非线性方程的振动性

非线性方程的振动性

自1988年stefanhilgar在他的博士论文中首次提出了时间轴上的微分方程理论以来，时间标理论作为一种特殊情况，引起了人们的关注。然而，在大多数情况下，它仅限于线性方程的研究，而非线性研究仍然不足。关于一阶中立差分方程和微分方程的振动有许多结果。在这项工作中，我们将考虑非线性中立方程。(x(t)-p(t)x(t-τ))Δ+q(t)f(x(t-σ))=0,t≥t0>0(1)的振动性,其中p(t),q(t)∈Crd([t0,∞),R+),q(t)不最终恒为0,f∈Crd(T,R),且当u≠0,uf(u)>0.给定条件(H1)∫∞q(s)Δs=∞,(H2)|f(u)|≥c|u|(c为正常数).本文记z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ),δ=max(τ,σ),实数集R的任意一个非空闭子集称作一个时标,以符号T表示,例如:R,Z,N,∪N.下面的定义和引理对于我们的结果的理解和证明是必要的.定义1对任意的t∈T,定义向前跳跃算子σ∶T→T为σ(t)∶=inf{s>t∶s∈T};向后跳跃算子ρ∶T→T为ρ(t)∶=sup{s<t∶s∈T}.如果σ(t)>t,则称t是右边稀散的,如果ρ(t)<t,则称t是左边稀散的,左右两边都是稀散的点称为孤立点.另外,如果t<supT且σ(t)=t,则称t是右边密集的,如果t>infT且ρ(t)=t,则称t是左边密集的,左右两边都是密集的点称为密集点.定义2定义T上闭区间为[a,b]={t∈T,a≤t≤b},开区间和半开区间等类似定义.如果b是左边密集的,记[a,b]k=[a,b],如果b是左边稀散的,记[a,b]k=[a,b)=[a,ρ(b)].定义3设f∶T→R,t∈Tk.定义fΔ(t)为具有如下性质的一个数(假定存在):对任意的ε>0,存在U的一个δ邻域(即对任意δ>0,U=(t-δ,t+δ)∩T),使得|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,s∈U,则称fΔ(t)为f在t的delta(Hilger)导数.如果对所有的t∈Tk都有fΔ(t)存在,则称f在Tk上delta(Hil-ger)可微,简称可微的.定义4函数f∶T→R称为rd连续的如果它在右边密集的点连续在左边密集的点的极限存在.rd连续的函数集f∶T→R记作Crd=Crd(T)=Crd(T,R).定义5函数F为f的反导数,如果对任意的t∈T,都有FΔ(t)=f(t),称F为f的积分.显然,如果f∈Crd函数,则其积分一定存在.引理1如果f∶T→R可微,并且fΔ(t)≥0,则f(t)非减.引理2如果a,b,c∈T,α∈R,f,g∈Crd,则(Ⅰ)∫ba[f(t)+g(t)]Δt=∫baf(t)Δt+∫bag(t)Δt;(Ⅱ)∫ba(αf)(t)Δt=α∫baf(t)Δt;(Ⅲ)∫abf(t)Δt=-∫abf(t)Δt;(Ⅳ)∫baf(t)Δt=∫caf(t)Δt+∫bcf(t)Δt;(Ⅴ)∫baf(σ(t))gΔ(t)Δt=(fg)(b)-(fg)(a)-∫bafΔ(t)g(t)Δt;(Ⅵ)∫baf(t)gΔ(t)Δt=(fg)(b)-(fg)(a)-∫bafΔ(t)g(σ(t))Δt;(Ⅶ)如果|f(t)|≤g(t),t∈[a,b),则|∫baf(t)Δt|≤∫bag(t)Δt.1主要结果引理3设x(t)为式(1)的非振动解,且0<p(t)≤1,若x(t)最终为正(负),则最终有zΔ(t)≤0,z(t)>0(zΔ(t)≥0,z(t)<0).证明x(t)为式(1)的最终正解(最终为负亦可证),存在t1≥t0>0,当t≥t1时,x(t)>0,x(t-τ)>0,x(t-σ)>0,易知zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤0.下证z(t)>0.若结论不成立,则最终有z(t)≤0,因为q(t)不最终恒为零.故z(t)不最终恒为零,从而z(t)<0,存在α>0,t2≥t1,使得t≥t2时,z(t)≤-α,即有:x(t)-x(t-τ)≤x(t)-p(t)x(t-τ)=z(t)≤-α,x(t)≤-α+x(t-τ).从而有x(t+nτ)≤-α+x(t+(n-1)τ)≤-2α+x(t+(n-2)τ)≤…≤-(n+1)α+x(t-τ),当n→∞时,得x(t+nτ)→-∞.矛盾.故最终有z(t)>0.引理4设x(t)为(1)式的非振动解,p≥p(t)≥1最终成立.且条件(H1),(H2)成立,则若x(t)最终为正(负),则最终有z(t)<0(z(t)>0).证明设x(t)为式(1)的最终正解(最终为负亦可证),知zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤0.假设z(t)最终有z(t)≥0,t≥t1,则x(t)≥p(t)x(t-τ)≥x(t-τ),故∃t1≥t0+σ,M>0,使t≥t1时,x(t-σ)≥Μc＞0,zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤-cq(t)x(t-σ)≤-Mq(t),∫tt2zΔ(s)Δs≤-M∫tt2q(s)Δs,z(t)≤z(t2)-M∫tt2q(s)Δs.令t→∞时,得z(t)→-∞.故最终有z(t)<0,且limt→∞z(t)=-∞.定理1若p(t)≡1,且条件(H1),(H2)成立,则(1)式的所有解振动.证明若不然,不妨设x(t)是式(1)的最终正解,由引理3知z(t)>0,由引理4知z(t)<0,矛盾.故式(1)的所有解振动.定理2若条件(H1)成立,f(u)非减,0<p(t)≤1,且infu＞0f(u)＞0,则式(1)的所有解振动.证明不妨设x(t)是式(1)的一个最终正解,由引理3知zΔ(t)≤0,z(t)>0,故易得limt→∞z(t)=A≥0.又z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ)≤x(t).故z(t)≤z(t-σ)≤x(t-σ),0=zΔ(t)+q(t)f(x(t-σ))≥zΔ(t)+q(t)f(z(t-σ))≥zΔ(t)+q(t)f(z(t)),q(t)≤-zΔ(t)f(z(t)).因为infu＞0f(u)＞0,所以∃M>0,使得q(t)≤-MzΔ(t),从而∫tt1q(s)Δs≤-M∫tt1zΔ(s)Δs=M(z(t1)-z(t)).令t→∞,则有∞=∫∞t1q(s)Δs≤M(z(t1)-A)<∞,矛盾,故式(1)的所有解振动.定理3若p(t)≡1,条件(H2)成立,且∫∞t[sq(s)∫∞sq(r)Δr]Δs=∞,则式(1)的所有解振动.证明假设x(t)是式(1)的最终正解(最终为负同样可证),存在t1≥t0>0,当t≥t1时,x(t)>0,x(t-τ)>0,x(t-σ)>0,由引理4知∃t2≥t1,使t≥t2时,z(t)>0,从而有:x(t)>x(t-τ)>0,故存在l>0,t3≥t2,使当t≥t3时有x(t)≥l>0,这样知:t≥t3+δ时,有f(x(t-σ))≥cx(t-σ)≥cl.故zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤-clq(t),t≥t3+δ.(2)由定理1知,若∫∞q(s)Δs=∞,则(1)式振动.故不妨设∫∞q(s)Δs<∞,对式(2)从t到∞积分,有:z(t)≥cl∫∞tq(s)Δs,t≥t4≥t3+σ,从而有:x(t)≥cl∫∞tq(s)Δs+x(t-τ)≥cl∫∞tq(s)Δs+cl∫∞t-τq(s)Δs+x(t-2τ)≥ncl∫∞tq(s)Δs+x(t-nτ),其中n=[t-t4τ],故x(t)≥ncl∫∞tq(s)Δs,zΔ(t)=-q(t)f(x(t-σ))≤-cq(t)x(t-σ)≤-c2nlq(t)∫∞t-σq(s)