数学相似三角形竞赛题专页

-.z.几何：·GAO·GAODBECQPNM求证：AP＝AQ．〔初二〕3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆，则由此可得以下命题：·O·OQPBDECNM·A求证：AP＝AQ．〔初二〕ODODBFAECP2、设P是平行四边形ABCD部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．〔初二〕PPADCBEDCBA4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200EDCBA∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。2.在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。3.菱形ABCD的切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求证：MQ∥NP。4.ABCD是圆接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KP⊥AB。5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。6.△ABC接于⊙O，P是弧AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。7.A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：∠O1AO2=∠M1AM2。5.如图，∠BAC=90º,AD⊥BC,∠1=∠2,EF⊥BC,FM⊥AC,说明FM=FD的理由6.如图，△ABD和△ACE是直角三角形，∠ABD=∠ACE=90°，∠BAD=∠CAE，连接DE，点M为DE边中点，求证：BM=CM。7.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC边中点，求证：△BMD为等腰直角三角形。22.如图，在平行四边形ABCD有一点E满足ED⊥AD于D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45º，请在图中找出与BE相等的一条线段，并予以证明．11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：．20以⊿ABC的边AB、AC为边向形外作等边⊿ABM、⊿CAN，BN和CM交于一点P。试判断：∠APM、∠APN的大小关系，并加以证明。1、：如图，⊙O1和⊙O2两个等圆，过O1、O2的中点M的直线交圆O1于点A、点B，交⊙O2于点C、点D。求证：AB=CD2、：如图，△ABC是⊙O的接三角形，AB=AC，点D在BC的延长线连结A、D交⊙O于点E。求证：AB·CE=AE·CD。3、：如图，四边形ABCD接于⊙O，AC平分∠BAD，DC的延长线与AB的延长线相交于点E，如果AC=CE，求证：AD=BE。5、：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G。求证：BG·AG=DF·DA。6、如图，四边形ABCD接于⊙O，AC是⊙O的直径，DE⊥AC于E，DE的延长线与CB的延长线相交于F。求证：CD2=CB·CF。7、：如图，△ABC接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BF于点F，B为切点。求证〔1〕BD平分∠CBF；〔2〕AB·BF=AF·CD。8.凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于E、F，交CB的延长线于点O，解答图求证：解答图4、．在△ABC中,∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD的中点，假设，求证：。18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：．〔2007年北师大附中试题〕如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：.【稳固】〔省初三数学竞赛题〕如图，，点在上，，是的中点，于，点是的中点，连接。求证：。【稳固】〔2001市中考题〕，如图正方形接于，在斜边上，于。求证：〔1〕；〔2〕。如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．⑴，⑵．23．〔1〕如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD．(省竞赛题)18．如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．20．如图，P是△ABC的∠BAC的外角平分线上一点．(1)求证：PB+PC＞AB+AC；(2)假设P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC＞AB，画出图形，试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系"如图，△ABC和△AlBlC1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥CC1(市竞赛题)18．如图，正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC．20．如图，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求证：AB2=AC2+AC×BC．21．如图，AB是等腰直角三角形的斜边，假设点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△M翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P．(1)当点P是边AB的中点时，求证：；(2)当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立"请证明你的结论．(2001年市宣武区中考题)22．如图，假设，求证：．(市选拔赛试题)：如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：也是等边三角形．16、如图9，△ABC中，∠A=2∠B，由顶点C作∠A的平分线AD的垂线CF，垂足为F，求证：CF经过△ABC的外心。初中数学竞赛培训讲义第十三讲相似三角形相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法，本讲即探究该问题.一竞赛知识回忆1、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法〔1〕三边对应成比例的两个三角形相似〔2〕两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似〔3〕两组角对应相等的两个三角形相似.3、相似三角形中几个的根本图形4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.如图，假设∥,则,或.定理2平行切割定理如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,假设∥,则定理3〔平行线分线段成比例定理〕两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.如图，假设∥∥，则,定理4〔角平分线性质定理〕如图，分别是的角平分线与外角平分线，则.定理5射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理1角平分线的的性质定理二赛题讲解1利用相似证明角相等例1如图，中，,是边的中点，，垂足为,交于点.(1)求证：(2)假设,求的面积.练习在中，于点，于点，于点，求证：.2利用相似证明线段相等例2点分别在矩形的边上，∥，分别交于点，求证：.练习1、如图，梯形中∥，对角线交于点，过点作的平行线分别交于点，求证.2、如图，中，于，分别是的中点，于，求证:.3证明比例〔等积〕线段例3如图，为的两条角平分线，过点作直线分别交于点，假设，求证：例4如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与及的延长线分别交于点和，求证：练习1、如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点.求证:2、是的高线，过作的垂线，垂足为，与及的延长线分别相交于，求证：3、是的角平分线，，求证：4求线段比例5是正方形，是的中点，联接交于，求.练习1、梯形中，∥,对角线于点，假设，求的值.2、如图，在平行四边形中，过点的直线顺次与及的延长线相交于点,假设求的长.5证明线段〔线段比〕和差例6如图，∥∥分别是和的中点，过的直线依次交于点.求证:.练习如图，是一点，分别与对边交于点，求证：.6证明垂直例7如图，分别是正方形的边上的点，且，过作的垂线，垂足分别为，求证：.练习题1、如图，中，，是边上的高，是边上一点，过点作的垂线，垂足分别为，求证：2、与均为等边三角形，和的中点均为，求证：7证明平行例8如图，在矩形中，是边上的点，满足，又是上的点，满足．与相交于点，与相交于．求证：∥．练习题如图，两个等边顶点重合，过点作的平行线，分别交于.〔1〕求证：平分.(2)求证：∥.8利用相似三角形的面积比例9在的部取点，过点作3条分别与的三边平行的直线，这样所得的3个三角形的面积分别为4,9,49，求的面积.练习1、是斜边上的高，求证：2、梯形中∥,,点在上，且∥,假设直线平分梯形的面积，〔1〕求的长，〔2〕求的值练习题1、平行四边形中，为的三等分点，分别交于两