义2:设A,B,C是三个事件,若满足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

则称A,B,C为相互独立的事件.定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可能的组合1≤i<j<k<…≤n成立着

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),

则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.定义4：设A1,A2,…,An是n个事件，如果对任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这

n个事件两两独立.注：若n个事件相互独立，必蕴含这n个事件两两相互独立.反之不成立。例3一均匀正四面体,其一、二、三面分别染成红白黑三色,第四面染上红白黑三色.现以分别A,B,C记投掷一次四面体出现红白黑颜色的事件,则由于四面体中有两面有红色,因此但是P(ABC)=1/4

1/8=P(A)P(B)P(C)A,B,C不是相互独立的.同理P(B)=P(C)=1/2,容易算出P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4所以A,B,C两两独立.P(A)=1/2例4假若每个人血清中有肝炎病毒的概率为0.4%,混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解：以Ai(i=1,2,…100)记“第i个人的血清含有肝炎病毒”,Ai相互独立.所求概率为例5设有4个元件,每个元件的可靠性均为p(元件能正常工作的概率),按如下两种方式组成系统,试比较两个系统的可靠性.二:先并联后串联一:先串联后并联练习某高射炮打飞机命中率为0.6,为了以99%以上的概率命中目标，应配备多少门大炮？3.袋子中有编号1-10十个球，从中任取一个若不是“2”号球则放回，若是则不放回。然后从袋子中再任取一球，则取到”1”号球的概率是多少？4.甲乙丙三个班级学生数分别为20，25，30，其中女生数为7，5，9.任选一个班级，从中抽出一名学生，若抽得一名女生则她属于甲班的概率是多少？练习作业习题１：3(3)(4)，5，7，9，13，21，27,32,33,43，45.第二章随机变量及其分布§2.1

随机变量的概念例1从一批产品中任意抽取k件,观察出现的“次品数”X1,依试验结果不同X1的所有可能取值为:0,1,2,…,k.K+1个结果可用(X1=j)表示.例2记录某接待站一天中来访的人数X2,“接待k个人”可用(X2=k)表示.例4掷一枚硬币观察正反面.试验结果为:

1={正面},

２={反面}.试验的结果可以用变量X4

表示．例3测试电子元件寿命的试验中,“元件寿命为t小时”可以用(X3=t)来表示.定义２.1如果对于样本空间中每个样本点

，都有唯一的一个实数X(

)与之对应，则称X(

)为随机变量．简记X(

)为X.分类：(1)离散型，(2)连续型.§2.2

随机变量的分布函数定义：X是一随机变量,对任意x

R,函数

F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数.P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).2.性质:(1)F(x)是单调不减函数.(单调性)

x2>x1,F(x2)-F(x1)0.(2)0≤F(x)≤1且(规范性)(3)F(x)至多有可列个间断点,而在其间断点

x0处是右连续的,(右连续性)§2.3

离散型随机变量的概率分布定义若随机变量全部可能取值是有限或可列无穷多,则称为离散型随机变量.或列表分布律的性质：例1.设一汽车在开往目的地的道路上过四盏信号灯,每盏信号灯是红灯的概率为p，X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求X的分布律。解:

X01234pk即

P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P{X=4}=(1-p)4

p

X的分布函数例3.已知X的分布律

X-123

pk1/41/21/4

求:(1)X的分布函数F(x),(2)P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}.3.几种重要的离散型随机变量的分布律：(一)0-1分布X只取0和1两个值，且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.则称X服从(0-1)分布。(二)二项分布n重贝努利试验：将试验独立重复n次X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为例1.已知一大批电子元件的一级品率为0.2,随机抽查20只,求其中一级品数X的分布律.解：抽查20只元件可以看作是20重贝努利试验，则结论:(1)当(n+1)p为整时，P(X=k)在k=(n+1)p

和k=(n+1)p-1处同时达到最大。

(2)(n+1)p非整时，P(X=k)在k=[(n+1)p]

处达到最大值。使得P(X=k)达到最大值的数k称为最可能成功的次数。例2某种产品的次品率为2%,随机抽查200件，则次品数不多于6件的概率是多少？解设抽出的次品数为X,则

当n较大,p又较小时,

二项分布的计算比较困难,可以用Poisson分布近似计算.(三)泊松分布(Poisson)泊松(Poisson)定理：泊松定理的意义：当n很大且p又较小时,例2某种产品的次品率为2%,随机抽查200件，则次品数不多于6件的概率是多少？解设抽出的次品数为X,则

由泊松定理可得=1-0.11=0.89(查表)例3:设有同类型设备180台独立工作,每台的故障率都是0.01,求故障设备数超过5的概率?解:记故障台数为X,则X~B(180,0.01).(四)几何分布贝努利试验序列中,试验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p.将试验进行到成功为止.X表示所需的试验次数,则X的分布律为:

P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…称为X服从参数为p的几何分布.(五)超几何分布N件产品中有M件次品，N-M件正品。随机抽取n件产品，X表示抽得的次品数。则X的分布律为这个分布称为超几何分布(l=min(M,n)).用Matlab进行数值模拟：§2.4

连续型随机变量的概率密度则称X为连续型随机变量，函数f(x)为X的概率密度函数.3相关结论：(4)

对任意实数x，有P{X=x}=0.例2连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A,B(2)概率密度f(x)(3)X

(1,2)的概率.解:(1)所以有B=-A=-14.几个常用的连续型分布(一)均匀分布:则称X在[a,b]上服从均匀分布,记X~U[a,b].(二)指数分布:定义:如果随机变量X的概率密度为:则称X服从参数为的指数分布,记为X~e().

指数分布的无记忆性:定理若X~e(

),则对任意的正数s,t有P(X>s+t|X>s)=P(X>t)(三)正态分布:性质:如何计算?转化为标准正态分布进行计算。(2)标准正态分布:(3)

转换为标准正态分布引理对于标准正态分布有练习设X~N(0.5,9),求P(|X|>2)例2公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会在0.01以下设计的，设男子身高XN(170,62)(厘米），问车门高度应为多少？解：设车门高度为h,按题意有P(X>h)<0.01(4)标准正态分布的上分位点:(四)伽玛分布:1.定义:如果随机变量X的概率密度为:(1,)是参数为

的指数分布e()(p+1)=p(p),(n)=(n-1)!§2.5

随机变量的函数的分布已知的随机变量X的分布,求Y=g(X)的分布一、X为离散型变量例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012pk0.20.30.10.4X-1012pk0.20.30.10.4Y4101设X的分布律为

Xx1x2…xk…P(X=xi)p1p2…pk...

记yi=g(xi)(i=1,2,…),yi的值也是互不相同的,则Y的分布律为:P{Y=yi)=P(X=xi)=pi若yk=g(xk1)=g(xk2)=…=g(xkm),则

P(Y=yk)=P(X=xk1)+…+P(X=xkm)离散随机变量函数的分布律的求法:例2设随机变量XN(,2),求Y=aX+b(a>0)的概率密度。二、X为连续型 ---

分布函数法于是求导可得2.已知一年中某种人群死亡率为0.0005,该人群有10000人参加人寿保险,每人保费5元.若未来一年中死亡,则得到赔偿5000.求:(1)未来一年中保险公司至少获利10000元的概率。(2)亏本的概率。练习：

1.一个盒子中放有N个编号1~N的标签N个,从中又放回地抽取n个，求取出的最大号码X的分布率。作业：9，10，12，16,27，29，34，37,41，43，48第三章多维随机变量及其分布

n维随机变量定义:若X1(

)X2(

),…,Xn(

)是定义在样本空间上

的n个随机变量,则称构成一个n维随机变量,简记为X=(X1,X2,…,Xn)1.二维随机变量(联合)分布函数:联合分布函数.§3.1

二维随机变量(1)F(x,y)是变量x或y的单调不减函数，即联合分布函数的性质：(3)F(x,y)关于x,y都是右连续的，即2.

二维随机变量的分布二维离散型随机变量的分布律例1一袋子中有5个球，其中2个球上标有数字“1”，3个球上标有数字“0”。在有放回和无放回情况下各取两个球，X,Y分别表示第一、二次取得的数字，求(X,Y)的联合分布律。解:(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)(1)有放回取球，对应概律为P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/53/5=9/25(X,Y)的分布律为例2.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,随机变量Y则在1~X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.二维连续型随机变量的联合概率密度

二维均匀分布及二维正态分布1.二维均匀分布区域G的面积为A,若(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布.2.二维正态分布(X,Y)具有概率密度§2.

边缘分布

一、边缘分布函数：二、边缘分布律：二维离散型随机变量(X,Y)的分量X,Y的分布律

P(X=xi),P(Y=yj)(i=1,2,…)分别称为(X,Y)关于X,Y的边缘分布律。设(X,Y)的联合分布律

P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)则关于X的边缘分布律为例1(续)求关于X和Y的边缘分布律。无放回取球有放回取球两种取球方式下边缘分布均为pkpk三、边缘概率密度:所以，关于X的边缘密度为例1设(X,Y)在G上服从均匀分布，求其边缘密度解：因G的面积为1/2，所以练习§3.

条件分布

一、二维离散型变量的情况:例1以X,Y分别表示某医院一天中出生的婴儿总数和男婴数。(X,Y)的联合分布律为求:(1)边缘分布律

(2)条件分布律例2一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0<p<1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.二、二维连续型随机变量称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数,练习§4.

相互独立的随机变量

例1(X,Y)由联合分布证明X与Y独立。定理:如果(X,Y)是二维离散型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:定理

(X,Y)是二维连续型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:例判定独立性例判定独立性命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是

=0.定理：设(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立,若h,g是连续函数,则h(X)和g(Y)相互独立.§5.

二维随机变量的函数的分布问题：已知Z=g(X,Y),以及(X,Y)的联合分布，如何求出Z的分布？1

(X,Y)为二维离散型随机变量例1设二维随机变量(X,Y)的分布律为下表试求:(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)

的分布律。解：列下表(1)Z1=X+Y的分布律为(2)Z2=XY的分布律为(3)Z3=max(X,Y)的分布律为证Z=X+Y可能的取值为0,1,2,…,且

2二维连续型随机变量的函数的分布Z=g(X,Y）的分布函数为(一)和(Z=X+Y)的分布:求Z=X+Y的概率密度.例1.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.例2设(X,Y)由联合概率密度求Z=X+Y的密度函数fZ(z).(二)商(Z=X/Y)的分布:(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:例4两个部件L1,L2组成的串、并联系统分析：对系统1T=min{X,Y}

对系统2T=max{X,Y}练习1设(X,Y)的联合密度为(1)求边缘密度fX(x),fY(y)(2)求条件密度fX|Y(x|y)3.将两封信随机投入编号为1，2，3，4的4个邮箱，用X,Y分别表示1，2号邮箱中的邮件数，求（1）(X,Y)的联合分布律。（2）求X关于Y=0的条件分布律。(3)判定X,Y的独立性(4)求X+Y的分布律。4.设X,Y同服从参数为p的几何分布，且X,Y相互独立，求Z=X+Y分布律。作业：1,3,6,9,12,18,19,23,24,28第四章随机变量的数字特征§1.

随机变量的数学期望下面计算一些离散型分布的期望值。1)(0-1)分布设X服从(0-1)分布，分布律为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,0<p<1X的数学期望为

EX=1·p+0·(1-p)=p连续型随机变量的数学期望：设f(x)为连续型随机变量X的概率密度，对X的取值区间作一分割，有下面计算常用连续型变量的数学期望：则它恰是区间[a,b]的中点。

因此柯西分布的数学期望不存在.练习求伽玛分布的数学期望。随机变量函数的数学期望公式:练习X~e(λ),求E(e-sX)练习：求EY例6设X,Y相互独立同服从N(0,1),求Emax{X,Y}均值的性质:(1)E(c)=c;(2)E(cX)=cE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)(许瓦尔兹不等式)例1.二项分布的均值的计算:设X~b(n,p),

X表示n次独立重复试验中A发生的次数，引入Xi(i=1,2,…,n),例2将n个编号为1-n的球随机放入编号为1-n的n个盒子，若球号与盒号相同，称为一个匹配。X表示匹配数，求EX.§2.方差

若X为离散型随机变量方差的计算公式:1.X服从(0--1)分布,则EX=0•(1-p)+1•p=p,故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02•(1-p)+12•p=p,下面计算一些常见分布的方差2.求伽玛分布的方差练习：1.求几何分布g(p)的方差方差的性质:1

C是常数,D(C)=0;2D(CX)=C2D(X);3

X,Y相互独立,则有

D(X

Y)=D(X)+D(Y);4D(X)=0

P{X=C}=1.例1设X~B(n,p),分解X求其方差DX.切比雪夫不等式:练习X~B(100,1/2),估计P(40<X<60)§3.协方差和相关系数展开可得:Cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=E(XY)-E(X)E(Y).于是

D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).例1.求X,Y的协方差

协方差的性质:1Cov(X,Y)=Cov(Y,X);2Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);6|Cov(X,Y)|2≤D(X)·D(Y);5若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.4

Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX;由性质(6)|Cov(X,Y)|2≤D(X)·D(Y)可得.例1(续)：求相关系数公式：Cov(aX+bY,cX+dY)=acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY例3.X~N(2008,1),Y~N(2009,1),且X与Y独立，求3X-Y与X+Y的相关系数。§4.

矩、协方差矩阵(1)若E(Xk),k=1,2,…存在,则称为X的k阶原点矩.(2)若E{[X-E(X)]k},k=1,2,…存在,则称它为X的

k阶中心矩.(3)若E{[X-E(X)]k•[Y-E(Y)]l},k,l=1,2,…存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.一、矩二维随机变量(X1,X2)的二阶中心矩分别记为将它们排成矩阵形式称这个矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵。二、协方差矩阵协方差阵的性质：对称性、正定性等。三.n维正态分布:2.性质:(1)n维r.v.(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,…,Xn的任一线性组合l1X1+l2X2+…+lnXn服从一维正态分布.“分布自由”定义法(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,…,Yn是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数,则(Y1,Y2,…Yn)也服从多维正态分布.正态分布线性变换的不变性(3)若(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,…,Xn相互独立”与“X1,X2,…,Xn两两不相关”是等价的.练习：轮盘赌中轮盘上有37个数字0-36.0是绿色，其他数字红黑相间。在单个数字上的赔率为1:35.若出现数字0，则赌场吃掉一半赌金。求下注人一次平均收益EX.练习某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别有80件，10件，10件，从中任取一件，记求（1）X1与X2的联合分布律（2）X1与X2的相关系数

。2将n个编号为1-n的n个球随机放入m个盒子中去(盒子容量不限)，X表示有球的盒子数，求EX作业：91113

20222534353843第五章大数定律及中心极限定理§1.大数定律

一.问题的提出:1.当n足够大时,频率是否收敛到相应的概率p，即由契比雪夫不等式可得一切比雪夫大数定律:设X1,X2,…,Xn,…,是相互独立随机变量序列,特殊情况

设X1,X2,…,Xn,…相互独立,且同分布二.贝努利大数定律:设nA是n次独立重复试验中A发生的次数,p=P(A),则贝努利大数定律:频率nA/n收敛到概率p.三.辛钦大数定律:设X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且具期望注：对方差不做要求。§2.中心极限定理

一.问题提出:对于独立随机变量序列X1,X2,…,Xn,…,假定EXi,DXi存在,令一.独立同分布的中心极限定理:设Xk(k=1,2,…)相互独立,服从同一分布且练习：某种电子元件40个，其寿命服从参数为0.1(小时-1)的指数分布，让他们依次工作,求总工作时间不足380小时的概率。二.德莫佛--拉普拉斯定理:例2有800台电话分机，独立使用，每台话机约有5%的时间使用外线。问总机至少需要多少外线才能90%以上的保证各分机用外线不必等候。解：设X为需用外线的台数，X~B(800,0.05).即求最小的N,使得*投掷硬币问题练习：在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保费,在一年内一个人死亡的概率为0.0004,死亡者其家属可向保险公司领得20000元赔偿费.求：保险公司亏损的概率为多大？作业：1468练习:1.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9?(147个)2.

一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠度为0.95?(25个)3.设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，问若想以99%的可能性满足用户的要求，最少需要多少条线路？(79条)数理统计数理统计266第六章样本及抽样分布

§1.基本概念数理统计学：使用概率论和数学的方法，研究怎样收集带有随机误差的数据，并在设定模型下，对数据进行分析，对所研究的问题作出推断。例1某工厂生产大批电子元件，假定其寿命服从指数分布。有如下问题：(1)元件的平均寿命是多少？若平均寿命达到100小时为合格，这批元件是否合格？267总体:所研究对象的全体。总体中的每一个元素称为个体.二.样本:从总体中抽取的部分个体.总体X~F,若X1,X2,…,Xn是从F独立抽取的一组样本,则称其为简单随机样本.几个基本概念：有限总体通过抽象

无限总体(一种分布)X1,X2,…,Xn容量为n的随机样本.x1,x2,…,xn称为样本观察值.268统计量是样本信息的加工和提炼。三.统计量:完全由样本决定的量(不含未知参数)269四.常用的统计量—样本矩:270(辛钦大数定律)271定理2:

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一组样本,设总体二阶矩存在,且EX=,DX=2,则有272§2.统计分布与抽样分布

定义：统计量T(X1,X2,…,Xn)的分布称为抽样分布.本节介绍3种基本的统计分布：

χ2-分布，t-分布，F-分布以及正态总体下统计量的分布。2732.性质：2740yf(y)275276(二)t-分布:277(三)F分布:278279y0280练习0.1281抽样分布282283284285286287第七章参数估计

§1.点估计一.问题的提法:288二.矩估计法:289290291292三.极大似然估计方法:293294295极大似然估计的求解方法:296297298299例3.设总体X服从均匀分布U[0,],X1,…Xn是一组样本，求

的矩估计量和极大似然估计量.不能通过建立似然方程求得极大似然估计，L作为θ的函数当θ=max{X1,…Xn}时取得最大值，由极大似然估计的定义可得300极大似然估计的性质:301302§2.估计量的评选标准

1无偏性:(2)例子S2是σ2的无偏估计量.(3)有偏估计向无偏估计的转化。3033043052最小方差无偏估计3063073083相合估计（一致估计）:309310§3.区间估计

1.定义:311两点要求：1置信度1-α应尽量大

2区间长度应尽量小312313二.求置信区间的一般思路:314§4.正态总体均值与方差的区间估计一.单个正态总体:315316317318319二.两个正态总体的区间估计:320321三.两个总体方差比的置信区间:322323324作业2351011(1)

131416325第八章假设检验§1.假设检验一.基本思想:例1某类产品次品率p<=5%时通过检验，从中抽取100件得到7件次品，这批产品是否能通过？若10件呢？326例2.某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重服从正态分布.当机器正常时,其均值为0.5公斤,标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是