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文档简介
2023届沈阳外国语学校高三3月质量调研数学试题文试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R,集合,则()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}2.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点(设点位于第一象限),过点,分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为点,,抛物线的准线交轴于点,若,则直线的斜率为A.1 B. C. D.3.已知复数满足(是虚数单位),则=()A. B. C. D.4.集合中含有的元素个数为()A.4 B.6 C.8 D.125.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的的值为1,输出的的值为()A. B. C. D.6.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是()A. B. C. D.7.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A. B. C. D.8.设复数满足,则()A.1 B.-1 C. D.9.已知点,若点在曲线上运动,则面积的最小值为()A.6 B.3 C. D.10.若实数满足不等式组,则的最大值为()A. B. C.3 D.211.已知中,,则()A.1 B. C. D.12.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称,登泰山的路线有四条:红门盘道徒步线路,桃花峪登山线路,天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时,发现三人走的线路均不同,且均没有走天外村汽车登山线路,三人向其他旅友进行如下陈述:甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路;乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路;丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路;事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是()A.甲走桃花峪登山线路 B.乙走红门盘道徒步线路C.丙走桃花峪登山线路 D.甲走天烛峰登山线路二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,在区间上随机取一个数,则使得≥0的概率为.14.已知数列的前项和为,且满足,则______15.的展开式中,x5的系数是_________.(用数字填写答案)16.已知关于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集为A,且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上上一点,且点的横坐标为,.(1)求抛物线的方程;(2)过点的直线与抛物线交于、两点,过点且与直线垂直的直线与准线交于点,设的中点为,若、、四点共圆,求直线的方程.18.(12分)在平面直角坐标系xoy中,曲线C的方程为.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C的极坐标方程,并求出直线l与曲线C的交点M,N的极坐标;(2)设P是椭圆上的动点,求面积的最大值.19.(12分)设函数,().(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数a、m的值;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围;(3)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论.20.(12分)已知圆上有一动点,点的坐标为,四边形为平行四边形,线段的垂直平分线交于点.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点,点的坐标为,直线与轴分别交于两点,求证:线段的中点为定点,并求出面积的最大值.21.(12分)己知的内角的对边分别为.设(1)求的值;(2)若,且,求的值.22.(10分)在以为顶点的五面体中,底面为菱形,,,,二面角为直二面角.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【详解】由,解得或.因为或,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合补集的概念和运算,属于基础题.2、C【解析】
根据抛物线定义,可得,,又,所以,所以,设,则,则,所以,所以直线的斜率.故选C.3、A【解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:由,得,.故选.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.4、B【解析】解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B5、B【解析】
根据循环语句,输入,执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入,由题意执行循环结构程序框图,可得:第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,满足判断条件;输出结果.故选:【点睛】本题考查了循环语句的程序框图,求输出的结果,解答此类题目时结合循环的条件进行计算,需要注意跳出循环的判定语句,本题较为基础.6、C【解析】
根据程序框图的运行,循环算出当时,结束运行,总结分析即可得出答案.【详解】由题可知,程序框图的运行结果为31,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.此时输出.故选:C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.7、D【解析】
利用列举法,从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况,由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.记这5部专著分别为,其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有共10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,共9种情况,所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为.故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.8、B【解析】
利用复数的四则运算即可求解.【详解】由.故选:B【点睛】本题考查了复数的四则运算,需掌握复数的运算法则,属于基础题.9、B【解析】
求得直线的方程,画出曲线表示的下半圆,结合图象可得位于,结合点到直线的距离公式和两点的距离公式,以及三角形的面积公式,可得所求最小值.【详解】解:曲线表示以原点为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点),如图,直线的方程为,可得,由圆与直线的位置关系知在时,到直线距离最短,即为,则的面积的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查三角形面积最值,解题关键是掌握直线与圆的位置关系,确定半圆上的点到直线距离的最小值,这由数形结合思想易得.10、C【解析】
作出可行域,直线目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域,如图由射线,线段,射线围成的阴影部分(含边界),作直线,平移直线,当过点时,取得最大值1.故选:C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,解题关键是作出可行域,本题要注意可行域不是一个封闭图形.11、C【解析】
以为基底,将用基底表示,根据向量数量积的运算律,即可求解.【详解】,,.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理,考查向量数量积运算,属于中档题.12、D【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选:D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】试题分析:可以得出,所以在区间上使的范围为,所以使得≥0的概率为考点:本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.点评:几何概型适用于解决一切均匀分布的问题,包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等,但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.14、【解析】
对题目所给等式进行赋值,由此求得的表达式,判断出数列是等比数列,由此求得的值.【详解】解:,可得时,,时,,又,两式相减可得,即,上式对也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得.【点睛】本小题主要考查已知求,考查等比数列前项和公式,属于中档题.15、-189【解析】由二项式定理得,令r=5得x5的系数是.16、-1【解析】
讨论三种情况,a<0时,根据均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0时,[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集为(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,当且仅当﹣a,即a=﹣1时取等号,∴a的最大值为﹣4,当且仅当a4时,A中共含有最少个整数,此时实数a的值为﹣1;②a=0时,﹣4(x﹣4)>0,解集为(﹣∞,4),整数解有无穷多,故a=0不符合条件;③a>0时,[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集为(﹣∞,4)∪(a,+∞),整数解有无穷多,故a>0不符合条件;综上所述,a=﹣1.故答案为:﹣1.【点睛】本题考查了解不等式,均值不等式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)由抛物线的定义可得,即可求出,从而得到抛物线方程;(2)设直线的方程为,代入,得.设,,列出韦达定理,表示出中点的坐标,若、、、四点共圆,再结合,得,则即可求出参数,从而得解;【详解】解:(1)由抛物线定义,得,解得,所以抛物线的方程为.(2)设直线的方程为,代入,得.设,,则,.由,,得,所以.因为直线的斜率为,所以直线的斜率为,则直线的方程为.由解得.若、、、四点共圆,再结合,得,则,解得,所以直线的方程为.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用,直线与抛物线综合问题,属于中档题.18、(1),,;(2).【解析】
(1)利用公式即可求得曲线的极坐标方程;联立直线和曲线的极坐标方程,即可求得交点坐标;(2)设出点坐标的参数形式,将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.【详解】(1)曲线的极坐标方程:联立,得,又因为都满足两方程,故两曲线的交点为,.(2)易知,直线.设点,则点到直线的距离(其中).面积的最大值为.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化,涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题,属综合中档题.19、(1),;(2);(3)不能,证明见解析【解析】
(1)求出,结合导数的几何意义即可求解;(2)构造,则原题等价于对任意恒成立,即时,,利用导数求最值即可,值得注意的是,可以通过代特殊值,由求出的范围,再研究该范围下单调性;(3)构造并进行求导,研究单调性,结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】(1),,曲线在点处的切线方程为,,解得.(2)记,整理得,由题知,对任意恒成立,对任意恒成立,即时,,,解得,当时,对任意,,,,,即在单调递增,此时,实数的取值范围为.(3)关于的方程不可能有三个不同的实根,以下给出证明:记,,则关于的方程有三个不同的实根,等价于函数有三个零点,,当时,,记,则,在单调递增,,即,,在单调递增,至多有一个零点;当时,记,则,在单调递增,即在单调递增,至多有一个零点,则至多有两个单调区间,至多有两个零点.因此,不可能有三个零点.关于的方程不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理,考查了转化与化归的数学思想,属于难题.20、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】
(Ⅰ)先画出图形,结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值,,故可确定点轨迹为椭圆(),进而求解;(Ⅱ)设直线方程为,点坐标分别为,联立直线与椭圆方程得,,分别由点斜式求得直线KA的方程为,令得,同理得,由结合韦达定理即可求解,而,当重合交于点时,
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