变形构造函数证明不等式

-.z.变形构造函数证明不等式〔变形构造新函数，一次〕函数．⑴试讨论在定义域的单调性；⑵当＜－1时，证明：，．数的取值围．解：⑴函数的定义域为，．当时，增区间为，减区间为；当≤≤0时，增区间为；当时，增区间为，减区间为．⑵当＞0时，在区间(0,1)上单调递增，不妨设，则，∴等价于，即．构造，则＞0．∴在上是增函数，当时，，即，即．又当＞0时，在区间(0,1)上单调递增，∴．∴，即．〔2011理21，变形构造函数，二次〕函数.⑴讨论函数的单调性；⑵设，如果对任意，≥，求的取值围.解：⑴的定义域为〔0，+∞〕..当时，＞0，故在〔0，+∞〕单调增加；当时，＜0，故在〔0，+∞〕单调减少；当－1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.⑵不妨假设，而＜－1，由⑴知在〔0，+∞〕单调减少，从而，等价于，……①令，则①等价于在〔0，+∞〕单调减少，即.从而,设并设，∴，∴≤故a的取值围为〔－∞，－2].〔2010文21，构造变形，二次〕函数.⑴讨论函数的单调性；⑵设，证明：对任意，.解：⑴f(*)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(*)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0,故f(*)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得*=.当*∈(0,)时,＞0；*∈(，+)时，＜0,故f(*)在〔0,〕单调增加，在〔，+〕单调减少.⑵不妨假设*1≥*2.由于a≤－2,故f(*)在〔0，+〕单调减少.所以等价于≥4*1－4*2,即f(*2)+4*2≥f(*1)+4*1.令g(*)=f(*)+4*,则+4＝.设，≤－1，对称轴为，结合图象知≤≤0，于是≤＝≤0.从而g(*)在〔0,+〕单调减少，故g(*1)≤g(*2)，即f(*1)+4*1≤f(*2)+4*2，故对任意*1,*2∈(0,+)，〔，变形构造，二次〕函数f(*)=*2－a*+(a－1)，.〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕证明：假设，则对任意*,*，**，有.解：(1)的定义域为.①假设即,则，故在单调增加。②假设,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。③假设,即,同理在单调减少，在单调增加.⑵考虑函数则〔另一种处理〕由于1<a<5,故，即g(*)在(4,+∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有.〔另一种处理〕，结合二次函数图象设≥≥＞0函数〔1〕确定函数的单调性；〔2〕假设对任意，且，都有，数a的取值围。〔变形构造〕二次函数和“伪二次函数〞〔、、〕，(I)证明：只要，无论取何值，函数在定义域不可能总为增函数；(II)在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为，(i)求证：；(ii)对于“伪二次函数〞，是否有①同样的性质"证明你的结论.解：〔I〕如果为增函数,则(1)恒成立,当时恒成立,(2)由二次函数的性质,(2)不可能恒成立.则函数不可能总为增函数.3分〔II〕〔i〕=. 由,则--------5分〔ii〕不妨设,对于“伪二次函数〞:=,(3)7分由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性质，则,(4)比拟(3)(4)两式得，即：，(4)--------10分不妨令，(5)设，则，∴在上递增，∴.∴(5)式不可能成立,〔4〕式不可能成立,.∴“伪二次函数〞不具有(ⅰ)的性质.-------12分(变形构造，第2问用到均值不等式)定义在正实数集上的函数f(*)＝*2＋4a*＋1，g(*)＝6a2ln*＋2b＋1，其中a＞0.⑴设两曲线y＝f(*)，y＝g(*)有公共点，且在该点处的切线一样，用a表示b，并求b的最大值；⑵设h(*)＝f(*)＋g(*)－8*，证明：假设a≥－1，则h(*)在(0,＋∞)上单调递增；⑶设F(*)＝f(*)＋g(*)，求证：对任意*1,*2∈(0,＋∞)，*1＜*2有＞8.解：⑴设f(*)与g(*)交于点P(*0，y0)，则有f(*0)＝g(*0)，即*＋4a*0＋1＝6a2ln*0＋2b＋1.①又由题意知f′(*0)＝g′(*0)，即2*0＋4a＝.②由②解得*0＝a或*0＝－3a(舍去)．将*0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.令s(a)＝a2－3a2lna，则s′(a)＝2a(1－3lna)，a∈(0,)时，s(a)递增，a∈(,＋∞)时，s(a)递减，所以s(a)≤s()＝，即b≤，b的最大值为.⑵h(*)＝f(*)＋g(*)－8*，h′(*)＝2*＋＋4a－8，因为a≥－1，所以h′(*)＝2*＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4(＋1)(－1)－8≥0，即h(*)在(0,＋∞)单调递增．⑶由⑵知*1＜*2时，h(*1)＜h(*2)，即F(*1)－8*1＜F(*2)－8*2.因为*1＜*2，所以＞8.函数，a为正常数．⑴假设，且a，求函数的单调增区间；⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．⑶假设，且对任意的，，都有，求a的取值围．解：⑴∵a，令得或,∴函数的单调增区间为.⑵证明：当时∴,∴,又不妨设，要比拟与的大小，即比拟与的大小，又∵，∴即比拟与的大小．令,则,∴在上位增函数．又，∴，∴，即⑶∵，∴由题意得在区间上是减函数．当，∴由在恒成立．设，，则∴在上为增函数，∴.当，∴由在恒成立设，为增函数,∴综上：a的取值围为.函数〔〕． 〔Ⅰ〕求函数的单调区间； 〔Ⅱ〕记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线〞．试问：函数是否存在“中值相依切线〞，请说明理由．解：〔Ⅰ〕易知函数的定义域是，．…………1分①当时，即时,令,解得或; 令,解得．……………2分所以，函数在和上单调递增,在上单调递减②当时，即时,显然，函数在上单调递增；……………3分③当时，即时,令,解得或;令,解得．……………4分所以，函数在和上单调递增,在上单调递减综上所述，⑴当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；⑵当时,函数在上单调递增；⑶当时,函数在和上单调递增,在上单调递减．……………5分〔Ⅱ〕假设函数存在“中值相依切线〞． 设,是曲线上的不同两点，且， 则……………7分 曲线在点处的切线斜率，……………8分依题意得：．化简可得：，即=．……………10分设〔〕，上式化为：,即．………12分令,．因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立．所以在不存在,使得成立． 综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值相依切线〞．……………14分函数.〔1〕假设对任意的恒成立，数的取值围；〔2〕当时，设函数，假设，求证解：〔1〕,，即在上恒成立设,，时，单调减，单调增，所以时，有最大值.，所以.〔2〕当时，,,所以在上是增函数，上是减函数.因为，所以即,同理.所以又因为当且仅当“〞时，取等号.又，,所以,所以，所以：.．(1)求函数在上的最小值；(2)对一切，恒成立，数a的取值围；(3)证明:对一切，都有成立．解：(1)，当，，单调递减，当，，单调递增．①，t无解；②，即时，；③，即时，在上单调递增，；所以．(2)，则，设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以.因为对一切，恒成立，所以；〔3〕问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．〔201121，变形构造，反比例〕设函数定义在上，，导函数，．〔1〕求的单调区间和最小值；〔2〕讨论与的大小关系；〔3〕是否存在，使得对任意成立？假设存在，求出的取值围；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕∵，∴〔为常数〕，又∵，所以，即，∴；，∴，令，即，解得，当时，，是减函数，故是函数的减区间；当时，，是增函数，故是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是．〔2〕，设，则，当时，，即，当时，，，因此函数在递减，当时，=0，∴；当时，=0，∴．〔3〕满足条件的不存在．证明如下：证法一假设存在，使对任意成立，即对任意有①但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立．证法二假设存在，使对任意成立，由〔1〕知，的最小值是，又，而时，的值域为，∴当时，的值域为，从而可以取一个值，使，即,∴，这与假设矛盾．∴不存在，使对任意成立．函数，〔Ⅰ〕求的极值〔Ⅱ〕假设在上恒成立，求的取值围〔Ⅲ〕，且，求证解：〔1〕∵，令得，，为增函数，，，为减函数∴有极大值……4分〔2〕欲使＜在上恒成立，只需在上恒成立设，，，为增函数,，，为减函数∴时，是最大值只需，即………8分〔3〕∵由〔2〕可