梁的弹塑性屈曲方程

梁的弹塑性屈曲方程

0动态屈曲分析在工业、建筑和军事领域，受影响的结构稳定性问题越来越受到重视。对薄杆结构的动态弯曲研究有助于揭示其他结构和结构的失稳机。在大部分初始工作中，这项工作致力于研究静态力曲线和动态弹性曲线。在一些工作中，我们讨论了动态弹簧弯曲，提出了解决这一问题的方法和弯曲评价标准，并讨论了电压波对屈曲的影响。实际上,研究无初始缺陷杆更能揭示动态屈曲的机理.而动态屈曲应与应力波相联系且具有局部特点.与弹性杆的屈曲不同的是,弹塑性屈曲时其横截面部分区域会出现卸载情况.本文研究了卸载的影响,得到了屈曲临界力及屈曲模态,给出了弹塑性细长杆在轴向冲击下屈曲的一些规律.1中性轴位置和弯矩变化杆件的屈曲问题就是研究初始状态w0=0,σ0x=σ0,τ0xz=0,∂w0∂X=0(1)w0=0,σ0x=σ0,τ0xz=0,∂w0∂X=0(1)的稳定性问题.也就是判断是否存在非零的扰动ˉww¯¯¯、σx、τxz、∂ˉw/∂X∂w¯¯¯/∂X的问题.假设该扰动存在,则应满足扰动方程:ˉΝ=0,∂ˉQ∂X=0,∂ˉΜ∂X+Ν0∂ˉw∂X+ˉQ=0(2)N¯¯¯=0,∂Q¯¯¯∂X=0,∂M¯¯¯¯∂X+N0∂w¯¯¯∂X+Q¯¯¯=0(2)式中:N0为初始轴力;ˉΝN¯¯¯、ˉQQ¯¯¯、ˉΜM¯¯¯¯分别为扰动引起的轴力、剪力和弯矩,其定义为Ν0=σ0A,ˉΝ=∫AσxdAˉQ=∫AτxzdA,ˉΜ=∫AσxzdA(3)N0=σ0A,N¯¯¯=∫AσxdAQ¯¯¯=∫AτxzdA,M¯¯¯¯=∫AσxzdA(3)A表示梁横截面积.当初始应力小于屈服极限时,杆处于弹性状态.此时有ˉΜ=-De∂2ˉw/∂X2,De=EΙc(4)M¯¯¯¯=−De∂2w¯¯¯/∂X2,De=EIc(4)式中:Ic为横截面对形心轴的二次矩.当初始应力大于屈服极限时,杆处于塑性状态.此时,中性轴将不通过形心.以下针对线性强化材料杆,确定中性轴位置和弯矩的位移表示.假设中性轴y距梁横截面底边的距离为z0,如图1(a)所示.截面上任意点位移可表示为u=-(∂ˉw/∂X)z(5)u=−(∂w¯¯¯/∂X)z(5)中性轴的两侧将分别产生正的和负的扰动正应力,从而使两侧分别处于卸载和加载状态.文中用Ae和Ap分别表示卸载和加载区面积,A=Ae+Ap.假设梁下侧卸载,上侧加载,则应力可表示为σ={-E∂2ˉw∂X2z(-z0≤z＜0)-kE∂2ˉw∂X2z(z≥0)(6)σ=⎧⎩⎨−E∂2w¯¯¯∂X2z−kE∂2w¯¯¯∂X2z(−z0≤z＜0)(z≥0)(6)式中:k为强化模量和弹性模量的比值(k=Ep/E).由截面上正应力的合力为零的条件可得Se+kSp=0,Se=∫AezdA,Sp=∫ApzdA(7)Se+kSp=0,Se=∫AezdA,Sp=∫ApzdA(7)由此可确定中性轴的位置z0.由式(3)知ˉΜ=-Dp∂2ˉw/∂X2,Dp=EΙe+kΙpΙe=∫Aez2dA,Ιp=∫Apz2dA(8)M¯¯¯¯=−Dp∂2w¯¯¯/∂X2,Dp=EIe+kIpIe=∫Aez2dA,Ip=∫Apz2dA(8)式中:Dp为塑性抗弯刚度.需要说明的是,杆下侧卸载、上侧加载时的中性轴位置和上侧卸载、下侧加载时的中性轴位置是不同的.一般情况下两种加载方式计算出的塑性抗弯刚度也是不同的.这样,弯曲方向沿轴线方向的变化将导致抗弯刚度的变化.因此,式(2)将导向很难求解的变系数微分方程.但是,当梁截面是上下对称时,可以证明,下侧卸载时中性轴距最下侧的距离z0和上侧卸载时中性轴距最上侧的距离z′0是相等的.该结论的正确性可通过坐标轴的平移和旋转(如图1(b)所示),经类似上面的推导验证.此时,两种情况下的抗弯刚度是相同的.这样,式(2)将变为便于求解的常系数微分方程.本文考虑截面是对称的情况,因此,两种情况下的抗弯刚度将不加区分.若定义无量纲量c=DpDe,w=ˉwh,x=Xh,Ν=h2Ν0De,Μ=ˉΜhDe,Q=ˉQh2De,Νs=σsAh2De(9)c=DpDe,w=w¯¯¯h,x=Xh,N=h2N0De,M=M¯¯¯¯hDe,Q=Q¯¯¯h2De,Ns=σsAh2De(9)则扰动方程为D∂4w∂x4+Ν∂2w∂x2=0,D={1,Ν＜Νsc,Ν≥Νs(10)D∂4w∂x4+N∂2w∂x2=0,D={1,N＜Nsc,N≥Ns(10)式中:h为截面的某一特征尺寸(例如,高度、宽度等).上式的通解可写成w(x)=A1cosλx+A2sinλx+A3x+A4,λ=√Ν/D(11)w(x)=A1cosλx+A2sinλx+A3x+A4,λ=N/D−−−−√(11)式中:A1、A2、A3、A4为任意常数.2拉格朗日方程的上式和屈曲分析当细长杆在自由端作用冲击力为-ˉΡΗ(t)−P¯¯¯H(t),并且ˉΡ＞ˉΡs=σsAP¯¯¯＞P¯¯¯s=σsA时,杆内的应力波可分解成弹性波和塑性波,控制方程分别为ρü-Eu″=0,Eu′(0,t)=ˉΡsΗ(t)(12)ρü-Epu″=0,Epu′(0,t)=(ˉΡ-ˉΡs)Η(t)(13)式中:上加圆点表示对时间的微分,(·)′表示对x的微分.该问题的解可利用式(9)无量纲化为Ν(Τ,x)=ΡΗ(kΤ-x)+ΡsΗ(Τ-x),Τ=t√E/ρ,(Ρ,Ρs)=(ˉΡ,ˉΡs)h2/De(14)在t=t0时刻,弹性波前位置为xe,塑性波前位置为xp.梁内的轴力分布如图2所示.在x>xe段内,轴力为零.因此扰动方程(10)的解是三次多项式:w=A0+A1x+A2x2+A3x3由无穷远边界条件w|x→∞→0,可知上式中各系数均为零.由此可知,在位置xe处应有类似于固支端的条件:w(xe)=0,w′(xe)=0(15)在塑性段内(0<x≤xp),不妨考虑自由端的边界条件Q(0)=0,Μ(0)=0(16)式(11)表示的梁的扰动函数为w=(sinλx)δ1+δ2,0＜x≤xp(17)式中:δ1、δ2为任意常数.在弹性段(xp<x≤xe)内,式(11)中的λ应为ω(=h√Ρs/De).若考虑到边界条件(15),则扰动位移可表示成w(x)=[1-cosω(x-xe)]δ3+δ4(x-xe)(18)式中:δ3、δ4为任意常数.由弹塑性交界面两侧的剪力相等知δ4=0.由x=xp的连续性条件可得(sinλxp1-1+cosω(xe-xp)λcosλxp0-ωsinω(xe-xp)cλ2sinλxp0ω2cosω(xe-xp))(δ1δ2δ3)=0(19)屈曲条件就是上式有非零解的条件(分叉),即系数行列式等于零:由上式及λ=h√Ρ/Dp可确定屈曲荷载.3临界力:两种类型杆通过空间竞争来识别屈曲临界力考虑方形截面杆,其边长为h.中性轴到底边的距离及抗弯刚度分别为z0=h(√k-k)/(1-k),De=Eh4/12,Dp=Eh[z30+k(h-z0)3]/3.对于材料常数k=Ep/E=20/29、σs/E=50/29×10-3的细长杆,图3给出了用无量纲临界力Pcr和无量纲冲击时间T描述的稳定边界.冲击荷载越大,屈曲时间(屈曲所需冲击时间)越短.存在一最小的弹塑性临界屈曲荷载(无量纲)Ps=σsh4/De,对应的屈曲时间为Ts.当冲击荷载小于弹塑性临界荷载时,屈曲时间大于Ts.不考虑塑性影响的欧拉临界力PEu也在图3中画出.比较可见,塑性的出现降低了屈曲临界力.图4给出了杆