关于g的群的群类及子群的刻画

关于g的群的群类及子群的刻画

1子群的性质设置1，2，3，4}，m（s）表示s到自身变化的集合，m（s）是一个（变换）的u（m（s））的u（m）是一个对称的组，称为s，并记录为4s。定义2群G的一个子群K叫做正规的,假如对每一个g∈G和k∈K,都有g-1kg∈K.显然,群本身及单位子群都是的正规子群.定义3S4中全体偶置换作成一个4!24!2阶的子群,称为4次交错群,记为A4.易有A4的所有元素为:(1),(12)(34),(14)(23),(13)(24),(123),(132)(234),(243),(134),(143),(124),(142).定义4K4={(1),(12),(34),(13)(24),(14)(23))},K4称为Klein四元群.定义5设G是一个群,a、b是G中的两个元素,则称G中的元素aob=a-1b-1ab为a,b的换位元.由G的全体换位元生成的子群称为G的换位子群,记为G′.引理每一个指数为2的子群是正规子群.证明:设H是G的指数为2的子群,则任取x∈G,当x∈H时,必有xH=Hx=H,当x∉H时,因为(G:H)=2,则G=HxYH=HYHx,因此只有Hx=xH,即H是G的正规子群.2群的同构类型43g证明:令e=(1),a=(12)(34),b=(13)(24),c=(14)(23),易有a2=b2=c2=e,即((12)(34))2=((13)(24))2=((14)(23))2=(1),且ab=(12)(34)(13)(24)=(14)(23),ac=(12)(34)(14)(23)=(13)(24),bc=(13)(24)(14)(23)=(12)(34).可列出乘法表如下:从而有:K4是A4的一个可交换子群.性质2对称群S4的正规子群只有{(1)},S4,A4,K4.证明:1°交错群A4的指数(G:H)=4!/4!2=2Η)=4!/4!2=2,所以A4是S4的正规子群.2°因为K4是A4的一个可交换子群,所以K4是S4的子群.任取σ∈S4,(1)≠π=(ij)(st),则显然σπσ-1=(σ(i)σ(j))(σ(s)σ(t))∈K4,所以K4是S4的正规子群.3°设H是S4,A4,单位群和K4以外的的正规子群,则有:i)H至少含有一个奇置换,若(23)∈H,有(12)(23)(12)-1=(13)∈H,(13)(23)(13)-1=(12)∈H,(1243)(23)(1243)-1=(14)∈H,即H={(12),(13),(14)}=S4(矛盾).同样可证H不含(12),(13),(14),(24),(34),如果(1234)∈H,则(12)(1234)(12)=(1342)∈H,(13)(1234)(13)=(1432)∈H,(14)(1234)(14)=(1423)∈H,(23)(1234)(23)=(1324)∈H,(34)(1234)(34)=(1243)∈H,但是(1324)(1234)(1234)=(12)∈H与(12)∉H矛盾.ii)H至少含有下列的偶置换:(123),(132),(124),(142),(234),(243),(142),(143),但是,若(123)∈H则(34)(1234)(34)-1=(124)∈H故H={(123),(124)}=A4.若(234)∈H,则(132)(234)(132)-1=(124)∈H,(14)(234)(14)-1=(123)∈H,如此可知,A4⊆H,而由Lagrage定理,A4与S4之间无非平凡子群(矛盾).因此可得S4只有A4和K4是真正规子群.性质3对称群S4关于K4的商群S4/K4与S3同构.证明:(证法一)(12)K4={(12),(34),(1423),(1324)},(13)K4={(13),(1432),(24),(1234)},(23)K4={(23),(1243),(1342),(14)},(123)K4={(123),(243),(142),(134)},(132)K4={(132),(143),(234),(124)},(1)K4={(1),(12),(34),(13)(24),(14)(23)},易知S4=A4∪(12)A4,又A4=K4∪(123)K4∪(132)K4,(12)(123)=(23),(12)(132)=(13),则有S4=K4∪(12)K4∪(13)K4∪(23)K4∪(123)K4∪(132)K4对a∈S3,令φ:aK4→a,可知φ是S4/K4到S3上的双射,且aK4·bK4→ab则φ是S4/K4到S3上的同构映射,因此S4/K4与S3同构.(证法二)因为K4是S4的正规子群,而S3⊆S4(把S3中每个σ视为σ(4)=4),则K4S3⊆S4,又因为K4∩S3={(1)},从而|K4S3|=|K4||S3||K4∩S3|=4×61=24|Κ4S3|=|Κ4||S3||Κ4∩S3|=4×61=24,但是|S4|=24,故S4=K4S3,于是,由群的同构定理知K4S3/K4≌S3/K4∩S3,因此S4/K4与S3同构.性质4S′4=A4,A′4=K4.证明:1°由性质1,A4是S4的正规子群,且S4/A4是2阶循环群,从而是交换群.对∀x,y∈S4有xA4·yA4=yA4·xA4,(xy)A4=(yx)A4,因此x·y=x-1y-1xy∈A4.即中任二元素的换位元都属于A4,因此S′4⊆A4.又因为S′4是S4的正规子群,所以S′4是A4的正规子群.而S4的正规子群只有{(1)}、S4、A4、K4,而且S4是非交换群,故S′4≠{(1)}.又由于a=(12),b=(13)∈S4,但是aob=a-1b-1ab=(12)(13)(12)(13)=(123)∈S′4,所以S′4≠K4,则只有S′4=A4.2°易知K4⊆A′4,且可验证A′4⊆K4.则有A′4=K4.(这是一个特殊情况,事实上,可以证明,A′n=An(n≥5)).性质5设G是群,且|G|=psm,p是素数,p不整除m.则称G的ps阶子群为G的一个Sylowp子群.则可以确定出A4的所有Sylow子群及S4的不同的Sylow子群的个数.证明:1°因为|A4|=22·3,所以A4有Sylow2子群(阶为4)和Sylow3子群(阶为3).而K4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23))},显然是A4的一个Sylow2子群,易知K4是S4的正规子群,从而K4是A4的正规子群.所以Klein四元群K4是A4的唯一的Sylow2子群.由A4中的一切3-循环(阶为3)生成的子群显然是A4的全部Sylow3子群,共有4个:〈(123〉,〈(124)〉,〈(134)〉,〈(234)〉.2°由于|S4|=24=23·3.而|S4|的模2等于1的因子只有1和3,所以S4的Sylow2