两个具有推广的ou-iang型非线性积分不等式

两个具有推广的ou-iang型非线性积分不等式

1负负连续函数的计算众所周知，gronwall-beck-bihari分类在讨论方程解的稳定性、边界性和接近性方面发挥着重要作用。因此，关于这种差分等的研究很多，并在本文中给出了一个新的等高词。在本文中，作者还提供了一系列关于ou-id等分类的介绍，并提供了以下工作。定理A设φ∈C(R+,R+)(这里的C(R+,R+)记所有R+上实值、非负连续函数)是严格递增的,φ(∞)=∞;ψ∈C(R+,R+)是递增的,且u,F∈C(R+,R+).若对常数C≥0及t∈R+,有φ[u(t)]≤C+∫t0F(s)ψ[u(s)]ds,(1)则不等式u(t)≤φ-1{G-1[G(c)+∫t0F(s)ds]}(2)对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证G(c)+∫t0F(s)ds∈Dom(G-1)‚(3)其中G(z):=∫zz0dsψ[φ-1(s)]‚z≥z0＞0.(4)在本文中,我们将在这方面作进一步的研究,企图获得更具广泛性的Ou-Iang型非线性积分不等式.为此,我们先引述下面的定理B设x,k1,k2∈C(R+,R+),Ω∈C(R+,R+)为严格递增的,且为次可乘的,即对x,y∈R+,满足Ω(xy)≤Ω(x)Ω(y).若对常数C≥0及t∈R+,有x(t)≤C+∫t0k1(s)x(s)ds+∫t0k2(s)Ω(x(s))ds,(5)则不等式x(t)≤exp(∫t0k1(s)ds)G-1[G(c)+∫t0k2(s)exp(-∫s0k1(ξ)dξ)Ω(exp∫s0k1(ξ)dξ)ds](6)对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证G(c)+∫t0k2(s)exp(-∫s0k1(ξ)dξ)Ω(exp∫s0k1(ξ)dξ)ds∈Dom(G-1)‚其中G(z):=∫zz0dsΩ(s)‚z≥z0＞0.(7)2[ut+0.b根据定理B,我们得到下面的比定理A更为广泛的积分不等式.定理1设φ∈C(R+,R+)为严格递增的,φ(∞)=∞;ψ∈C(R+,R+)为递增的;ψoφ-1∈C(R+,R+)是严格递增的,且ψoφ-1是次可乘的.另外,u,H,F∈C(R+,R+).若对常数C≥0及t∈R+,有φ[u(t)]≤C+∫t0Η(s)φ[u(s)]ds+∫t0F(s)ψ[u(s)]ds,(8)则不等式u(t)≤φ-1{exp(∫t0Η(s)ds)G-1[G(c)+∫t0F(s)exp(-∫s0Η(ξ)dξ)⋅ψ(φ-1(exp∫s0Η(ξ)dξ))ds]}(9)对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证G(c)+∫t0F(s)exp(-∫s0Η(ξ)dξ)⋅ψ(φ-1(exp∫s0Η(ξ)dξ))ds∈Dom(G-1)‚(10)其中G(z):=∫zz0dsψ(φ-1(s))‚z≥z0＞0.(11)证明由已知条件,(8)可改写为φ[u(t)]≤C+∫0tΗ(s)φ[u(s)]ds+∫0tF(s)ψ(φ-1(φ[u(s)]))ds.(12)再根据已知条件及定理B,并考虑到Ω:=ψoφ-1,从(12)立得,φ[u(t)]≤exp(∫0tΗ(s)ds)G-1[G(c)+∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)⋅ψ(φ-1(exp∫0sΗ(ξ)dξ))ds],注意到φ的严格单调性,就可得到不等式(9)对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证(10)成立,其中G(z)=∫z0zdsΩ(s)=∫z0zdsψ(φ-1(s))(z≥z0＞0),这便是(11).定理1有一些重要的推论.假若在定理1中令φ(u)=up,立即可得下面的推论1设p>0,ψ∈C(R+,R+)递增且是次可乘的,而u,F,H∈C(R+,R+).若对C≥0及t∈R+,有up(t)≤C+∫0tΗ(s)up(s)ds+∫0tF(s)ψ[u(s)]ds,(13)则不等式u(t)≤{exp(∫0tΗ(s)ds)G-1[G(c)+∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)⋅ψ(exp(1p∫0sΗ(ξ)dξ))ds]}1p(14)对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证G(c)+∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)ψ(exp(1p∫0sΗ(ξ)dξ))ds∈Dom(G-1),其中G(z):=∫z0zdsψ(s1p)‚z≥z0＞0.(15)注1推论1也有两个重要特例:(1)当令p=2时,推论1就变为文中的定理1.(2)当令p=2,H(t)=2f(t),F(t)≡2h(t),ψ(u)=u时,从推论1就能得到如下的结果:设u,f,h∈C(R+,R+),若对C≥0及t∈R+,有u2(t)≤C2+2∫0t[f(s)u2(s)+h(s)u(s)]ds‚(16)则对t∈R+成立不等式u(t)≤exp(∫0tf(s)ds)[C+∫0th(s)exp(-∫0sf(ξ)dξ)dξ].(17)显然,这个结果比Pachpatte在所给出的定理1(a1)的类似结果要精确,因为在不等式(17)中的第二个积分号下多了一个小于1的正因子exp(-∫0sf(ξ)dξ).另外,C.M.Dafermos在中为建立热力学第二定律与稳定性的联系时也曾给出一个积分不等式,那个不等式也是本附注结果的特殊情况.如果我们在定理1中令H(t)≡0,就能得到下面的推论2假定φ,ψ,u和F如定理1所设,若对C≥0及t∈R+,有φ[u(t)]≤C+∫0tF(s)ψ[u(s)]ds‚(18)则不等式u(t)≤φ-1{G-1[G(c)+ψ(φ-1(1))∫0tF(s)ds]}(19)对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证G(c)+ψ(φ-1(1))∫0tF(s)ds∈Dom(G-1),(20)其中G如(11)所定义.注2这个推论2同引言中定理A类似,但本推论2要求ψoφ-1是次可乘的.然而,我们须顺便指出,对于定理A不必用中证法.事实上,先将(18)写成φ[u(t)]≤C+∫0tF(s)ψ(φ-1φ[u(s)])ds,再用Bihari不等式立即可得φ[u(t)]≤G-1[G(c)+∫0tF(s)ds]对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证(3)成立,其中G如(4)定义.进一步在定理1中含φ(u)=up,ψ(u)=uq(p>0,q>0),就可以得到下面的推论3设p>0,q>0,u,H,F∈C(R+,R+).若对C≥0及t∈R+,有up(t)≤C+∫0tΗ(s)up(s)ds+∫0tF(s)uq(s)ds,(21)则1)当p>q时,对t∈R+成立不等式u(t)≤exp(1p∫0tΗ(s)ds)[Cp-qp+p-qp∫0tF(s)exp(q-pp∫0sΗ(ξ)dξ)ds]1p-q.(22)2)当p=q,对t∈R+成立不等式u(t)≤C1pexp(1p∫0t(Η(s)+F(s))ds).(23)事实上,1),当p>q时,φ-1(u)=u1p‚ψ(φ-1(u))=uqp为次可乘的.易见,G(z)=∫1zdssq/p=pp-q(zp-qp-1),从而G-1(z)=(p-qpz+1)pp-q,据此从(9)立得(22)成立.2)当p=q,φ-1(u)=u1p‚ψ(φ-1(u))=u为次可乘的.于是,G(z)=∫1zdss=lnz,从而G-1(z)=ez,据此,从(9)就可得到(23).注3推论3推广了许多重要的不等式,譬如,当令H(t)≡0时,推论3就变成文中的定理2.又如令H(t)≡0,p=2,F(t)≡2f(s),q=1,推论3就变成Ou-Iang不等式(见).接下来,我们进一步考虑将定理1中的常数C换成函数k(t),从而给出了下面的定理2设φ∈C(R+,R+)严格递增,φ(∞)=∞,k,ψ∈C(R+,R+)递增;ψoφ-1∈C(R+,R+)且ψoφ-1是次可乘的.另外,u,H,F∈C(R+,R+).若对t∈R+成立不等式φ[u(t)]≤k(t)+∫0tΗ(s)φ[u(s)]ds+∫0tF(s)ψ[u(s)]ds,(24)则不等式u(t)≤φ-1{k(t)exp(∫0tΗ(s)ds)G-1[G(1)+ψ[φ-1(k(t)]k(t)∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)⋅ψ(φ-1(exp∫0sΗ(ξ)dξ))ds]}(25)对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证G(1)+ψ[φ-1(k(t))]k(t)∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)ψ(φ-1(exp∫0sΗ(ξ)dξ))ds∈Dom(G-1)‚(26)其中G如(11)所定义.证明今任取σ∈R+,由定理条件及(24),对t∈[0,σ],有φ[u(t)]≤k(σ)+∫0tΗ(s)φ[u(s)]ds+∫0tF(s)ψ[u(s)]ds.用k(σ)>0除上式两边,并将ψ[u(s)]改写成ψ(φ-1(φ[u(s)])),就得到φ[u(t)]k(σ)≤1+∫0tΗ(s){φ[u(s)]k(σ)}ds+∫0tF(s){ψ(φ-1(φ[u(s)]))k(σ)}ds.(27)又因ψoφ-1为次可乘的,当设Ω:=ψoφ-1,对于γ=α·β(α,β>0),就成立Ω(γ)=Ω(αβ)≤Ω(α)Ω(β)=Ω(β)Ω(γβ)‚即对γ,β>0,成立Ω(γ)β≤Ω(β)β⋅Ω(γβ).(28)利用不等式(28),就有ψ(φ-1(φ[u(s)]))k(σ)≤ψ(φ-1(φ[k(σ)]))k(σ)ψ(φ-1(ψ[u(s)]k(σ))).将此代入(27),就有φ[u(t)]k(σ)≤1+∫0tΗ(s){φ[u(s)]k(σ)}ds+∫0tF(s)ψ(φ-1(k(σ)))k(σ)ψ(φ-1(φ[u(s)]k(σ)))ds.(29)根据定理B,从(29)可以推出φ[u(t)]k(σ)≤exp(∫0tΗ(s)ds)G-1[G(1)+∫0tF(s)ψ(φ-1(k(σ)))k(σ)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)⋅ψ(φ-1(exp∫0sΗ(ξ)dξ))ds](30)对一切t∈[0,σ]成立.考虑到σ∈R+的任意性,由(30)知不等式(25)对一切t∈[0,T]成立,这样的t保证(26)成立,其中G由(11)所定义.在下段我们将举例说明定理2的应用.3t型例考察非线性滞后型微分差分方程ddtΡ(x(t))=aΡ(x(t-r))+b(x(t-r))+f(t)(31)解的有界性,其中a,b和r为常数,r>0,P在R+上连续、严格递增.Q在R+连续递增,QoP-1在R+上是次可乘的,f在R+上连续.另外,设x(t)∈C(R+,R+)是方程(31)满足初始条件x(t)=φ(t)(t∈[-r,0])的解,其中φ(t)是[-r,0]上已知连续函数,记|φ|=sup-r≤θ≤0|φ(θ)|.显然,对t∈R+,有Ρ(x(t))=Ρ(x(0))+∫0t[aΡ(x(s-r))+b(x(s-r))+f(s)]ds‚从而|Ρ(x(t))|≤|p(|φ|)|+∫-rt|a||Ρ(x(s))|ds+∫-rt|b||Q(x(s))|ds+∫0t|f(s)|ds‚(32)又因∫-r0|a||Ρ(x(s))|ds≤|a||Ρ(|φ|)|r,∫-r0|b||Q(x(s))|ds≤|b||Q(|φ|)|r,所以,(32)又可写成|Ρ(x(t))|≤[(1+r|a|)|Ρ(|φ|)|+r|b||Q(|φ|)|+∫0t|f(s)|ds]+∫0t|a||Ρ(x(s))|ds+∫0t|b||Q(x(s))|ds,(33)根据定理2,从(33)可以得到估计|x(t)|≤Ρ-1{k(t)exp(|a|t)G-1[G(1